Gas i en låda

Inom kvantmekaniken kan resultaten av kvantpartikeln i en låda användas för att titta på jämviktssituationen för en kvantideal gas i en låda som är en låda som innehåller ett stort antal molekyler som inte interagerar med varandra förutom momentana termaliserande kollisioner. Denna enkla modell kan användas för att beskriva den klassiska idealgasen såväl som de olika kvantidealgaserna såsom den ideala massiva Fermi-gasen , den ideala massiva Bose-gasen såväl som svartkroppsstrålning ( fotongas ) som kan behandlas som en masslös Bose-gas, i vilken termalisering vanligtvis antas underlättas av fotonernas växelverkan med en ekvilibrerad massa.

Med hjälp av resultaten från antingen Maxwell–Boltzmann-statistik , Bose–Einstein-statistik eller Fermi–Dirac-statistik, och med tanke på gränsen för en mycket stor ruta, används Thomas–Fermi-approximationen (uppkallad efter Enrico Fermi och Llewellyn Thomas ) för att uttrycka degenerationen av energitillstånden som en differential, och summeringar över tillstånden som integraler. Detta möjliggör att termodynamiska egenskaper hos gasen kan beräknas med hjälp av partitionsfunktionen eller den stora partitionsfunktionen . Dessa resultat kommer att tillämpas på både massiva och masslösa partiklar. Mer fullständiga beräkningar kommer att lämnas till separata artiklar, men några enkla exempel kommer att ges i den här artikeln.

Thomas-Fermi approximation för degeneration av stater

För både massiva och masslösa partiklar i en låda räknas en partikels tillstånd upp av en uppsättning kvanttal [ n _x , n _y , n _z ] . Storleken på farten ges av

$p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1, 2,3,\ldots$

där h är Plancks konstant och L är längden på en sida av lådan. Varje möjligt tillstånd för en partikel kan ses som en punkt på ett 3-dimensionellt rutnät av positiva heltal. Avståndet från utgångspunkten till valfri punkt kommer att vara

$n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^ {2}}}={\frac {2Lp}{h}}$

Anta att varje uppsättning kvanttal anger f tillstånd där f är antalet interna frihetsgrader för partikeln som kan ändras genom kollision. Till exempel skulle en spin 1 ⁄ 2 partikel ha f =2, en för varje spinntillstånd. För stora värden på n är antalet tillstånd med rörelsemängdsstorlek mindre än eller lika med p från ovanstående ekvation ungefär

$g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{ 3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}$

vilket är bara f gånger volymen av en sfär med radien n dividerat med åtta eftersom endast oktanten med positivt n _i beaktas. Med en kontinuumapproximation är därför antalet tillstånd med rörelsemängdsstorlek mellan p och p + dp

$dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp$

där V = L ³ är lådans volym. Lägg märke till att när du använder denna kontinuumapproximation, även känd som Thomas−Fermi approximation , förloras förmågan att karakterisera lågenergitillstånden, inklusive grundtillståndet där n _i = 1. I de flesta fall kommer detta inte att vara ett problem, men när med tanke på Bose–Einstein-kondensering , där en stor del av gasen är i eller nära marktillståndet , blir förmågan att hantera lågenergitillstånd viktig.

ges antalet partiklar med energi ε _{i av}

$N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}$

där $g_{i}$ är degenerationen av tillstånd i och

$$\Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\ text{för partiklar som följer Maxwell-Boltzmanns statistik}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{för partiklar som följer Bose-Einsteins statistik}}\\e ^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{för partiklar som följer Fermi-Dirac-statistik}}\\\end{fall}}$$

med β = 1/k _B T , Boltzmanns konstant k _B , temperatur T och kemisk potential μ . (Se statistik över Maxwell–Boltzmann , Bose–Einstein-statistik och Fermi–Dirac-statistik .)

är antalet partiklar dN _E med energi mellan E och E + dE :

$dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}$

där $dg_{E}$ är antalet tillstånd med energi mellan E och E + dE .

Energidistribution

Med hjälp av resultaten från de tidigare avsnitten i denna artikel kan vissa fördelningar för gasen i en låda nu bestämmas. För ett system av partiklar definieras fördelningen $P_{A}$ för en variabel $A$ genom uttrycket $P_{A}dA$ som är bråkdelen av partiklar som har värden för $A$ mellan $A$ och $A+dA$

$P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{ N\Phi _{A}}}$

var

• $dN_{A}$ , antal partiklar som har värden för $A$ mellan $A$ och $A+dA$
• $dg_{A}$ , antal tillstånd som har värden för $A$ mellan $A$ och $A+dA$
• $\Phi _{A}^{-1}$ , sannolikhet att ett tillstånd som har värdet $A$ är upptaget av en partikel
• $N$ , totalt antal partiklar.

Det följer att:

$\int _{A}P_{A}~dA=1$

För en rörelsemängdsfördelning $P_{p}$ är andelen partiklar med rörelsemängdsstorlek mellan $p$ och ${\displaystyle p+dp} :$

$P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^ {3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp$

och för en energifördelning $P_{E}$ är andelen partiklar med energi mellan $E$ och ${\displaystyle E+dE} :$

$P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE$

För en partikel i en låda (och även för en fri partikel) är förhållandet mellan energi $E$ och momentum $p$ annorlunda för massiva och masslösa partiklar. För massiva partiklar,

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

medan för masslösa partiklar,

$E=pc$

där $m$ är partikelns massa och $c$ är ljusets hastighet. Genom att använda dessa relationer,

• För massiva partiklar
  $${\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{ \sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\ frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2 }}{\Phi (E)}}~dE\\\end{aligned}}$$
  där Λ är gasens termiska våglängd .
  $$\Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}$$
  $(V/N)^{1/3}$ viktig kvantitet, eftersom när Λ är i storleksordningen mellan partikelavståndet kvanteffekterna dominera och gas kan inte längre anses vara en Maxwell-Boltzmann-gas.
• För masslösa partiklar
  $${\begin{ aligned}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{ 3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){ \frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}$$
  där Λ nu är den termiska våglängden för masslösa partiklar.
  $$\Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}$$

Specifika exempel

Följande avsnitt ger ett exempel på resultat för vissa specifika fall.

Massiva Maxwell-Boltzmann-partiklar

För det här fallet:

$\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}$

Att integrera energidistributionsfunktionen och lösa för N ger

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\,\,e^{\beta \mu }$

Substituering i den ursprungliga energidistributionsfunktionen ger

$P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e ^{-\beta E}~dE$

som är samma resultat som erhållits klassiskt för Maxwell-Boltzmann-distributionen . Ytterligare resultat kan hittas i den klassiska delen av artikeln om idealgasen .

Massiva Bose-Einstein-partiklar

För det här fallet:

$\Phi (E)={\frac {e^{\beta E}}{z}}-1$

där $z=e^{\beta \mu }.$

Att integrera energifördelningsfunktionen och lösa för N ger partikeltalet

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{ 3/2}(z)$

där Li _s ( z ) är polylogaritmfunktionen . Polylogaritmtermen måste alltid vara positiv och reell, vilket innebär att dess värde kommer att gå från 0 till ζ (3/2) när z går från 0 till 1. När temperaturen sjunker mot noll blir Λ större och större, tills slutligen Λ kommer att nå ett kritiskt värde Λc ₌ där z 1 och

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda _{\rm {c}}^{3}}}\right) \zeta (3/2),$

där $\zeta (z)$ anger Riemann zeta-funktionen . Den temperatur vid vilken Λ = Λ _c är den kritiska temperaturen. För temperaturer under denna kritiska temperatur har ovanstående ekvation för partikelantalet ingen lösning. Den kritiska temperaturen är den temperatur vid vilken ett Bose-Einstein-kondensat börjar bildas. Problemet är, som nämnts ovan, att grundtillståndet har ignorerats i kontinuumapproximationen. Det visar sig dock att ovanstående ekvation för partikelantal uttrycker antalet bosoner i exciterade tillstånd ganska bra, och därmed:

$N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\operatörsnamn {Li} _{3/2}(z)$

där den tillagda termen är antalet partiklar i grundtillståndet. Grundtillståndsenergin har ignorerats. Denna ekvation kommer att hålla nere till noll temperatur. Ytterligare resultat finns i artikeln om den ideala Bose-gasen .

Masslösa Bose-Einstein-partiklar (t.ex. strålning från svart kropp)

För masslösa partiklar måste den masslösa energifördelningsfunktionen användas. Det är bekvämt att konvertera denna funktion till en frekvensfördelningsfunktion:

$P_{\nu }~d\nu ={\ frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu$

där Λ är den termiska våglängden för masslösa partiklar. Den spektrala energitätheten (energi per volymenhet per frekvensenhet) är då

$U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu}{V}}\höger)P_{\nu}~d\nu ={\frac {4\ pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1} }~d\nu .$

Andra termodynamiska parametrar kan härledas analogt med fallet för massiva partiklar. Till exempel, integrering av frekvensfördelningsfunktionen och lösning för N ger antalet partiklar:

$N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e ^{\mu /k_{\rm {B}}T}\höger).$

Den vanligaste masslösa Bose-gasen är en fotongas i en svart kropp . Om "lådan" är en svart kroppshålighet, absorberas fotonerna kontinuerligt och återutsänds av väggarna. När så är fallet bevaras inte antalet fotoner. I härledningen av Bose–Einstein-statistik , när begränsningen av antalet partiklar tas bort, är detta i praktiken detsamma som att ställa in den kemiska potentialen ( μ ) till noll. Dessutom, eftersom fotoner har två spinntillstånd, är värdet på f 2. Den spektrala energitätheten är då

$U_{\nu }~d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3 }}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu$

som bara är den spektrala energitätheten för Plancks lag för svartkroppsstrålning . Observera att Wien-fördelningen återvinns om denna procedur utförs för masslösa Maxwell–Boltzmann-partiklar, vilket approximerar en Plancks fördelning för höga temperaturer eller låga densiteter.

I vissa situationer kommer reaktionerna som involverar fotoner att resultera i bevarandet av antalet fotoner (t.ex. ljusemitterande dioder , "vita" kaviteter). I dessa fall kommer fotonfördelningsfunktionen att involvera en kemisk potential som inte är noll. (Hermann 2005)

En annan masslös Bose-gas ges av Debye-modellen för värmekapacitet . Denna modell betraktar en gas av fononer i en låda och skiljer sig från utvecklingen för fotoner genom att fononernas hastighet är mindre än ljushastigheten, och det finns en maximal tillåten våglängd för varje axel i lådan. Detta innebär att integrationen över fasrymden inte kan utföras i det oändliga, och istället för att resultat uttrycks i polylogaritmer, uttrycks de i de relaterade Debye-funktionerna .

Massiva Fermi-Dirac-partiklar (t.ex. elektroner i en metall)

För det här fallet:

$\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1.\,$

Att integrera energidistributionsfunktionen ger

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{ \textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]$

där återigen Li _s ( z ) är polylogaritmfunktionen och Λ är den termiska de Broglie-våglängden . Ytterligare resultat finns i artikeln om den ideala Fermi-gasen . Tillämpningar av Fermi-gasen finns i den fria elektronmodellen , teorin om vita dvärgar och i degenererad materia i allmänhet.

Se även

• Gas i en harmonisk fälla

• Herrmann, F.; Würfel, P. (augusti 2005). "Lätt med kemisk potential som inte är noll" . American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Bibcode : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 . Hämtad 2006-11-20 .
• Huang, Kerson (1967). Statistisk mekanik . New York: John Wiley & Sons.
• Isihara, A. (1971). Statistisk fysik . New York: Academic Press.
• Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Statistical Physics (3:e upplagan del 1 utg.). Oxford: Butterworth-Heinemann.
•   Yan, Zijun (2000). "Allmän termisk våglängd och dess tillämpningar". Eur. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh...21..625Y . doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . S2CID 250870934 .
• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. denna wikisida är nere; se denna artikel i webbarkivet 2012 28 april .