Topologisk dynamik

I matematik är topologisk dynamik en gren av teorin om dynamiska system där kvalitativa , asymptotiska egenskaper hos dynamiska system studeras ur allmän topologis synvinkel .

Omfattning

Det centrala studieobjektet i topologisk dynamik är ett topologiskt dynamiskt system , dvs ett topologiskt utrymme , tillsammans med en kontinuerlig transformation , ett kontinuerligt flöde, eller mer allmänt, en halvgrupp av kontinuerliga transformationer av det utrymmet. Ursprunget till topologisk dynamik ligger i studiet av asymptotiska egenskaper hos banor av system med autonoma vanliga differentialekvationer , i synnerhet beteendet hos gränsuppsättningar och olika manifestationer av "repetitivitet" av rörelsen, såsom periodiska banor, återfall och minimalitet, stabilitet, icke-vandrande punkter . George Birkhoff anses vara fältets grundare. En struktursats för minimala distala flöden bevisad av Hillel Furstenberg i början av 1960-talet inspirerade mycket arbete med klassificering av minimala flöden. Mycket forskning under 1970- och 1980-talen ägnades åt topologisk dynamik hos endimensionella kartor, i synnerhet bitvis linjära självkartor av intervallet och cirkeln.

Till skillnad från teorin om släta dynamiska system, där huvudobjektet för studien är ett jämnt grenrör med en diffeomorfism eller ett jämnt flöde, är fasutrymmen som betraktas i topologisk dynamik allmänna metriska utrymmen (vanligtvis kompakta ). Detta kräver utveckling av helt andra tekniker men tillåter en extra grad av flexibilitet även i den jämna miljön, eftersom oföränderliga delmängder av ett grenrör ofta är mycket komplicerade topologiskt (jfr gränscykel , konstig attraktion ); dessutom skiftrum som uppstår via symboliska representationer betraktas på likvärdig fot med mer geometriska handlingar. Topologisk dynamik har intima kopplingar med ergodisk teori om dynamiska system, och många grundläggande begrepp av de senare har topologiska analoger (jfr Kolmogorov-Sinai-entropi och topologisk entropi) .

Se även

• Poincaré–Bendixsons sats
• Symbolisk dynamik
• Topologisk konjugation

• DV Anosov (2001) [1994], "Topologisk dynamik" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Joseph Auslander (red.). "Topologisk dynamik" . Scholarpedia .
• Robert Ellis, Föreläsningar om topologisk dynamik . WA Benjamin, Inc., New York 1969
• Walter Gottschalk , Gustav Hedlund , Topologisk dynamik . American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 36. American Mathematical Society, Providence, RI, 1955
•   J. de Vries, Element av topologisk dynamik . Mathematics and its Applications, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN 0-7923-2287-8
•   Ethan Akin, The General Topology of Dynamical Systems , AMS Bookstore, 2010, ISBN 978-0-8218-4932-3
•   J. de Vries, Topological Dynamical Systems: An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings , De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlin, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
• Jian Li och Xiang Dong Ye, Recent development of chao theory in topological dynamics , Acta Mathematica Sinica, English Series, 2016, Volym 32, Issue 1, s. 83–114.