Synkron ram

En synkron ram är en referensram i vilken tidskoordinaten definierar rätt tid för alla observatörer i rörelse. Den är byggd genom att välja någon konstant tidshyperyta som ursprung, så att det i varje punkt har en normal längs tidslinjen och en ljuskon med en spets i den punkten kan konstrueras; alla intervallelement på denna hyperyta är rymdliknande . En familj av geodesiker normala för denna hyperyta ritas och definieras som tidskoordinaterna med en början vid hyperytan. När det gäller metriska tensorkomponenter $g_{ik}$ definieras en synkron ram så att

$g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0$

där $\alpha =1,2,3.$ En sådan konstruktion, och därmed valet av synkron ram, är alltid möjlig även om den inte är unik. Det tillåter varje transformation av rymdkoordinater som inte är beroende av tid och dessutom en transformation som åstadkoms av det godtyckliga valet av hyperyta som används för denna geometriska konstruktion.

Synkronisering i en godtycklig referensram

^{0 0} Synkronisering av klockor placerade vid olika rymdpunkter innebär att händelser som händer på olika platser kan mätas som samtidigt om dessa klockor visar samma tider. I speciell relativitet definieras rymdavståndselementet dl som intervallen mellan två mycket nära händelser som inträffar vid samma tidpunkt. I allmän relativitet kan detta inte göras, det vill säga man kan inte definiera dl genom att bara ersätta dt ≡ dx = 0 i metriken . Anledningen till detta är det olika beroendet mellan korrekt tid $\tau$ och tidskoordinaten x ≡ t i olika punkter i rymden, dvs $cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.$

Figur 1. Synkronisering av klockor i krökt utrymme genom ljussignaler.

För att hitta dl i detta fall kan tiden synkroniseras över två oändligt angränsande punkter på följande sätt (Fig. 1): Bob sänder en ljussignal från någon rymdpunkt B med koordinaterna $x^{ \alpha }+dx^{\alpha }$ till Alice som är på en mycket nära punkt A med koordinaterna x ^α och sedan reflekterar Alice omedelbart signalen tillbaka till Bob. Den tid som krävs för denna operation (mätt av Bob), multiplicerad med c är uppenbarligen det dubbla avståndet mellan Alice och Bob.

Linjeelementet , med separerade rums- och tidskoordinater, är :

$ds^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx ^{\alpha }\,dx^{\beta}+2g_{0\alpha}\,dx^{0}\,dx^{\alpha}+g_{00}\left(dx^{0}\right )^{2},$

 

 

 

 

()

⁰ där ett upprepat grekiskt index inom en term betyder summering med värdena 1, 2, 3. Intervallet mellan händelserna för signalens ankomst och dess omedelbara reflektion tillbaka vid punkt A är noll ( två händelser, ankomst och reflektion sker vid samma punkt i rum och tid). För ljussignaler är rymd-tidsintervallet noll och genom att sätta $ds=0$ i ovanstående ekvation kan vi lösa dx för att erhålla två rötter:

$dx^{0(1)}={ \frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta } -g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),$

$dx^{0(2)}={ \frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }+{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta } -g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),$

 

 

 

 

()

⁰ som motsvarar utbredningen av signalen i båda riktningarna mellan Alice och Bob. Om x är ankomstögonblicket/reflektionen av signalen till/från Alice i Bobs klocka, då motsvarar ögonblicken för signalavgång från Bob och dess ankomst tillbaka till Bob x + dx x⁰ + dx^{0 (1)} and x⁰ + dx^{0 (2)}. The thick lines on Fig. 1 are the world lines of Alice and Bob with coordinates x^α and x^α + dx^α, respectively, while the red lines are the world lines of the signals. Fig. 1 supposes that dx^{0 (2)} is positive and dx^{0 (1)} is negative, which, however, is not necessarily the case: dx^{0 (1)} and dx^{0 (2)} may have the same sign. The fact that in the latter case the value x⁰ (Alice) in the moment of signal arrival at Alice's position may be less than the value x⁰ (Bob) in the moment of signal departure from Bob does not contain a contradiction because clocks in different points of space are not supposed to be synchronized. It is clear that the full "time" interval between departure and arrival of the signal in Bob's place is

$dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0 \beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.$

Respektive rätt tidsintervall erhålls från förhållandet ovan genom multiplikation med ${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c} ,$ och avståndet dl mellan de två punkterna – genom ytterligare multiplikation med c / 2. Som ett resultat:

$dl^{2}=\left(-g_{\alpha \beta}+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)\, dx^{\alpha }\,dx^{\beta }.$

 

 

 

 

()

Detta är det erforderliga förhållandet som definierar avståndet genom rymdkoordinatelementen.

⁰⁰ Det är uppenbart att sådan synkronisering bör göras genom utbyte av ljussignaler mellan punkter. Betrakta återigen utbredning av signaler mellan oändligt nära punkterna A och B i Fig. 1. Klockavläsningen i B som är samtidigt med reflektionsmomentet i A ligger i mitten mellan ögonblicken för sändning och mottagning av signalen i B ; i detta ögonblick om Alices klocka läser y och Bobs klocka läser x då via Einstein Synchronization condition ,

$y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2} }=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.$

⁰ Ersätt här ekv. 2 för att hitta skillnaden i "tid" x mellan två samtidiga händelser som inträffar i oändligt nära punkter som

$\Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }}{g_{00}}}\equiv g_{\alpha }\,dx^{ \alpha }.$

 

 

 

 

()

Detta förhållande tillåter klocksynkronisering i vilken oändligt liten utrymmesvolym som helst. Genom att fortsätta sådan synkronisering längre från punkt A kan man synkronisera klockor, det vill säga bestämma samtidigheten av händelser längs vilken öppen linje som helst. Synkroniseringsvillkoret kan skrivas i en annan form genom att multiplicera ekv. 4 av g ₀₀ och föra termer till vänster sida

$\Delta x_{0}=g_{0i}dx^{i}=0$

 

 

 

 

()

₀ eller så bör den "kovarianta differentialen" dx mellan två oändligt nära punkter vara noll.

⁰ Emellertid är det i allmänhet omöjligt att synkronisera klockor längs en sluten kontur: utgående längs konturen och återvända till startpunkten skulle man få ett Δ x- värde som skiljer sig från noll. Således är entydig synkronisering av klockor över hela rymden omöjlig. Ett undantag är referensramar där alla komponenter g _0α är nollor.

Oförmågan att synkronisera alla klockor är en egenskap hos referensramen och inte hos själva rumtiden. Det är alltid möjligt på oändligt många sätt i vilket gravitationsfält som helst att välja referensramen så att de tre g _0α blir nollor och därmed möjliggör en fullständig synkronisering av klockor. Till denna klass tilldelas fall där g _0α kan göras till nollor genom en enkel ändring av tidskoordinaten som inte innebär val av ett system av objekt som definierar rymdkoordinaterna.

Även i den speciella relativitetsteorin förflyter riktig tid olika för klockor som rör sig relativt varandra. I allmän relativitetsteori är korrekt tid olika även i samma referensram vid olika punkter i rymden. Detta betyder att intervallet för korrekt tid mellan två händelser som inträffar vid någon rymdpunkt och tidsintervallet mellan händelserna samtidigt med de vid en annan rymdpunkt är i allmänhet olika.

Exempel: Jämnt roterande ram

Betrakta en vilobild (tröghets) uttryckt i cylindriska koordinater $r'\,\phi ',\,z'$ och tid $t'$ . Intervallet i denna ram ges av $ds^{2}=c^{2}dt'^{2}-dr'^{2}-r'^{2}d\phi '^{2}-dz'^{2}.$ Transformering till ett likformigt roterande koordinatsystem $(r,\phi ,z)$ med hjälp av relationen $x^{0}/c=t=t',\,x^{1}=r=r',\,x^{ 2}=\phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'$ ändrar intervallet till

$ds^{2}=(c^{2}-\Omega ^{2}r^{2})dt^{2}-2\Omega r^{2}d\phi dt-dr^{ 2}-r^{2}d\phi ^{2}-dz^{2}.$

Naturligtvis är den roterande ramen endast giltig för $r<c/\Omega$ eftersom bildhastigheten skulle överstiga ljusets hastighet bortom denna radiella plats. Komponenterna som inte är noll i den metriska tensorn är $g_{00}=1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2} ,$$g_{02}=-2\Omega r^{2}/c,$$g_{11}=-1 ,$$g_{22}=-r^{2}$ och $g_{33}=-1.$ Längs valfri öppen kurva är relationen

$\Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha } }{g_{00}}}dx^{\alpha }={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}} }d\phi$

kan användas för att synkronisera klockor. Men längs alla slutna kurvor är synkronisering omöjlig eftersom

$\oint \Delta x^{0}=\oint {\frac {d\phi \Omega r^ {2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.$

Till exempel, när $\Omega r/c\ll 1$ , har vi

$\oint \Delta x^{0}={\frac {\Omega }{c}}\oint r^{2}d\ phi =\pm {\frac {2\Omega }{c}}S$

där $S$ är den projicerade arean av den stängda kurvan på ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln (plus- eller minustecken motsvarar konturen som korsar i eller motsatt rotationsriktningen).

Det korrekta tidselementet i den roterande ramen ges av

$d\tau ={\sqrt {1-\Omega ^{2}r ^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {axel} }$

indikerar att tiden saktar ner när vi rör oss bort från axeln. På liknande sätt kan det rumsliga elementet beräknas för att hitta

$dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi ^{2}}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2 }}}+dz^{2}\right]^{1/2}.$

Vid ett fast värde på $r$ och $z$ är det rumsliga elementet $dl=( 1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2})^{-1/2}rd\phi$ som vid integration över en hel cirkel visar att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess radie ges av

${\frac {2\pi }{\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}}$

vilket är större än $2\pi$ .

Space metrisk tensor

Ekv. 3 kan skrivas om i formuläret

$dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },$

 

 

 

 

()

var

$\gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0 \beta }}{g_{00}}}$

 

 

 

 

()

är den tredimensionella metriska tensorn som bestämmer metriken, det vill säga rymdens geometriska egenskaper. Ekvationer ekv. 7 ange relationerna mellan måtten för det tredimensionella rummet $\gamma _{\alpha \beta }$ och måttet för den fyrdimensionella rumstiden $g_{ik}$ .

⁰ I allmänhet beror dock $g_{ik}$ på x så att $\gamma _{\alpha \beta }$ ändras med tiden. Därför är det inte meningsfullt att integrera dl : denna integral beror på valet av världslinje mellan de två punkter som den tas på. Därav följer att i allmän relativitet inte kan avståndet mellan två kroppar bestämmas generellt; detta avstånd bestäms endast för oändligt mycket nära punkter. Avstånd kan bestämmas för ändliga rymdregioner endast i sådana referensramar där g _ik inte är beroende av tid och därför får integralen ${\textstyle \int dl}$ längs rymdkurvan någon bestämd betydelse.

Tensorn $-\gamma _{\alpha \beta }$ är invers mot den kontravarianta 3-dimensionella tensorn $g^{\alpha \beta }$ . Om man skriver ekvationen $g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}$ i komponenter, har man:

$g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\ delta _{\gamma }^{\alpha },$

$g^{\alpha \beta }g_{\beta 0}+g^{\alpha 0}g_{00}=0,$

 

 

 

 

()

$g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.$

Att bestämma $g^{\alpha 0}$ från den andra ekvationen och ersätta den i den första bevisar att

$-g^{\alpha \beta }\gamma _{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },$

 

 

 

 

()

Detta resultat kan presenteras på annat sätt genom att säga att $g^{\alpha \beta }$ är komponenter i en kontravariant 3-dimensionell tensor som motsvarar metrisk $\gamma ^{\alpha \beta }$ :

$\gamma ^{\alpha \beta }=-g^{\alpha \beta }.$

 

 

 

 

()

Determinanterna g och $\gamma$ sammansatta av elementen $g_{ik}$ respektive ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} ,$ är relaterade till varandra genom det enkla förhållandet:

$-g=g_{00}\gamma .$

 

 

 

 

()

I många tillämpningar är det bekvämt att definiera en 3-dimensionell vektor g med kovarianta komponenter

$g_{\alpha }=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}.$

 

 

 

 

()

Om man betraktar g som en vektor i rymden med metrisk $\gamma _{\alpha \beta }$ , kan dess motsatta komponenter skrivas som $g^{\alpha } =\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }$ . Använder ekv. 11 och den andra av ekv. 8 , det är lätt att se det

$g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }=-g^{0\alpha }.$

 

 

 

 

()

Från den tredje av ekv. 8 , följer det

$g^{00}={\frac {1}{g_{00}}}-g_{\alpha }g^{\alpha }.$

 

 

 

 

()

Synkrona koordinater

⁰ Som slutsatsen av ekv. 5 _tillåter klocksynkronisering i olika rymdpunkter att metriska tensorkomponenter g0α är nollor. Om dessutom g ₀₀ = 1, så är tidskoordinaten x = t den korrekta tiden i varje rumspunkt (med c = 1). En referensram som uppfyller villkoren

$g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0,$

 

 

 

 

()

kallas synkron ram . Intervallelementet i detta system ges av uttrycket

$ds^{2}=dt^{2}-g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\, dx^{\beta },$

 

 

 

 

()

med de rumsliga metriska tensorkomponenterna identiska (med motsatt tecken) med komponenterna g _αβ :

$\gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }.$

 

 

 

 

()

⁰⁰⁰ Figur 2. En synkron ram byggd med valet av den tidslika hyperytan t = const (grön färg). Endast en rumslig koordinat x ¹ = x visas. De fyra observatörerna har samma riktiga tider x = t som är normala till hyperytan i sina lokalt plana rumstider (visas av ljuskonerna ) . Enhetsvektorn n = u = 1 visas i gult. Det finns inga rumsliga hastighetskomponenter ( u ^α = 0) så den vanliga egentliga tiden är en geodetisk linje med en början vid hyperytan och en positiv riktning (röda pilar).

₀⁰ I synkron ramtid är tidslinjerna normala mot hyperytorna t = const. I själva verket har enheten fyrvektornormal till en sådan överyta n _i = ∂ t /∂ x ⁱ kovarianta komponenter n _α = 0, n = 1. De respektive kontravarianta komponenterna med villkoren ekv. 15 är återigen n ^α = 0, n = 1.

⁰ Komponenterna i enhetsnormalen sammanfaller med de för fyrvektorn u ⁱ = dx ⁱ /ds som tangerar världslinjen x ¹ , x ² , x ³ = const. U = ⁱ med komponenterna u ^α = 0, u 1 uppfyller automatiskt de geodetiska ekvationerna :

${\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^ {k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,$

eftersom, från villkoren motsv. 15 , Christoffel-symbolerna $\Gamma _{00}^{\alpha }$ och $\Gamma _{00}^{0}$ försvinner på samma sätt. Därför är tidslinjerna i den synkrona ramen geodesik i rumtiden.

Dessa egenskaper kan användas för att konstruera synkron ram i vilken rumstid som helst (fig. 2). För detta ändamål, välj någon rymdliknande hyperyta som ursprung, sådan som i varje punkt har en normal längs tidslinjen (ligger inuti ljuskäglan med en spets i den punkten); alla intervallelement på denna hyperyta är rymdliknande. Rita sedan en familj av geodesiker normala till denna hyperyta. Välj dessa linjer som tidskoordinatlinjer och definiera tidskoordinaten t som längden s av geodetiken mätt med en början vid hyperytan; resultatet är en synkron ram.

En analytisk transformation till synkron ram kan göras med hjälp av Hamilton–Jacobi-ekvationen . Principen för denna metod bygger på det faktum att partikelbanor i gravitationsfält är geodetiska. Hamilton –Jacobis ekvation för en partikel (vars massa är satt lika med enhet) i ett gravitationsfält är

$g^{ik}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial S} {\partial x^{k}}}=1,$

 

 

 

 

()

där S är handlingen. Dess fullständiga integral har formen:

$S=f\left(\xi ^{\alpha },x^{i}\right)+A\left(\xi ^ {\alpha }\right),$

 

 

 

 

()

Observera att den kompletta integralen innehåller lika många godtyckliga konstanter som antalet oberoende variabler som i vårt fall är $4$ . ξα ^I ovanstående ekvation motsvarar dessa att de tre parametrarna ξα ^tre och den fjärde konstanten A behandlas som en godtycklig funktion av de . Med en sådan representation för S kan ekvationerna för partikelns bana erhållas genom att likställa derivatorna ∂S / ∂ξ ^α med noll, dvs.

${\frac {\partial f}{\partial \xi ^{\alpha }}}=-{\frac {\partial A}{\partial \xi ^{\alpha }}}.$

 

 

 

 

()

För varje uppsättning tilldelade värden för parametrarna ξα ^. , har de högra sidorna av ekvationerna 18a-18c bestämda konstanta värden, och världslinjen som bestäms av dessa ekvationer är en av de möjliga banorna för partikeln Genom att välja storheterna ξ ^α , som är konstanta längs banan, som nya rymdkoordinater, och kvantiteten S som den nya tidskoordinaten, får man en synkron ram; omvandlingen från de gamla koordinaterna till de nya ges av ekvationerna 18b-18c . Faktum är att det är garanterat att för en sådan transformation kommer tidslinjerna att vara geodetiska och kommer att vara normala mot hyperytorna S = const. Den senare punkten är uppenbar från den mekaniska analogin: fyrvektorn ∂S / ∂x ⁱ som är normal mot hyperytan sammanfaller i mekaniken med partikelns fyrmomentum och sammanfaller därför i riktning med dess fyrhastighet u ⁱ dvs med fyrvektorns tangent till banan. Slutligen är villkoret g ₀₀ = 1 uppenbarligen uppfyllt, eftersom derivatan − dS / ds av aktionen längs banan är massan av partikeln, som satt lika med 1; därför | dS / ds | = 1.

Mätarförhållandena ekv. 15 fixar inte koordinatsystemet helt och är därför inte en fast mätare , eftersom den rymdliknande hyperytan vid $t=0$ kan väljas godtyckligt. Man har fortfarande friheten att utföra några koordinattransformationer som innehåller fyra godtyckliga funktioner beroende på de tre rumsliga variablerna x ^α , som enkelt utarbetas i infinitesimal form:

$x^{i}={\tilde {x}}^{i}+\xi ^{i}({\tilde {x}}).$

 

 

 

 

()

Här är samlingarna av de fyra gamla koordinaterna ( t , x ^α ) och fyra nya koordinater $({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })$ betecknas med symbolerna x och ${\tilde {x}}$ . Funktionerna $\xi ^{i}({\tilde {x}})$ tillsammans med deras förstaderivator är oändligt små kvantiteter. Efter en sådan transformation tar det fyrdimensionella intervallet formen:

$ds^{2}=g_{ik}( x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{(ny)}}({\tilde {x}})d{\tilde {x}}^{i}d{ \tilde {x}}^{k},$

 

 

 

 

()

var

$g_{ik}^{\text{(ny)}}({\tilde {x}})=g_{ik}({\tilde {x}})+g_{il}({\tilde { x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{k}}}+g_{kl}({\ tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{i}}}+{\frac {\ partiell g_{ik}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tilde {x}}).$

 

 

 

 

()

I den sista formeln är $g_{ik}({\tilde {x}})$ samma funktioner g _ik ( x ) där x helt enkelt ska ersättas med ${ \displaystyle {\tilde {x}}}$ . Om man vill bevara mätare ekv. 15 även för den nya metriska tensorn $g_{ik}^{\text{(ny)}}({\tilde {x}})$ i de nya koordinaterna ${\tilde {x}}$ , det är nödvändigt att införa följande begränsningar för funktionerna $\xi ^{i}({\acute {x}})$ :

${\frac {\ partiell \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}}}=0,\quad g_{\alpha \beta }({\tilde {x}}) {\frac {\partial \xi ^{\beta }({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial \xi ^{0}({ \tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{\alpha }}}=0.$

 

 

 

 

()

Lösningarna av dessa ekvationer är:

$\xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta }({\tilde { x}}){\frac {\partial f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^ {3}\right)}{\partial {\tilde {x}}^{\beta }}}d{\tilde {x}}^{0}}+f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),$

 

 

 

 

()

⁰ där f och f ^α är fyra godtyckliga funktioner som endast beror på de rumsliga koordinaterna ${\tilde {x}}^{\alpha }$ .

⁰ För en mer elementär geometrisk förklaring, överväg Fig. 2. Först kan den synkrona tidslinjen ξ = t väljas godtyckligt (Bobs, Carols, Danas eller någon av oändligt många observatörer). Detta gör en godtyckligt vald funktion: $\xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{ 1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)$ . För det andra kan den initiala hyperytan väljas på oändligt många sätt. Vart och ett av dessa val ändrar tre funktioner: en funktion för var och en av de tre rumsliga koordinaterna $\xi ^{\alpha }=f^{\ alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)$ . Sammanlagt är fyra (= 1 + 3) funktioner godtyckliga.

När man diskuterar allmänna lösningar g _αβ för fältekvationerna i synkrona mätare, är det nödvändigt att komma ihåg att gravitationspotentialerna g _αβ innehåller, bland alla möjliga godtyckliga funktionella parametrar som finns i dem, fyra godtyckliga funktioner av 3-rum som bara representerar mätaren frihet och därför utan direkt fysisk betydelse.

Ett annat problem med den synkrona ramen är att kaustik kan uppstå som gör att mätarvalet går sönder. Dessa problem har orsakat vissa svårigheter att göra kosmologisk störningsteori i synkron ram, men problemen är nu väl förstått. Synkrona koordinater anses allmänt vara det mest effektiva referenssystemet för att göra beräkningar och används i många moderna kosmologikoder, såsom CMBFAST . De är också användbara för att lösa teoretiska problem där en rymdliknande hyperyta måste fixas, som med rymdliknande singulariteter .

Einsteins ekvationer i synkron ram

Införandet av en synkron ram gör att man kan separera operationerna av rums- och tidsdifferentiering i Einsteins fältekvationer . För att göra dem mer kortfattade, notationen

$\varkappa _{\alpha \beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}$

 

 

 

 

()

introduceras för tidsderivatorna av den tredimensionella metriska tensorn; dessa storheter bildar också en tredimensionell tensor. I den synkrona ramen $\varkappa _{\alpha \beta }$ proportionell mot den andra grundformen (formtensor). Alla operationer av skiftande index och kovariansdifferentiering av tensorn $\varkappa _{\alpha \beta }$ görs i tredimensionellt rum med metriska γ _αβ . Detta gäller inte operationer av skiftande index i rymdkomponenterna hos fyrtensorerna R _ik , T _ik . T _α ^{β måste} alltså förstås vara g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α} , vilket reduceras till g ^βγ T _γα och skiljer sig i tecken från γ ^βγ T _γα . Summan $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }$ är den logaritmiska derivatan av determinanten γ ≡ | γ _αβ | = − g :

$\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }{\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}={\ frac {\partial }{\partial t}}\ln {(\gamma )}.$

 

 

 

 

()

får man för hela uppsättningen Christoffel-symboler ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}:$

$\ Gamma} {\$

 

 

 

 

()

där $\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$ är de tredimensionella Christoffel-symbolerna konstruerade från γ _αβ :

$\lambda _{\alpha \beta }={\gamma frac {1}{2}}\gamma ^{\gamma \mu }\left(\gamma _{\mu \alpha ,\beta}+\gamma _{\mu \beta ,\beta }-\gamma _{ \alpha \beta ,\mu }\right),$

 

 

 

 

()

där kommatecken anger partiell derivata av respektive koordinat.

Med Christoffel-symbolerna ekv. 25 komponenterna R ⁱ _k = g ^il R _lk av Ricci-tensorn skrivas i formen:

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{ \frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha },$

 

 

 

 

()

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ; \beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right),$

 

 

 

 

()

$R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }.$

 

 

 

 

()

Punkter överst betecknar tidsdifferentiering, semikolon (";") betecknar kovariansdifferentiering som i detta fall utförs med avseende på den tredimensionella metriken γ _αβ med tredimensionella Christoffel-symboler $\lambda _{\ alpha \beta }^{\gamma }$ , $\varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }$ , och P _α ^β är en tredimensionell Ricci-tensor konstruerad från $\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$ :

$P_{\alpha }^{\beta }=\gamma ^{\beta \gamma }P_{\gamma \alpha },\quad P_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha \beta , \gamma }^{\gamma }-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta }^{\gamma }+\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu } ^{\mu }-\lambda _{\alpha \mu }^{\gamma }\lambda _{\beta \gamma }^{\mu }.$

 

 

 

 

()

₀⁰⁰ Det följer av ekv. 27–29 att Einsteins ekvationer $R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^ {k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)$ (med komponenterna i energimomenttensorn T = − T ₀₀ , T _α = − T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) blir i en synkron ram:

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2} }{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=8\pi k\ vänster(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\höger),$

 

 

 

 

()

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\ varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{\alpha }^{0},$

 

 

 

 

()

$R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta}-{\frac {1 }{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T\right).$

 

 

 

 

()

En karakteristisk egenskap hos den synkrona ramen är att den inte är stationär: gravitationsfältet kan inte vara konstant i en sådan ram. I ett konstant fält $\varkappa _{\alpha \beta }$ bli noll. Men i närvaro av materia skulle försvinnandet av alla $\varkappa _{\alpha \beta }$ motsäga ekv. 31 (som har en högersida som skiljer sig från noll). I tomt utrymme från ekv. 33 följer att alla P _αβ , och med dem alla komponenterna i den tredimensionella krökningstensorn P _αβγδ ( Riemann tensor ) försvinner, dvs fältet försvinner helt (i en synkron ram med en euklidisk spatialmetrik är rumtiden platt) .

⁰₀ Samtidigt kan ämnet som fyller utrymmet i allmänhet inte vara i vila i förhållande till den synkrona ramen. Detta är uppenbart från det faktum att partiklar av materia inom vilka det finns tryck i allmänhet rör sig längs linjer som inte är geodetiska; världslinjen för en partikel i vila är en tidslinje, och är således en geodetisk i den synkrona ramen . Ett undantag är fallet med damm ( p = 0). Här kommer partiklarna som interagerar med varandra att röra sig längs geodetiska linjer; Följaktligen motsäger inte villkoret för en synkron ram i detta fall villkoret att det följer med saken. Även i detta fall, för att kunna välja en synkront kommande ram , är det fortfarande nödvändigt att saken rör sig utan rotation. I den kommande ramen är de kontravarianta komponenterna av hastigheten u = 1, u ^α = 0. Om ramen också är synkron måste de kovarianta komponenterna uppfylla u = 1, u _α = 0, så att dess fyrdimensionella krullning måste försvinna :

$u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.$

Men denna tensorekvation måste då också vara giltig i vilken annan referensram som helst. I en synkron men inte kommande ram behövs sålunda villkoret curl v = 0 för den tredimensionella hastigheten v dessutom. För andra tillståndsekvationer kan en liknande situation uppstå endast i speciella fall när tryckgradienten försvinner i alla eller i vissa riktningar.

Singularitet i synkron ram

Användning av den synkrona ramen i kosmologiska problem kräver noggrann undersökning av dess asymptotiska beteende. Speciellt måste det vara känt om den synkrona ramen kan utökas till oändlig tid och oändlig rymd, varvid den entydiga märkningen av varje punkt alltid upprätthålls i termer av koordinater i denna ram.

Det visades att entydig synkronisering av klockor över hela utrymmet är omöjlig på grund av omöjligheten att synkronisera klockor längs en sluten kontur. När det gäller synkronisering över oändlig tid, låt oss först påminna om att tidslinjerna för alla observatörer är normala för den valda hyperytan och i denna mening är "parallella". definieras begreppet parallellism i euklidisk geometri för att betyda raka linjer som är överallt på samma avstånd från varandra, men i godtyckliga geometrier kan detta begrepp utvidgas till att betyda linjer som är geodetiska . Det visades att tidslinjer är geodetiska i synkron ram. En annan, mer bekväm definition av parallella linjer för föreliggande ändamål är de som har alla eller inga av sina punkter gemensamma. Om man utesluter fallet med alla punkter gemensamma (uppenbarligen samma linje) kommer man till definitionen av parallellitet där inga två tidslinjer har en gemensam punkt.

Eftersom tidslinjerna i en synkron ram är geodetiska, är dessa linjer raka (ljusets väg) för alla observatörer i den genererande hyperytan. Det rumsliga måttet är

$dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }$ .

Determinanten $\gamma$ för den metriska tensorn är det absoluta värdet av trippelprodukten av radvektorerna i matrisen $\gamma _{\alpha \beta }$ som också är volymen av parallellepipeden spänns av vektorerna ${\vec {\gamma }}_{1}$ , ${\vec {\gamma }}_{2}$ och ${\vec {\gamma }}_{3}$ (dvs parallellepipeden vars intilliggande sidor är vektorerna ${\vec {\gamma }}_{1}$ , ${\vec {\gamma }}_{2}$ och ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}})$ .

$\gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma}}_{2}\times {\vec {\gamma}}_{3 })|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{ 23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelpiped}}$

Om $\gamma$ förvandlas till noll så är volymen för denna parallellepiped noll. Detta kan hända när en av vektorerna ligger i de två andra vektorernas plan så att parallellepipedvolymen transformeras till basens area (höjden blir noll), eller mer formellt när två av vektorerna är linjärt beroende. Men då kan flera punkter (skärningspunkterna) märkas på samma sätt, det vill säga måtten har en singularitet.

Landau -gruppen har funnit att den synkrona ramen med nödvändighet bildar en tidssingularitet, det vill säga att tidslinjerna skär varandra (och den metriska tensordeterminanten vänder till noll) på en ändlig tid.

Detta bevisas på följande sätt. Den högra sidan av ekv. 31 , som innehåller materias spänningsenergitensorer och elektromagnetiska fält,

$T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k }+p\delta _{i}^{k}$

är ett positivt tal på grund av det starka energitillståndet . Detta kan lätt ses när det är skrivet i komponenter.

för materia

$T_{0}^{0}-{\frac {1}{2} }T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2 }}}>0$

för elektromagnetiskt fält

$T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2 }\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0$

Med ovanstående i åtanke kan motsv. 31 skrivs sedan om som en ojämlikhet

$-R_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^ {\alpha }\leq 0$

 

 

 

 

()

med den jämlikhet som hänför sig till tomrum.

Använder den algebraiska ojämlikheten

$\varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1} {3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha}\right)^{2}$

ekv. 34 blir

${\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1 }{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0$ .

Dela båda sidorna till $\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}$ och använda likheten

${\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right) ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac { 1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}$

man kommer till ojämlikheten

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}\geq { 1 \över 6}$ .

 

 

 

 

()

Låt till exempel $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0$ vid någon tidpunkt. Eftersom derivatan är positiv, minskar förhållandet ${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$ med avtagande tid, alltid med en ändlig icke-noll derivata och därför bör den bli noll, från den positiva sidan, under en begränsad tid. Med andra ord, $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }$ blir $+\infty$ , och eftersom ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t} ,$ detta betyder att determinanten $\gamma$ blir noll (enligt ekv. 35 inte snabbare än $t^{6}$ ). Om å andra sidan $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0$ initialt, gäller detsamma för ökande tid.

En uppfattning om utrymmet vid singulariteten kan erhållas genom att betrakta den diagonaliserade metriska tensorn. Diagonalisering gör att elementen i ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}- matrisen$$\lambda _{1}, \lambda _{2}$ noll överallt utom huvuddiagonalen vars element är de tre egenvärdena och $\lambda _{3}$ ; dessa är tre reella värden när diskriminanten för det karakteristiska polynomet är större eller lika med noll eller ett reellt och två komplexa konjugerade värden när diskriminanten är mindre än noll. Då är determinanten $\gamma$ bara produkten av de tre egenvärdena. Om endast ett av dessa egenvärden blir noll, så är hela determinanten noll. Låt till exempel det verkliga egenvärdet bli noll ( ${\displaystyle \lambda _{1}=0} )$ . Då blir den diagonaliserade matrisen $\gamma _{\alpha \beta }$ en 2 × 2 matris med de (vanligtvis komplexa konjugat) egenvärdena $\lambda _{2},\ lambda _{3}$ på huvuddiagonalen. Men denna matris är den diagonaliserade metriska tensorn för rummet där $\gamma =0$ ; därför antyder ovanstående att vid singulariteten ( $\gamma =0$ ) är rymden 2-dimensionell när endast ett egenvärde blir noll.

Geometriskt är diagonalisering en rotation av basen för vektorerna som utgör matrisen på ett sådant sätt att basvektorernas riktning sammanfaller med egenvektorernas riktning . Om $\gamma _{\alpha \beta }$ är en reell symmetrisk matris , bildar egenvektorerna en ortonormal bas som definierar en rektangulär parallellepiped vars längd, bredd och höjd är storleken på de tre egenvärdena. Detta exempel är särskilt demonstrativt genom att determinanten $\gamma$ som också är volymen av parallellepipeden är lika med längd × bredd × höjd, dvs produkten av egenvärdena. Att göra parallellepipedens volym lika med noll, till exempel genom att likställa höjden med noll, lämnar bara en sida av parallellepipeden, ett 2-dimensionellt utrymme, vars area är längd × bredd. Fortsätter man med utplåningen och likställer bredden med noll, lämnas man med en linje med storlekslängd, ett 1-dimensionellt utrymme. Att ytterligare likställa längden med noll lämnar bara en punkt, ett 0-dimensionellt utrymme, som markerar platsen där parallellepipeden har varit.

Figur 3.

En analogi från geometrisk optik är jämförelse av singulariteten med kaustik, såsom det ljusa mönstret i fig. 3, som visar kaustik bildad av ett glas vatten upplyst från höger sida. Ljusstrålarna är en analog till tidslinjerna för de fritt fallande observatörerna lokaliserade på den synkroniserade hyperytan. Att döma av de ungefär parallella sidorna av skuggkonturen som gjuts av glaset kan man anta att ljuskällan befinner sig på ett praktiskt taget oändligt avstånd från glaset (som solen) men detta är inte säkert eftersom ljuskällan inte visas på bilden. Så man kan anta att ljusstrålarna (tidslinjerna) är parallella utan att detta bevisas med säkerhet. Vattenglaset är en analog till Einsteins ekvationer eller agenten(erna) bakom dem som böjer tidslinjerna för att bilda kaustikmönstret (singulariteten). Det senare är inte så enkelt som ansiktet på en parallellepiped utan är en komplicerad blandning av olika sorters korsningar. Man kan urskilja en överlappning av två-, en- eller nolldimensionella utrymmen, dvs sammanblandning av ytor och linjer, några konvergerande till en punkt ( cusp ) såsom pilspetsformationen i mitten av kaustikmönstret.

Slutsatsen att tidsliknande geodetiska vektorfält oundvikligen måste nå en singularitet efter en ändlig tid har nåtts oberoende av Raychaudhuri med en annan metod som ledde till Raychaudhuri-ekvationen , som också kallas Landau–Raychaudhuri-ekvationen för att hedra båda forskarna.

Se även

• Normala koordinater
• Kongruens (allmän relativitet) , för en härledning av den kinematiska nedbrytningen och av Raychaudhuris ekvation.

Bibliografi

•    Landau, Lev D .; Lifshitz, Evgeny M. (1988). "§97. Det synkrona referenssystemet". Теория поля [ Fältteori ]. Kurs i teoretisk fysik (på ryska). Vol. 2 (Izd. 7., isspr ed.). Moskva: Nauka, Glav. röd. fiziko-matematicheskoĭ lit-ry. ISBN 5-02-014420-7 . OCLC 21793854 . (Engelsk översättning:   Landau, LD och Lifshitz, EM (2000). "#97. The synchronous reference system". The Classical Theory of Fields . Oxford: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk ) )
• Lifshitz, Evgeny M. ; Sudakov, VV; Khalatnikov, IM (1961). "Singulariteter av kosmologiska lösningar av gravitationsekvationerna. III". JETP . 40 : 1847. ; Physical Review Letters , 6 , 311 (1961)
•    Arnold, VI (1989). Klassisk mekaniks matematiska metoder . Examentexter i matematik. Vol. 60 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3 . OCLC 18681352 .

•    Arnold, VI (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Singulariteter av frätande material och vågfronter ]. Matematikerns bibliotek (på ryska). Vol. 1. Moskva: FAZIS. ISBN 5-7036-0021-9 . OCLC 43811626 .
•    Carroll, Sean M. (2019). "Avsnitt 7.2". Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (1 upplaga). San Francisco: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108770385 . ISBN 978-1-108-48839-6 . S2CID 126323605 .
•   Ma, C.-P. & Bertschinger, E. (1995). "Kosmologisk störningsteori i de synkrona och konforma Newtonska mätarna". Astrofysisk tidskrift . 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Bibcode : 1995ApJ...455...7M . doi : 10.1086/176550 . S2CID 14570491 .