Lokalt kompakt abelsk grupp

I flera matematiska områden, inklusive harmonisk analys , topologi och talteori , är lokalt kompakta abelska grupper abelska grupper som har en särskilt bekväm topologi på sig. Till exempel är gruppen av heltal (utrustad med den diskreta topologin ), eller de reella talen eller cirkeln (båda med sin vanliga topologi) lokalt kompakta abelska grupper.

Definition och exempel

En topologisk grupp kallas lokalt kompakt om det underliggande topologiska utrymmet är lokalt kompakt och Hausdorff ; den topologiska gruppen kallas abelisk om den underliggande gruppen är abelisk .

Exempel på lokalt kompakta abelska grupper inkluderar:

• $\mathbb {R} ^{n}$ för n ett positivt heltal, med vektoraddition som gruppoperation.
• De positiva reella talen $\mathbb {R} ^{+}$ med multiplikation som operation. Denna grupp är isomorf till $(\mathbb {R} ,+)$ av den exponentiella kartan.
• Vilken finit abelsk grupp som helst, med den diskreta topologin . Enligt struktursatsen för finita abelska grupper är alla sådana grupper produkter av cykliska grupper.
• Heltalen $\mathbb {Z}$ under addition, återigen med den diskreta topologin.
• Cirkelgruppen , betecknad $T}}$ { för torus . Detta är gruppen av komplexa tal för modul 1. $\mathbb {T}$ är isomorf som en topologisk grupp till kvotgruppen $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ .
• Fältet $\mathbb {Q} _{p}$ av p -adic tal under addition, med den vanliga p -adic topologin.

Den dubbla gruppen

Om $G$ är en lokalt kompakt abelsk grupp, är tecknet G $G$ en kontinuerlig grupphomomorfism från $G$ med värden i cirkelgruppen $displaystyle \mathbb {T} }$ . Uppsättningen av alla tecken på $G$ kan göras till en lokalt kompakt abelsk grupp, kallad den dubbla gruppen av $G$ och betecknad ${\widehat {G}}$ . Gruppoperationen på den dubbla gruppen ges genom punktvis multiplikation av tecken, inversen av ett tecken är dess komplexa konjugat och topologin på teckenrymden är den för enhetlig konvergens på kompakta mängder (dvs. den kompakta öppna topologin , visning ${\widehat {G}}$ som en delmängd av utrymmet för alla kontinuerliga funktioner från $G$ till ${\displaystyle \mathbb {T} } .$ ). Denna topologi är i allmänhet inte mätbar. Men om gruppen $G$ är en separerbar lokalt kompakt abelsk grupp, är den dubbla gruppen mätbar.

Detta är analogt med det dubbla rymden $\mathrm {Hom} (V,K)$ linjär algebra: precis som för ett vektorrum $V$ över ett fält $K$ är det dubbla rummet , så även den dubbla gruppen $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$ . Mer abstrakt är dessa båda exempel på representerbara funktorer som representeras av $K$ respektive $\mathbb {T}$ .

En grupp som är isomorf (som topologiska grupper) till sin dubbla grupp kallas självdual . Medan de reella och ändliga cykliska grupperna är självduala, är gruppen och den dubbla gruppen inte naturligt isomorfa och bör ses som två olika grupper.

Exempel på dubbla grupper

Dualen av $\mathbb {Z}$ är isomorf till cirkelgruppen $\mathbb {T}$ . Ett tecken på den oändliga cykliska gruppen av heltal $\mathbb {Z}$ under addition bestäms av dess värde vid generatorn 1. Således för alla tecken $\chi$ på $\mathbb { Z}$ , $\chi (n)=\chi (1)^{n}$ . Dessutom definierar denna formel ett tecken för valfritt val av $\chi (1)$ i $\mathbb {T}$ . Topologin för enhetlig konvergens på kompakta mängder är i detta fall topologin för punktvis konvergens . Detta är topologin för cirkelgruppen som ärvts från de komplexa talen.

Dualen av $\mathbb {T}$ är kanoniskt isomorf med $\mathbb {Z}$ . Faktum är att ett tecken på $\mathbb {T}$ har formen $z\mapsto z^{n}$ för $n$ ett heltal. Eftersom $\mathbb {T}$ är kompakt, är topologin på den dubbla gruppen den för enhetlig konvergens, vilket visar sig vara den diskreta topologin .

Gruppen av reella tal $\mathbb {R}$ , är isomorf till sin egen dual; tecknen på $\mathbb {R}$ har formen $r\mapsto e^{i\theta r}$ för $\theta$ ett reellt tal. Med dessa dualiteter sammanfaller versionen av Fouriertransformen som ska introduceras härnäst med den klassiska Fouriertransformen på $\mathbb {R}$ .

Analogt är gruppen av $p$ -adiska tal $\mathbb {Q} _{p}$ isomorf till sin dual. (Faktum är att varje ändlig förlängning av $\mathbb {Q} _{p}$ också är självdual.) Det följer att adeles är självduala.

Pontryagin dualitet

Pontryagin dualitet hävdar att funktorn

$G\mapsto {\hat {G}}$

inducerar en ekvivalens av kategorier mellan motsatsen till kategorin av lokalt kompakta abelska grupper (med kontinuerliga morfismer) och sig själv:

$LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.$

Kategoriska egenskaper

Clausen (2017) visar att kategorin LCA av lokalt kompakta abelska grupper, mycket grovt sett, mäter skillnaden mellan heltal och reella tal. Närmare bestämt ligger det algebraiska K-teorispektrumet för kategorin lokalt kompakta abelska grupper och de för Z och R i en homotopfibersekvens

${\displaystyle K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).} Clausen, Dustin ($

• 2017), A K-theoretic approach to Artin maps , arXiv : 1703.07842v2