Kvantbegränsad Stark-effekt

Den kvantbegränsade Stark-effekten ( QCSE ) beskriver effekten av ett externt elektriskt fält på ljusabsorptionsspektrumet eller emissionsspektrumet för en kvantbrunn (QW). I frånvaro av ett externt elektriskt fält elektroner och hål i kvantbrunnen endast uppta tillstånd inom en diskret uppsättning energidelband. Endast en diskret uppsättning frekvenser av ljus får absorberas eller sändas ut av systemet. När ett externt elektriskt fält appliceras skiftar elektrontillstånden till lägre energier, medan håltillstånden skiftar till högre energier. Detta minskar den tillåtna ljusabsorptionen eller emissionsfrekvenserna. Dessutom skiftar det externa elektriska fältet elektroner och hål till motsatta sidor av brunnen, vilket minskar överlappsintegralen, vilket i sin tur minskar rekombinationseffektiviteten (dvs. fluorescenskvantutbyte) för systemet. Den rumsliga separationen mellan elektronerna och hålen begränsas av närvaron av potentiella barriärer runt kvantbrunnen, vilket innebär att excitoner kan existera i systemet även under påverkan av ett elektriskt fält. Den kvantbegränsade Stark-effekten används i QCSE optiska modulatorer , som gör att optiska kommunikationssignaler kan slås på och av snabbt.

Även om kvantobjekt (till exempel brunnar, prickar eller skivor) avger och absorberar ljus generellt med högre energier än materialets bandgap , kan QCSE flytta energin till värden lägre än gapet. Detta visades nyligen i studien av kvantskivor inbäddade i en nanotråd.

Teoretisk beskrivning

Förskjutningen i absorptionslinjer kan beräknas genom att jämföra energinivåerna i opartiska och partiska kvantbrunnar. Det är en enklare uppgift att hitta energinivåerna i det opartiska systemet, på grund av dess symmetri. Om det externa elektriska fältet är litet kan det behandlas som en störning av det opartiska systemet och dess ungefärliga effekt kan hittas med hjälp av störningsteori .

Opartiskt system

Potentialen för en kvantbrunn kan skrivas som

$V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$ ,

där $L$ är brunnens bredd och $V_{0}$ är höjden på de potentiella barriärerna. De bundna tillstånden i brunnen ligger vid en uppsättning diskreta energier, $E_{n}$ och de associerade vågfunktionerna kan skrivas med hjälp av enveloppfunktionens approximation enligt följande:

$\psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x} +k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).$

I detta uttryck är $A$ systemets tvärsnittsarea, vinkelrätt mot kvantiseringsriktningen, $u(\mathbf {r} )$ är en periodisk Bloch-funktion för energin bandkant i bulkhalvledaren och $\phi _{n}(z)$ är en långsamt varierande enveloppfunktion för systemet.

Till vänster: vågfunktioner som motsvarar nivåerna n=1 och n=2 i en kvantbrunn utan pålagt elektriskt fält ( ${\displaystyle {\vec {F}}=0} )$ . Till höger: den störande effekten av det pålagda elektriska fältet ${\vec {F}}\neq 0$ modifierar vågfunktionerna och minskar energin $E$ för n=1-övergången.

Om kvantbrunnen är mycket djup kan den approximeras av partikeln i en boxmodell , där $V_{0}\to \infty$ . Under denna förenklade modell existerar analytiska uttryck för de bundna tillståndsvågfunktionerna, med formen

$\phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{ L}}\höger)&n\,{\text{udda}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\höger)&n\,{\text{jämn}}\ slut{cases}}.$

De bundna tillståndens energier är

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{* }L^{2}}},$

där $m^{*}$ är den effektiva massan av en elektron i en given halvledare.

Partiskt system

Antag att det elektriska fältet är förspänt längs z-riktningen,

$\mathbf {F} =F\mathbf {z} ,$

den oroväckande Hamiltonska termen är

$H'=eFz.$

Den första ordningens korrigering av energinivåerna är noll på grund av symmetri.

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eFz|n^{(0)}\rangle =0$ .

Den andra ordningens korrigering är till exempel n=1,

$E_{1}^{(2)}=\summa _{k\ neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k }^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{ (0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2 }F^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}$

för elektron, där den ytterligare approximationen att försumma störningstermerna på grund av de bundna tillstånden med k jämn och > 2 har införts. Som jämförelse är störningstermerna från udda-k-tillstånd noll på grund av symmetri.

Liknande beräkningar kan tillämpas på hål genom att ersätta elektronens effektiva massa $m_{e}^{*}$ med hålets effektiva massa $m_{h}^{*}$ . Vi introducerar den totala effektiva massan $m_{tot}^{*}=m_{e}^{*}+m_{h}^{*}$ , energiskiftet för den första optiska övergången inducerad av QCSE kan approximeras till:

$\Delta E\approx -24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{tot} ^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}.$

De approximationer som gjorts hittills är ganska grova, inte desto mindre visar energiskiftet experimentellt ett kvadratisk lagberoende från det applicerade elektriska fältet, som förutspåtts.

Absorptionskoefficient

Experimentell demonstration av kvantbegränsad Stark-effekt i Ge/Si $_{0.18}$ Ge $_{0.82}$ kvantbrunnar.

Numerisk simulering av absorptionskoefficienten för Ge/Si $_{0.18}$ Ge $_{0.82}$ kvantbrunnar

Förutom rödförskjutningen mot lägre energier hos de optiska övergångarna, inducerar det elektriska DC-fältet också en minskning av storleken på absorptionskoefficienten, eftersom det minskar de överlappande integralerna av relaterade valens- och ledningsbandvågfunktioner. Givet de approximationer som gjorts hittills och frånvaron av något pålagt elektriskt fält längs z, är den överlappande integralen för $n_{valence}=n_ {conduction}$ övergångar kommer att vara:

$\langle \phi _{c,n}|\phi _{v,n}\rangle =1$ .

För att beräkna hur denna integral modifieras av den kvantbegränsade Stark-effekten använder vi återigen tidsoberoende störningsteori . Den första ordningens korrigering för vågfunktionen är

$\phi _{n}^{'}=\summa _{k\neq n}{\frac {\langle \phi _{n}|H'|\phi _{k}\rangle }{E_{n}-E_{k}}}|\phi _{k}\rangle$ .

Återigen tittar vi på $n=1$ energinivån och betraktar endast störningen från nivån $n=2$ (märk på att störningen från $n= 3$ skulle vara $=0$ på grund av symmetri). Vi får

$\phi _{c,1}=\phi _{c,1}^{0}+\phi _{c,1}^{'}={\frac {1}{A}}\ left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)-\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_ {e}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)$

$\phi _{v,1}=\phi _{v,1}^{0}+\phi _{v,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)+\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{h}^ {*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)$

för lednings- och valensbandet, där $A$ har införts som en normaliseringskonstant. För varje applicerat elektriskt fält ${\vec {F}}\cdot {\hat {z}}\neq 0$ får vi

$\langle \phi _{c,1}|\phi _{v,1}\rangle <1$ .

Således, enligt Fermis gyllene regel , som säger att övergångssannolikhet beror på ovanstående överlappande integral, försvagas den optiska övergångsstyrkan.

Excitoner

Beskrivningen av den kvantbegränsade Stark-effekten som ges av andra ordningens störningsteori är extremt enkel och intuitiv. Men för att korrekt avbilda QCSE måste excitonernas roll beaktas. Excitoner är kvasipartiklar som består av ett bundet tillstånd av ett elektron-hål-par , vars bindningsenergi i ett bulkmaterial kan modelleras som den hos en väteatom

$E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{ \frac {R_{H}}{n^{2}}}$

där $R_{H}$ är Rydbergskonstanten , $\mu$ är den reducerade massan av elektron-hålsparet och $\varepsilon _{r}$ är den relativa elektriska permittivitet. Den excitonbindande energin måste inkluderas i energibalansen för fotonabsorptionsprocesser:

$h\nu >E_{g}-E_{X}$ .

Excitongenerering rödförskjuter därför det optiska bandgapet mot lägre energier. Om ett elektriskt fält appliceras på en bulkhalvledare observeras en ytterligare rödförskjutning i absorptionsspektrumet på grund av Franz-Keldysh-effekten . På grund av deras motsatta elektriska laddningar kommer elektronen och hålet som utgör excitonen att dras isär under påverkan av det yttre elektriska fältet. Om fältet är tillräckligt starkt

$-e{\vec {F}}\cdot {\vec {r_{X}}}>|E_{X}|$

då upphör excitoner att existera i bulkmaterialet. Detta begränsar något tillämpbarheten av Franz-Keldysh för moduleringsändamål, eftersom rödförskjutningen som induceras av det applicerade elektriska fältet motverkas av förskjutning mot högre energier på grund av frånvaron av excitongenerationer.

Detta problem finns inte i QCSE, eftersom elektroner och hål är inneslutna i kvantbrunnarna. Så länge som kvantbrunnsdjupet är jämförbart med den excitoniska Bohr-radien , kommer starka excitoniska effekter att finnas oavsett storleken på det pålagda elektriska fältet. Vidare uppträder kvantbrunnar som tvådimensionella system, vilket kraftigt förstärker excitoniska effekter med avseende på bulkmaterial. Faktum är att att lösa Schrödinger-ekvationen för en Coulomb-potential i ett tvådimensionellt system ger en excitonisk bindningsenergi på

$E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2 }}}{\frac {R_{H}}{n^{2}-1/2}}$

vilket är fyra gånger så högt som det tredimensionella fallet för $1s$ -lösningen.

Optisk modulering

Animerad bild som visar förändring i absorptionsspektrum för GaAs/AlGaAs kvantbrunnar genom externt pålagd spänning

Den kvantbegränsade Stark-effektens mest lovande applikation ligger i dess förmåga att utföra optisk modulering i det nära infraröda spektralområdet, vilket är av stort intresse för kiselfotonik och nedskalning av optiska sammankopplingar . En QCSE-baserad elektroabsorptionsmodulator består av en PIN- struktur där den inneboende regionen innehåller flera kvantbrunnar och fungerar som en vågledare för bärarsignalen . Ett elektriskt fält kan induceras vinkelrätt mot kvantbrunnarna genom att applicera en extern, omvänd förspänning på PIN-dioden, vilket orsakar QCSE. Denna mekanism kan användas för att modulera våglängder under bandgapet i det opartiska systemet och inom räckhåll för den QCSE-inducerade rödförskjutningen.

Även om QCSE först demonstrerades i GaAs / Al _x Ga _1-x As kvantbrunnar, började QCSE generera intresse efter dess demonstration i Ge / SiGe . Till skillnad från III/V-halvledare kan Ge/SiGe-kvantbrunnsstaplar epitaxiellt odlas ovanpå ett kiselsubstrat, förutsatt att det finns något buffertskikt mellan de två. Detta är en avgörande fördel eftersom det gör att Ge/SiGe QCSE kan integreras med CMOS -teknik och kiselfotoniksystem.

Germanium är en halvledare med indirekt gap , med ett bandgap på 0,66 eV . Den har emellertid också ett relativt minimum i ledningsbandet vid $\Gamma$ -punkten , med ett direkt bandgap på 0,8 eV, vilket motsvarar en våglängd på 1550 nm . QCSE i Ge/SiGe kvantbrunnar kan därför användas för att modulera ljus vid 1,55 ${\displaystyle \mu m} ,$$\mu m$ är avgörande för kiselfotoniktillämpningar eftersom 1,55 den optiska fibern `s transparensfönster och den mest använda våglängden för telekommunikation. Genom att finjustera materialparametrar som kvantbrunnsdjup, biaxiell töjning och kiselhalt i brunnen är det också möjligt att skräddarsy det optiska bandgapet i Ge/SiGe kvantbrunnssystemet för att modulera vid 1310 nm, vilket också motsvarar en transparens fönster för optiska fibrer. Elektrooptisk modulering av QCSE med Ge/SiGe-kvantbrunnar har visats upp till 23 Ghz med energier per bit så låga som 108 fJ. och integrerad i en vågledarkonfiguration på en SiGe-vågledare

Se även

• Franz-Keldysh-effekten

Allmänna källor

• Mark Fox, Optical properties of solids , Oxford, New York, 2001.
• Hartmut Haug, Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors , World Scientific, 2004.
• https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
• Shun Lien Chuang, Physics of Photonics Devices , Wiley, 2009.