Order-oändlig-3 triangulär honeycomb
| Order-oändlig-3 triangulär honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler | {3,∞,3} |
| Coxeter diagram |
   
|
| Celler |
{3,∞} 
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {3} |
| Vertex figur |
{∞,3} 
|
| Dubbel | Självdubbel |
| Coxeter grupp | [3,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är ordningen -oändlig-3 triangulära honeycomb (eller 3,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,3}.
Geometri
Den har tre oändliga triangulära plattor {3,∞} runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många triangulära beläggningar som finns runt varje vertex i en ordningsföljd-3 apeirogonal platta vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Besläktade polytoper och bikakor
Det är en del av en sekvens av vanliga bikakor med oändliga triangulära kakelceller : {3,∞, p }.
Det är en del av en sekvens av vanliga bikakor med ordningsföljd-3 apeirogonala tegelformade vertexfigurer : { p ,∞,3}.
Det är en del av en sekvens av självdubbla regelbundna bikakor: { p ,∞, p }.
Order-oändlig-4 triangulär honeycomb
| Order-oändlig-4 triangulär honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler |
{3,∞,4} {3,∞ 1,1 } |
| Coxeter diagram |
  = 
|
| Celler |
{3,∞}
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {4} |
| Vertex figur |
 {∞,4} r{∞,∞} 
|
| Dubbel | {4,∞,3} |
| Coxeter grupp |
[3,∞,4] [3,∞ 1,1 ] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den triangulära bikakan (eller 3,∞,4 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,4}.
Den har fyra oändliga triangulära plattsättningar , {3,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många oändliga triangulära plattsättningar som finns runt varje vertex i en apeirogonal plattformad vertexfigur av ordning 4 .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Den har en andra konstruktion som en enhetlig bikaka, Schläfli-symbol {3,∞ 1,1 }, Coxeter-diagram, , med alternerande typer eller färger av oändliga triangulära kakelceller. I Coxeter-notation är halvsymmetrin [3,∞,4,1 + ] = [3,∞ 1,1 ].
Order-oändlig-5 triangulär honeycomb
| Order-oändlig-5 triangulär honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler | {3,∞,5} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{3,∞}
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {5} |
| Vertex figur |
{∞,5} 
|
| Dubbel | {5,∞,3} |
| Coxeter grupp | [3,∞,5] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den triangulära bikakan (eller 3,∞,5 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,5}. Den har fem oändliga triangulära plattor , {3,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många oändliga triangulära plattsättningar som finns runt varje vertex i en ordnings-5 apeirogonal plattformad vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-6 triangulär honeycomb
| Order-oändlig-6 triangulär honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler |
{3,∞,6} {3,(∞,3,∞)} |
| Coxeter diagram |
 =
|
| Celler |
{3,∞}
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {6} |
| Vertex figur |
 {∞,6} {(∞,3,∞)} 
|
| Dubbel | {6,∞,3} |
| Coxeter grupp | [3,∞,6] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den triangulära bikakan (eller 3,∞,6 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,6}. Den har oändligt många triangulära plattor i oändlig ordning , {3,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många oändliga triangulära plattsättningar som finns runt varje vertex i en ordning-6 apeirogonal plattsättning , {∞,6}, vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-7 triangulär honeycomb
| Order-oändlig-7 triangulär honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler | {3,∞,7} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{3,∞}
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {7} |
| Vertex figur | {∞,7}
|
| Dubbel | {7,∞,3} |
| Coxeter grupp | [3,∞,7] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den triangulära bikakan (eller 3,∞,6 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,7}. Den har oändligt många triangulära plattor i oändlig ordning , {3,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många oändliga triangulära plattsättningar som finns runt varje vertex i en ordning-7 apeirogonal plattsättning , {∞,7}, vertexfigur .
 Idealisk yta |
Order-oändlig-oändlig triangulär honungskaka
| Order-oändlig-oändlig triangulär honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler |
{3,∞,∞} {3,(∞,∞,∞)} |
| Coxeter diagram |
=
|
| Celler |
{3,∞}
|
| Ansikten | {3} |
| Kantfigur | {∞} |
| Vertex figur |
 {∞,∞} {(∞,∞,∞)} 
|
| Dubbel | {∞,∞,3} |
| Coxeter grupp |
[∞,∞,3] [3,((∞,∞,∞))] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är ordningen -oändligt-oändligt triangulär bikaka (eller 3,∞,∞ honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {3,∞,∞}. Den har oändligt många triangulära plattor i oändlig ordning , {3,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många triangulära plattsättningar av oändlig ordning som finns runt varje vertex i en oändlig ordning apeirogonal plattsättning , {∞,∞}, vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Den har en andra konstruktion som en enhetlig bikaka, Schläfli-symbol {3,(∞,∞,∞)}, Coxeter-diagram, = , med alternerande typer eller färger av oändliga triangulära kakelceller. I Coxeter-notation är halvsymmetrin [3,∞,∞,1 + ] = [3,((∞,∞,∞))].
Order-oändlig-3 kvadratisk honeycomb
| Order-oändlig-3 kvadratisk honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {4,∞,3} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{4,∞} 
|
| Ansikten | {4} |
| Vertex figur | {∞,3} |
| Dubbel | {3,∞,4} |
| Coxeter grupp | [4,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperbolisk 3-space , ordningen-oändlig-3 kvadratiska honeycomb (eller 4,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ). Varje oändlig cell består av en heptagonal plattsättning vars hörn ligger på en 2-hypercykel , som var och en har en begränsande cirkel på den ideala sfären.
Schläfli- symbolen för den fyrkantiga bikakan av ordningen-oändlig-3 är {4,∞,3}, med tre oändliga kvadratiska plattor som möts vid varje kant. Topfiguren för denna bikaka är en apeirogonal ordning 3, {∞,3} .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-3 femkantiga honeycomb
| Order-oändlig-3 femkantiga honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {5,∞,3} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{5,∞} 
|
| Ansikten | {5} |
| Vertex figur | {∞,3} |
| Dubbel | {3,∞,5} |
| Coxeter grupp | [5,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperbolisk 3-space , order-oändlig-3 femkantiga honeycomb (eller 5,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ). Varje oändlig cell består av en oändlig ordnings femkantig plattsättning vars hörn ligger på en 2-hypercykel , som var och en har en begränsande cirkel på den ideala sfären.
Schläfli -symbolen för den femkantiga bikakan av ordningen 6-3 är {5,∞,3}, med tre femkantiga plattor av oändlig ordning som möts vid varje kant. Hönsfiguren på denna bikaka är en sjukantig plattsättning, {∞,3} .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-3 sexkantig honungskaka
| Order-oändlig-3 sexkantig honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {6,∞,3} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{6,∞}
|
| Ansikten | {6} |
| Vertex figur | {∞,3} |
| Dubbel | {3,∞,6} |
| Coxeter grupp | [6,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperbolisk 3-space , order-oändlig-3 hexagonal honeycomb (eller 6,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ). Varje oändlig cell består av en apeirogonal ordning 3 vars hörn ligger på en 2-hypercykel , som var och en har en begränsande cirkel på den ideala sfären.
Schläfli -symbolen för den sexkantiga bikakan av ordningen-oändlig-3 är {6,∞,3}, med tre sexkantiga plattsättningar i oändlig ordning som möts vid varje kant. Topfiguren för denna bikaka är en apeirogonal ordning 3, {∞,3} .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-3 heptagonal honungskaka
| Order-oändlig-3 heptagonal honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {7,∞,3} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler | {7,∞}
|
| Ansikten | {7} |
| Vertex figur | {∞,3} |
| Dubbel | {3,∞,7} |
| Coxeter grupp | [7,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperbolisk 3-space , order-oändlig-3 heptagonal honeycomb (eller 7,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ). Varje oändlig cell består av en oändlig ordnings heptagonal plattsättning vars hörn ligger på en 2-hypercykel , som var och en har en begränsande cirkel på den ideala sfären.
Schläfli - symbolen för den heptagonala honungskakan av ordningen-oändlig 3 är {7,∞,3}, med tre oändliga sjukantiga plattsättningar som möts vid varje kant. Topfiguren för denna bikaka är en apeirogonal ordning 3, {∞,3} .
 Idealisk yta |
Order-oändlig-3 apeirogonal honungskaka
| Order-oändlig-3 apeirogonal honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {∞,∞,3} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{∞,∞} 
|
| Ansikten | Apeirogon {∞} |
| Vertex figur | {∞,3} |
| Dubbel | {3,∞,∞} |
| Coxeter grupp | [∞,∞,3] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperboliskt 3-utrymme , ordningen-oändlig-3 apeirogonal honeycomb (eller ∞,∞,3 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ). Varje oändlig cell består av en oändlig ordning apeirogonal plattsättning vars hörn ligger på en 2-hypercykel , som var och en har en begränsande cirkel på den ideala sfären.
Schläfli- symbolen för den apeirogonala brickan är {∞,∞,3}, med tre oändliga apeirogonala plattsättningar som möts vid varje kant. Hönsfiguren för denna bikaka är en oändlig ordningsföljd av apeirogonal plattsättning, {∞,3} .
Den "ideala ytan"-projektionen nedan är ett plan-i-oändlighet, i Poincarés halvrumsmodell av H3. Den visar ett apolloniskt packningsmönster av cirklar inuti en största cirkel.
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-4 fyrkantig honeycomb
| Order-oändlig-4 fyrkantig honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {4,∞,4} |
| Coxeter diagram |
=
|
| Celler |
{4,∞}
|
| Ansikten | {4} |
| Kantfigur | {4} |
| Vertex figur |
{∞,4} {∞,∞} |
| Dubbel | självdual |
| Coxeter grupp | [4,∞,4] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin av hyperboliskt 3-rum är ordningen -oändlig-4 kvadratisk honeycomb (eller 4,∞,4 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {4,∞,4}.
Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med fyra oändliga kvadratiska plattsättningar som finns runt varje kant och med en apeirogonal plattformad vertexfigur av ordning 4 .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Den har en andra konstruktion som en enhetlig bikaka, Schläfli-symbol {4,∞ 1,1 }, Coxeter-diagram, , med alternerande typer eller färger av celler. I Coxeter-notation är halvsymmetrin [4,∞,4,1 + ] = [4,∞ 1,1 ].
Order-oändlig-5 femkantiga honeycomb
| Order-oändlig-5 femkantiga honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symbol | {5,∞,5} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler |
{5,∞}
|
| Ansikten | {5} |
| Kantfigur | {5} |
| Vertex figur | {∞,5} |
| Dubbel | självdual |
| Coxeter grupp | [5,∞,5] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den femkantiga bikakan (eller 5,∞,5 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {5,∞,5}.
Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med fem femkantiga plattor av oändlig ordning som finns runt varje kant och med en apeirogonal sida vid sida av ordningen 5 .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Order-oändlig-6 hexagonal honungskaka
| Order-oändlig-6 hexagonal honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler |
{6,∞,6} {6,(∞,3,∞)} |
| Coxeter diagram |
=
|
| Celler |
{6,∞}
|
| Ansikten | {6} |
| Kantfigur | {6} |
| Vertex figur |
{∞,6} {(5,3,5)} 
|
| Dubbel | självdual |
| Coxeter grupp |
[6,∞,6] [6,((∞,3,∞))] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den sexkantiga bikakan (eller 6,∞,6 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {6,∞,6}. Den har sex hexagonala plattsättningar i oändlig ordning , {6,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många hexagonala plattsättningar som finns runt varje vertex i en ordning-6 apeirogonal plattformad vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Den har en andra konstruktion som en enhetlig bikaka, Schläfli-symbol {6,(∞,3,∞)}, Coxeter-diagram, , med alternerande typer eller färger av celler. I Coxeter-notation är halvsymmetrin [6,∞,6,1 + ] = [6,((∞,3,∞))].
Order-oändlig 7-heptagonal honeycomb
| Order-oändlig 7-heptagonal honeycomb | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler | {7,∞,7} |
| Coxeter diagram |
|
| Celler | {7,∞}
|
| Ansikten | {7} |
| Kantfigur | {7} |
| Vertex figur | {∞,7}
|
| Dubbel | självdual |
| Coxeter grupp | [7,∞,7] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är den heptagonala bikakan (eller 7,∞,7 honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {7,∞,7}. Den har sju oändliga sjukantiga plattor, {7,∞}, runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många heptagonala plattsättningar som finns runt varje vertex i en ordning-7 apeirogonal plattformad vertexfigur .
 Idealisk yta |
Ordning-oändlig-oändlig apeirogonal honungskaka
| Ordning-oändlig-oändlig apeirogonal honungskaka | |
|---|---|
| Typ | Vanlig honungskaka |
| Schläfli symboler |
{∞,∞,∞} {∞,(∞,∞,∞)} |
| Coxeter diagram |
↔
|
| Celler |
{∞,∞}
|
| Ansikten | {∞} |
| Kantfigur | {∞} |
| Vertex figur |
{∞,∞} {(∞,∞,∞)} |
| Dubbel | självdual |
| Coxeter grupp |
[∞,∞,∞] [∞,((∞,∞,∞))] |
| Egenskaper | Regelbunden |
I geometrin för hyperboliskt 3-rum är ordningen -oändlig-oändlig apeirogonal honeycomb (eller ∞,∞,∞ honeycomb ) en vanlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) med Schläfli-symbolen {∞,∞,∞}. Den har oändligt många apeirogonala plattor i oändlig ordning {∞,∞} runt varje kant. Alla hörn är ultra-ideala (existerar bortom den ideala gränsen) med oändligt många oändliga apeirogonala plattsättningar som finns runt varje vertex i en oändlig ordning apeirogonal plattformad vertexfigur .
 Poincaré skiva modell |
 Idealisk yta |
Den har en andra konstruktion som en enhetlig bikaka, Schläfli-symbol {∞,(∞,∞,∞)}, Coxeter-diagram, , med alternerande typer eller färger av celler.
Se även
- Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
- The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space ) Tabell III
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (kapitel 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
- George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups , JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 (1982) [1]
- Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter-grupper och Boyd-Maxwell bollpackningar , (2013) [2]
- Visualisera hyperboliska honeycombs arXiv:1511.02851 Roice Nelson, Henry Segerman (2015)
externa länkar
- Hyperbolic Catacombs Carousel: {3,∞,3} honeycomb YouTube , Roice Nelson
- John Baez , Visuella insikter : {7,3,3} Honeycomb (2014/08/01) {7,3,3} Honeycomb Meets Plane at Infinity (2014/08/14)
- Danny Calegari , Kleinian, ett verktyg för att visualisera Kleinian-grupper, Geometry and the Imagination 4 mars 2014. [3]