Dubbel gruppoid

I matematik , särskilt i högre dimensionell algebra och homotopi teori , generaliserar en dubbel groupoid begreppet groupoid och kategori till en högre dimension.

Definition

En dubbel groupoid D är en högredimensionell groupoid som involverar ett förhållande för både "horisontella" och "vertikala" groupoidstrukturer. (En dubbel groupoid kan också betraktas som en generalisering av vissa högre dimensionella grupper.) Geometrin för kvadrater och deras sammansättning leder till en vanlig representation av en dubbel groupoid i följande diagram :

där M är en uppsättning "punkter", H och V är "horisontella" respektive "vertikala" gruppoider, och S är en uppsättning "kvadrater" med två sammansättningar. Sammansättningslagarna för en dubbel groupoid D gör att den också kan beskrivas som en groupoid intern i kategorin groupoids .

Givet två groupoids H och V över en mängd M , finns det en dubbel groupoid $\Box (H,V)$ med H,V som horisontella och vertikala kantgruppoider, och kvadrater givna av fyrdubblar

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}$

för vilket man alltid antar att h, h′ är i H och v, v′ är i V , och att de initiala och sista punkterna på dessa kanter matchar i M som antyds av notationen; det vill säga till exempel sh = sv, th = sv', ..., etc. Kompositionerna ska ärvas från de av H,V ; det är:

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v' \\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{1}{\begin{pmatrix}&h'&\\[-0.9ex]w&&w'\\[-0.9ex]&h'' &\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]vw&&v'w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}$

och

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v' \\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{2}{\begin{pmatrix}&k&\\[-0.9ex]v'&&v''\\[-0.9ex]&k' &\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&hk&\\[-0.9ex]v&&v''\\[-0.9ex]&h'k'&\end{pmatrix}}$

Denna konstruktion är den rätta anslutningen till den glömska funktorn som tar den dubbla groupoiden enligt ovan, till gruppoidparet H,V över M .

Andra relaterade konstruktioner är den för en dubbel groupoid med anslutning och homotopi dubbla groupoider. Homotopin dubbel groupoid av ett par spetsiga utrymmen är ett nyckelelement i beviset för en tvådimensionell Seifert-van Kampen-sats, som först bevisades av Brown och Higgins 1978, och fick en omfattande behandling i boken.

Exempel

En enkel klass av exempel kan tillagas genom att överväga korsade moduler , eller motsvarande data från en morfism av grupper

$[G_{1}\xrightarrow {\phi } G_{0}]$

som har en likvärdig beskrivning som groupoid internt i kategorin av grupper

$s,t:G_{0}\times G_{1}\to G_{0}$

var

${\begin{matrix}s(g_{0},g_{1})=g_{0}&t (g_{0},g_{1})=\phi (g_{1})g_{0}\end{matris}}$

är strukturmorfismerna för denna groupoid. Eftersom grupper bäddar in i kategorin groupoids som skickar en grupp $G$ till kategorin ${\textbf {B}}G$ med ett enda objekt och morfismer som ger gruppen $G$ , strukturen ovan ger en dubbel groupoid. Låt oss ge ett explicit exempel: från grupptillägget

$1\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 1$

och inbäddningen av ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}},$ det finns en associerad dubbel groupoid från tvåtermskomplexet av grupper

$Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}$

med kärna är $\mathbb {Z} _{4}$ och cokernel ges av $\mathbb {Z} _{2}$ . Detta ger en associerad homotopi typ $X$ med

$\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} _{2}$ och $\pi _{2}( X)=\mathbb {Z} _{4}$

Dess postnikov-invariant kan bestämmas av klassen $to \mathbb {Z} _{4}}$ \ i gruppkohomologigruppen $H^{3}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$ . Eftersom detta inte är en trivial korsad modul, är den postnikov-invariant $1$ , vilket ger en homotopityp som inte är ekvivalent med den geometriska realiseringen av en enkel abelisk grupp .

Homotopi dubbel groupoid

En generalisering till dimension 2 av den fundamentala groupoiden på en uppsättning bas gavs av Brown och Higgins 1978 enligt följande. Låt $(X,A,C)$ vara en trippel av mellanslag, dvs $C\subseteq A\subseteq X$ . Definiera $\rho (X,A,C)$ för att vara uppsättningen av homotopiklasser rel hörn av kartor av en kvadrat till X som tar kanterna in i A och hörn till C . Det är inte helt trivialt att bevisa att de naturliga sammansättningarna av sådana kvadrater i två riktningar ärvs av dessa homotopiklasser för att ge en dubbel groupoid, som också har en extra struktur av så kallade kopplingar som är nödvändiga för att diskutera idén om kommutativ kub i en dubbel gruppoid. Denna dubbelgruppoid används på ett väsentligt sätt för att bevisa en tvådimensionell Seifert-van Kampen-sats, som ger ny information och beräkningar på andra relativa homotopigrupper som en del av en korsad modul. För mer information, se del I av boken av Brown, Higgins, Sivera listad nedan.

Konvolutionsalgebra

En faltning C*-algebra för en dubbel groupoid kan också konstrueras genom att använda kvadratdiagrammet D för en dubbel groupoid.

Dubbel groupoid kategori

Den kategori vars objekt är dubbla groupoider och vars morfismer är dubbla groupoidhomomorfismer som är dubbla groupoiddiagram( D ) -funktioner kallas dubbelgruppoidkategorin , eller kategorin dubbla groupoider .

Se även

• 2-grupp
• Korsad modul
• N-grupp (kategoriteori)
• ∞-gruppoid

Anteckningar

Den här artikeln innehåller material från högre dimensionell algebra på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .

• Brown, Ronald och CB Spencer: " Dubbla groupoids and crossed modules ", Cahiers Top. Geom. Diff. . 17 (1976), 343-362.
• Brown, R., Hardie, K., Kamps, H. och T. Porter: 2002, "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space.", Teori och tillämpningar av kategorier: 10,71–93
• Brown, Ronald, 1987, " Från grupper till gruppoider: en kort undersökning, " Bull. London Math. Soc. 19 : 113–34. Går igenom gruppens historia fram till 1987, med början med Brandts arbete med kvadratiska former. Den nedladdningsbara versionen uppdaterar de många referenserna.
• Brown, Ronald,, 2006. Topologi och gruppoider. Booksurge. Reviderad och utökad upplaga av en bok som tidigare publicerats 1968 och 1988. Groupoider introduceras i samband med deras topologiska tillämpning.
• Brown, Ronald,, Högdimensionell gruppteori . Förklarar hur gruppoidkonceptet har lett till högre dimensionella homotopi-groupoider, med tillämpningar inom homotopi-teori och i gruppkohomologi .
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois teorier. Cambridge Univ. Tryck. Visar hur generaliseringar av Galois teori leder till Galois groupoider.
• Cannas da Silva, A. och A. Weinstein , Geometriska modeller för icke-kommutativa algebras. Särskilt del VI.
• Golubitsky, M. , Ian Stewart , 2006, " Icke-linear dynamics of networks: the groupoid formalism ", Bull. Amer. Matematik. Soc. 43 : 305–64
• Higgins, PJ, "The fundamental groupoid of a graph of groups ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145-149.
• Higgins, PJ och Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space ", i Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volym 962. Springer, Berlin (1982), 115 –122.
• Higgins, PJ, 1971. Kategorier och gruppoider. Van Nostrand Notes in Mathematics. Återpublicerad i Reprints in Theory and Applications of Categories , nr 7 (2005) s. 1–195; fritt nedladdningsbar . Betydande introduktion till kategoriteori med särskild tonvikt på groupoider. Presenterar tillämpningar av groupoids i gruppteori, till exempel till en generalisering av Grushkos sats , och i topologi, t.ex. fundamental groupoid .
• http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html "Double Groupoid with Connection".
• Weinstein, Alan, " Groupoids: unifying internal and external symmetry – A tour through some examples. " Finns även i Postscript. , Meddelanden från AMS, juli 1996, s. 744–752.