Helicoid

En helikoid med α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 och −

π

≤ θ ≤

π

.

Helicoiden , även känd som spiralformad yta , efter planet och katenoiden , är den tredje minimala ytan som är känd.

Beskrivning

Den beskrevs av Euler 1774 och av Jean Baptiste Meusnier 1776. Dess namn kommer från dess likhet med spiralen : för varje punkt på spiralen finns det en spiral i spiralen som passerar genom den punkten. Eftersom det anses att det plana området sträcker sig genom negativ och positiv oändlighet, visar noggrann observation uppkomsten av två parallella eller spegelplan i den meningen att om lutningen på ett plan spåras, kan samplanet ses vara förbikopplat eller hoppade över, även om samplanet i själva verket också spåras från det motsatta perspektivet.

Helicoiden är också en regerad yta (och en höger konoid ), vilket betyder att det är ett spår av en linje. Alternativt, för vilken punkt som helst på ytan, finns det en linje på ytan som passerar genom den. Katalanska bevisade faktiskt 1842 att helicoiden och planet var de enda styrda minimala ytorna .

En helicoid är också en translationsyta i betydelsen differentialgeometri.

Helicoiden och katenoiden är delar av en familj av helicoid-catenoid minimala ytor.

Helicoiden är formad som Arkimedes skruv , men sträcker sig oändligt åt alla håll. Det kan beskrivas med följande parametriska ekvationer i kartesiska koordinater :

x=\rho \cos(\alpha \theta ),\

y=\rho \sin(\alpha \theta ),\

z=\theta ,\

där $ρ$ och $θ$ sträcker sig från negativ oändlighet till positiv oändlighet, medan $α$ är en konstant. Om $α$ är positiv är helikoiden högerhänt som visas i figuren; om negativ, vänsterhänt.

Helikoiden har huvudsakliga krökningar $\pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\$ . Summan av dessa kvantiteter ger medelkurvaturen ( noll eftersom helicoiden är en minimal yta) och produkten ger Gaussisk krökning .

Helikoiden är homeomorf till planet $\mathbb {R} ^{2}$ . För att se detta, låt $α$ minska kontinuerligt från sitt givna värde ner till noll . Varje mellanvärde av $α$ kommer att beskriva en annan helicoid, tills $α = 0$ nås och helicoiden blir ett vertikalt plan .

Omvänt kan ett plan förvandlas till en helicoid genom att välja en linje, eller axel , på planet och sedan vrida planet runt den axeln.

Om en skruvlinje med radien $R$ roterar med en vinkel på $θ$ runt sin axel medan den stiger med en höjd $h$ , ges ytan av ytan av

{\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac { R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.

Helicoid och catenoid

Animation som visar omvandlingen av en helicoid till en katenoid.

Helikoiden och katenoiden är lokalt isometriska ytor; se Catenoid#Helicoid transformation .

Se även

Anteckningar

^ Beståndsdelar av geometrin och topologin av minimala ytor i tredimensionellt utrymme av AT Fomenko , AA Tuzhilin Bidragsgivare AA Tuzhilin Publicerad av AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-3-4552 sid. 33
^ Weisstein, Eric W. "Helicoid" . MathWorld . Hämtad 2020-06-08 .

externa länkar

"Helicoid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
WebGL-baserad interaktiv 3D Helicoid

[1] Beståndsdelar av geometrin och topologin av minimala ytor i tredimensionellt utrymme av AT Fomenko , AA Tuzhilin Bidragsgivare AA Tuzhilin Publicerad av AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-3-4552 sid. 33

[2] Weisstein, Eric W. "Helicoid" . MathWorld . Hämtad 2020-06-08 .