Lemaître koordinater

Lemaître-koordinater är en speciell uppsättning koordinater för Schwarzschild-metriken - en sfäriskt symmetrisk lösning på Einsteins fältekvationer i vakuum - som introducerades av Georges Lemaître 1932. Ändring från Schwarzschild- till Lemaître-koordinater tar bort koordinatsingulariteten vid Schwars radius .

Ekvationer

Det ursprungliga Schwarzschild-koordinatuttrycket för Schwarzschild-metriken, i naturliga enheter ( c = G = 1 ), ges som

ds^{2}=\ vänster(1-{r_{s} \över r}\höger)dt^{2}-{dr^{2} \över 1-{r_{s} \över r}}-r^{2}\vänster (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,

var

ds^{2}

är det invarianta intervallet ;

r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}

är Schwarzschild-radien;

M

är den centrala kroppens massa;

t,r,\theta ,\phi

är Schwarzschild-koordinaterna (som asymptotiskt förvandlas till det platta sfäriska koordinater );

c

är ljusets hastighet ;

och

G

är gravitationskonstanten .

Detta mått har en koordinatsingularitet vid Schwarzschild-radien $r=r_{s}$ .

Georges Lemaître var den första som visade att detta inte är en verklig fysisk singularitet utan helt enkelt en manifestation av det faktum att de statiska Schwarzschild-koordinaterna inte kan realiseras med materiella kroppar innanför Schwarzschild-radien. Faktum är att inom Schwarzschild-radien faller allt mot mitten och det är omöjligt för en fysisk kropp att hålla en konstant radie.

En transformation av Schwarzschild-koordinatsystemet från $\{t,r\}$ till de nya koordinaterna $\{\tau ,\rho \},$

{\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r} }\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s} }{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}

(täljaren och nämnaren växlas inuti kvadratrötterna), leder till Lemaître-koordinatuttrycket för metriken,

ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})

var

r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.

Banorna med ρ -konstanten är tidsliknande geodetik med τ den rätta tiden längs dessa geodetik. De representerar rörelsen av fritt fallande partiklar som börjar med noll hastighet i oändligheten. När som helst är deras hastighet precis lika med flykthastigheten från den punkten.

I Lemaître-koordinater finns ingen singularitet vid Schwarzschild-radien, som istället motsvarar punkten ${\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_ {s}$ . Det finns dock kvar en äkta gravitationssingularitet i mitten, där ${\displaystyle \rho -\tau =0} ,$ som inte kan tas bort genom en koordinatändring.

Lemaître-koordinatsystemet är synkront , det vill säga den globala tidskoordinaten för metriken definierar den korrekta tiden för observatörer som rör sig samtidigt. De radiellt fallande kropparna når Schwarzschild-radien och centrum inom ändlig rätt tid.

Längs en radiell ljusstråles bana,

dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau ,

därför kan ingen signal komma inifrån Schwarzschild-radien, där alltid $dr<0$ och ljusstrålarna som sänds ut radiellt inåt och utåt båda hamnar i origo.

Se även