Eulers teorem (differentialgeometri)
Inom det matematiska fältet för differentialgeometri är Eulers sats ett resultat på krökningen av kurvor på en yta . Teoremet fastställer förekomsten av principiella krökningar och tillhörande huvudriktningar som ger de riktningar i vilka ytan kröker sig mest och minst. Satsen är uppkallad efter Leonhard Euler som bevisade satsen i ( Euler 1760 ) .
Mer exakt, låt M vara en yta i det tredimensionella euklidiska rummet och p en punkt på M . Ett normalplan genom p är ett plan som går genom punkten p som innehåller normalvektorn till M . Genom varje ( enhet ) tangentvektor till M vid p , passerar ett normalplan P X som skär ut en kurva i M. Den kurvan har en viss krökning κ X när den betraktas som en kurva inuti P X . Förutsatt att inte alla κ X är lika, finns det någon enhetsvektor X 1 för vilken k 1 = κ X 1 är så stor som möjligt, och en annan enhetsvektor X 2 för vilken k 2 = κ X 2 är så liten som möjligt. Eulers teorem hävdar att X 1 och X 2 är vinkelräta och att dessutom, om X är någon vektor som bildar en vinkel θ med X 1 , då
-
()
Storheterna k 1 och k 2 kallas för huvudkurvaturerna och X 1 och X 2 är motsvarande huvudriktningar . Ekvation ( 1 ) kallas ibland Eulers ekvation ( Eisenhart 2004 , s. 124).
Se även
- Eisenhart, Luther P. (2004), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces , Dover, ISBN 0-486-43820-1 Fullständig text från 1909 (nu utan upphovsrätt)
- Euler, Leonhard (1760), "Recherches sur la courbure des surfaces" , Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (publicerad 1767), 16 : 119–143 .
- Spivak, Michael (1999), En omfattande introduktion till differentialgeometri, Volym II , Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3