Sträckt rutnätsmetod

Sträckt rutnätsmetoden ( SGM ) är en numerisk teknik för att hitta ungefärliga lösningar på olika matematiska och tekniska problem som kan relateras till ett elastiskt nätbeteende. I synnerhet använder meteorologer metoden med sträckt rutnät för väderförutsägelser och ingenjörer använder metoden med sträckt rutnät för att designa tält och andra dragkonstruktioner .

FEM- och BEM-nätförfining

Under de senaste decennierna har de finita element- och gränselementmetoderna (FEM och BEM) blivit en stöttepelare för industriell teknisk design och analys. Allt större och mer komplexa konstruktioner simuleras med FEM eller BEM. Vissa problem med FEM- och BEM-teknisk analys är dock fortfarande i framkant. Det första problemet är en tillförlitlighet hos ingenjörsanalys som starkt beror på kvaliteten på initiala data som genereras vid förbehandlingsstadiet. för att generera automatiska elementnät i detta skede har blivit vanliga verktyg för analys av komplexa verkliga modeller. När FEM och BEM ökar i popularitet kommer incitamentet att förbättra automatiska meshing-algoritmer. Men alla dessa algoritmer kan skapa förvrängda och till och med oanvändbara rutnätselement. Det finns flera tekniker som kan ta ett befintligt nät och förbättra dess kvalitet. Till exempel utjämning (även kallad mesh-förfining ) en sådan metod, som ompositionerar nodlägen för att minimera elementförvrängning. Stretched Grid Method (SGM) gör det möjligt att erhålla pseudo-regelbundna maskor mycket enkelt och snabbt i en enstegslösning (se ).

Låt oss anta att det finns ett godtyckligt triangelnät inbäddat i en plan polygonal enkelkoherent kontur och framställt av en automaskningsprocedur (se fig. 1). Det kan vidare antas att rutnätet som betraktas som ett fysiskt nodalsystem är förvrängt av ett antal snedvridningar. Det antas att den totala potentiella energin för detta system är proportionell mot längden av någon $\ n$ -dimensionell vektor med alla nätverkssegment som dess komponenter.

Fig. 1 Ett triangelnät avgränsat av plan polygonal enkelkoherent kontur

Den potentiella energin tar alltså följande form

$\Pi =D\summa _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}$

var

• $\ n$ - totalt antal segment i nätverket,
• $\ R_{j}$ - Längden på segmentnummer $\ j$ ,
• $\ D$ - en godtycklig konstant.

Längden på segmentnummer $\ j$ kan uttryckas med två nodkoordinater som

$\ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22} -X_{21})^{2}}}$

Det kan också antas att koordinatvektor $\{\ X\}$ för alla noder är associerad med ett icke-förvrängt nätverk och koordinatvektor { $\displaystyle \{\ X' \}}$ är associerad med det förvrängda nätverket. Uttrycket för vektor $\{\ X\}$ kan skrivas som

$\{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Delta \ X\}$

av vektorn $\{\ X\}$ är relaterad till minimering av den kvadratiska formen $\ \Pi$ med inkrementell vektor $\{\Delta \ X\}$ , dvs

${\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0$

var

• $\ l$ - är antalet inre noder i området,
• $\ k$ - antalet koordinater

Efter alla transformationer kan vi skriva följande två oberoende system av linjära algebraiska ekvationer

$[\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}$

$[\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}$

var

• $[\ A]$ - symmetrisk matris i bandform som liknar global styvhetsmatris för FEM-sammansättning,
• $\{\Delta \ X_{1}\}$ och $\{\Delta \ X_{2}\}$ - inkrementella vektorer av koordinater för alla noder vid axlarna 1, 2,
• $\{\ B_{1}\}$ och $\{\ B_{2}\}$ - de högra delvektorerna som kombineras av koordinater för alla noder i axlarna 1, 2.

Fig. 2 Vänster: förvrängt 2D-rutnät, höger: korrigerat rutnät

Lösningen av båda systemen, som håller alla gränsnoder konservativa, erhåller nya inre nodpositioner motsvarande ett icke-förvrängt nät med pseudo-regelbundna element. Till exempel visar fig. 2 det rektangulära området täckt av ett triangulärt nät. Det initiala automatiska nätet har några degenerativa trianglar (vänsternät). Det slutliga nätet (höger nät) som produceras av SGM-proceduren är pseudo-regelbundet utan några förvrängda element.

Eftersom ovanstående system är linjära, förflyter proceduren mycket snabbt till en enstegslösning. Dessutom uppfyller varje slutlig inre nodposition kravet på koordinerat aritmetiskt medelvärde för noder som omger den och uppfyller Delaunay- kriterierna. Därför har SGM alla positiva värden som är utmärkande för Laplacian och andra typer av utjämningsmetoder men mycket enklare och tillförlitliga på grund av heltalsvärderade slutmatrisrepresentationer. Slutligen är den ovan beskrivna SGM perfekt tillämpbar inte bara på 2D-nät utan på 3D-nät som består av alla enhetliga celler såväl som på blandade eller övergående maskor.

Minsta ytproblemlösning

Matematiskt kallas ytan som är inbäddad i en icke-plan sluten kurva minimum om dess area är minimal bland alla ytor som passerar genom denna kurva. Det mest kända minsta ytprovet är en tvålfilm avgränsad av trådram. Vanligtvis för att skapa en minimal yta används en fiktiv konstitutiv lag, som upprätthåller en konstant förspänning, oberoende av eventuella förändringar i töjningen. Det alternativa approximativa tillvägagångssättet för lösningen av minsta ytproblem baseras på SGM. Denna formulering gör att man kan minimera ytan som är inbäddad i icke-plana och plana slutna konturer.

Fig 3. Katenoidal yta

Tanken är att approximera en ytdel inbäddad i 3D icke-plan kontur av ett godtyckligt triangelnät. För att konvergera ett sådant triangelnät till ett rutnät med minsta yta bör man lösa samma två system som beskrivits ovan. Ökningen av de tredje nodkoordinaterna kan ytterligare bestämmas av liknande system vid axel 3 på följande sätt

$[\ A]\{\Delta X_{3}\}=\{\ B_{3}\}$

Genom att lösa alla tre systemen samtidigt kan man få ett nytt rutnät som kommer att vara den ungefärliga minimala ytan inbäddad i icke-plan sluten kurva på grund av minimum av funktionen $\ \Pi$ där parameter ${ \displaystyle \ j=1,2,3}$ .

Som ett exempel presenteras ytan på katenoiden som beräknas med det ovan beskrivna tillvägagångssättet i Fig. 3. Ringarnas radier och katenoidens höjd är lika med 1,0. Den numeriska arean av katenoidal yta bestäms av SGM är lika med 2,9967189 (exakt värde är 2,992).

Draghållfasta tygstrukturer bildar fynd

Fig. 4 Hypar (hyperbolisk paraboloid)

Fig. 5 Markis av sadeltyp

För strukturanalys är strukturens konfiguration allmänt känd a priori. Detta är inte fallet för draghållfasta strukturer såsom spännvävsstrukturer . Eftersom membranet i en spänningsstruktur inte har någon böjstyvhet, beror dess form eller konfiguration på initial förspänning och de belastningar som det utsätts för. Således kan det bärande beteendet och formen på membranet inte separeras och kan inte generellt beskrivas endast med enkla geometriska modeller. Membranformen, belastningarna på strukturen och de inre spänningarna samverkar på ett icke-linjärt sätt för att uppfylla jämviktsekvationerna.

Fig. 6 Dansgolvsmodellen med rutnät

Fig. 7 Rendering av dansgolvets omslag

Fig. 8 Riktiga dansgolvsöverdrag

Den preliminära utformningen av spänningsstrukturer involverar bestämning av en initial konfiguration som kallas formsökning. Förutom att uppfylla jämviktsvillkoren måste den initiala konfigurationen tillgodose både arkitektoniska (estetiska) och strukturella (styrka och stabilitet) krav. Vidare bör kraven på utrymme och spel uppfyllas, membranets huvudsakliga spänningar måste vara draghållfasta för att undvika skrynkling, och radierna på den dubbelkrökta ytan bör vara tillräckligt små för att motstå belastningar utanför planet och för att säkerställa strukturell stabilitet ( arbete). Flera varianter av tillvägagångssätt för att hitta form baserade på FEM har utvecklats för att hjälpa ingenjörer vid design av spänningsvävstrukturer. Alla är baserade på samma antagande som det som används för att analysera beteendet hos dragkonstruktioner under olika belastningar. Men som det påpekas av vissa forskare kan det ibland vara att föredra att använda de så kallade " minimalytorna " vid utformningen av spänningsstrukturer.

Den fysiska innebörden av SGM består i konvergens av energin hos en godtycklig rutnätsstruktur inbäddad i stel (eller elastisk) 3D-kontur till ett minimum som är ekvivalent med minsta summaavstånd mellan godtyckliga par av rutnätnoder. Det tillåter den minimala ytenergiproblemlösningen som ersätter att hitta nätstruktursummans energiminimumfynd som ger ett mycket mer enkelt slutligt algebraiskt ekvationssystem än den vanliga FEM-formuleringen. Den generaliserade formuleringen av SGM förutsätter en möjlighet att applicera en uppsättning yttre krafter och stela eller elastiska begränsningar på rutnätsstrukturnoder som tillåter modellering av olika yttre effekter. Vi kan erhålla följande uttryck för sådan SGM-formulering

$\ Pi =\summa _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\summa _{i=1}^{3}\left(\summa _{k=1} ^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)$

var

• $\ n$ - totalt antal rutsegment,
• $\ m$ - totalt antal noder,
• $\ R_{j}$ - längden på segmentnummer $\ j$ ,
• $\ D_{j}$ - styvhet av segmentnummer $\ j$ ,
• $\ \Delta X_{ik}$ - koordinatökning för nod $\ k$ vid axeln $\ i$ ,
• $\ C_{ik}$ - styvheten hos en elastisk begränsning i nod $\ k$ vid axeln $\ i$ ,
• $\ P_{ik}$ - yttre kraft i nod $\ k$ vid axeln $\ i$ .

Utvecklingsproblem och generering av skärmönster

När väl en tillfredsställande form har hittats kan ett skärmönster genereras. Spännkonstruktioner är mycket varierande i storlek, krökning och materialstyvhet. Skärmönster approximation är starkt relaterad till var och en av dessa faktorer. Det är väsentligt för en metod för generering av skärmönster för att minimera möjlig approximation och att producera tillförlitliga planduksdata.

Målet är att utveckla de former som beskrivs av dessa data, så nära de idealiska dubbelböjda remsorna som möjligt. Generering av skärmönster innefattar i allmänhet två steg. Först delas den globala ytan av en spänningsstruktur upp i individuella dukar. Motsvarande skärmönster i det andra steget kan hittas genom att helt enkelt ta varje tygremsa och vika upp den på ett plant område. I fallet med den ideala dubbelkrökta membranytan kan underytan inte helt enkelt vikas ut och de måste tillplattas. Till exempel i, har SGM använts för att platta problemlösningen.

Problemet att skapa skärmönster är faktiskt uppdelat i två oberoende formuleringar. Dessa är genereringen av en distorsionsfri plan form som viker ut varje tygremsa och plattar ut dubbelkrökta ytor som inte enkelt kan vikas ut. När man studerar problemet noggrant kan man märka att från positionen för differentialgeometri är båda formuleringarna desamma. Vi kan betrakta det som en isometrisk mappning av en yta på det plana området som kommer att vara konform mappning och ekviareal mappning samtidigt på grund av invarianta vinklar mellan alla kurvor och invarians av alla delar av arean. När det gäller enkelböjd yta som kan vecklas ut gör exakt likarea kartläggning att man kan erhålla ett skärmönster för tygstruktur utan några förvrängningar. Den andra typen av ytor kan i ekvi-area med vissa förvrängningar av linjära ytelement begränsade av tygets egenskaper. Låt oss anta att två ytor parametriseras så att deras första kvadratiska former kan skrivas på följande sätt

$I_{1}=E_ {1}(u,v)\operatörsnamn {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatörsnamn {d} u\operatörsnamn {d} v+G_{1}(u,v) \operatörsnamn {d} v^{2}$

$I_{2}=E_{2}(u,v)\operatörsnamn {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatörsnamn {d} u\operatörsnamn {d} v+G_{2}(u,v)\operatörsnamn {d} v^{2}$

Villkoret för konform kartläggning för två ytor som formuleras i differentialgeometri kräver det

${\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}$

där $\ \lambda$ är förhållandet mellan ytdistorsionen på grund av konform mappning.

Det är känt att den första kvadratiska formen reflekterar avståndet mellan två ytpunkter $\ (u,v)$ och $\ (u+ \operatörsnamn {d} u,v+\operatörsnamn {d} v)$ . När $\ \lambda$ -förhållandet är nära 1 konvergerar ovanstående eqn till tillståndet för isometrisk mappning respektive till equi-area mappning på grund av invarianta vinklar mellan eventuella kurvor och invarians av alla delar av arean. Genom att komma ihåg att det första steget av formsökning är baserat på triangulärt nät av en yta och genom att använda metoden för viktade residualer för beskrivning av isometrisk och ekvi-area kartläggning av minimiytan på en plan yta kan vi skriva följande funktion som är definierad genom summan av integraler längs segment av böjda trianglar

$\Pi =D\summa _{j=1}^{n}\oint _{S_{ j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatörsnamn {d} s$

var

• $\ n$ - totalt antal rutnätsceller,
• $\ w_{j}$ - viktförhållanden,
• $\ \Pi$ - den totala mappningsresten,
• $\ D$ - konstanten som inte påverkar det slutliga resultatet och som kan användas som skalförhållande.

Med tanke på ytterligare viktförhållanden $\ w_{j}=1$ kan vi transformera ekv. till ungefärlig ändlig summa som är en kombination av linjära avstånd mellan noder i ytrutnätet och skriv grundvillkoret för ekvi-area ytkartläggning som ett minimum av följande icke-linjär funktion

$\Pi =D\summa _{j=1}^{n}\oint _{S_{ j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatörsnamn {d} s$

var

• $\ R_{j}$ - initial längd av linjärt segmentnummer $\ j$ ,
• $\ L_{j}$ - slutlig längd på segmentnummer $\ j$ ,
• $\ \lambda$ - distorsionsförhållande nära 1 och kan vara olika för varje segment.

De initiala och slutliga längderna för segmentnummer $\ j$ kan uttryckas som vanligt med två nodkoordinater som

$R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{ 2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}$

$L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}$

var

• $\ X_{ik}$ - koordinater för noder i det initiala segmentet,
• $\ x_{ik}$ - koordinater för noder i det sista segmentet.

Enligt det initiala antagandet kan vi skriva $\ x_{32}=x_{31}=0$ för den plana ytavbildningen. Uttrycket för vektorerna $\{\ x\}$ och $\{\ X\}$ med koordinatsteg termanvändning kan skrivas som

$\{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}$

Fig. 9 Utskärning av twin-peaks markisen

Fig. 10 Plåstrets ursprungliga form

Fig. 11 Plan patch-mönster

Vektorn $\{\Delta \ X\}$ görs som tidigare

${\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0$

Efter transformationer kan vi skriva följande två oberoende system av icke-linjära algebraiska ekvationer

$[\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\ Delta P_{1}\}$

$[\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{ 2}\}+\{\Delta P_{2}\}$

där alla delar av systemet kan uttryckas som tidigare och $\{\ \Delta P_{1}\}$ och $\{\ \Delta P_{2 }\}$ är vektorer av pseudo-spänningar vid axlarna 1, 2 som har följande form

$\{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\summa _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}$

var

• $\ N$ - totalt antal noder som omger nodnummer $\ t$ ,
• $\ l$ - antalet globala axlar.

Ovanstående tillvägagångssätt är en annan form av SGM och tillåter erhållande av två oberoende system av icke-linjära algebraiska ekvationer som kan lösas med vilken standard iterationsprocedur som helst. Ju mindre Gaussisk krökning av ytan är, desto högre är noggrannheten för planavbildningen. Som regel tillåter plankartläggningen att erhålla ett mönster med linjära dimensioner 1–2 % mindre än motsvarande rumsliga linjer på en slutlig yta. Det är därför det är nödvändigt att tillhandahålla lämpliga marginaler vid mönstring.

Det typiska provet av utskärning – även kallad en utskärning, en håla (segment) eller en lapp – presenteras i Fig. 9, 10, 11.

Se även

• Mesh generation
• Typer av mesh

externa länkar

• K3-Tältsystem för töjbara tygstrukturer för att hitta och skära mönstring
• Kubantent corp