Kvasitoriskt grenrör

Inom matematiken är en kvasitorisk mångfald en topologisk analog till den icke-singulara projektiva toriska variationen av algebraisk geometri . Ett jämnt $2n$ -dimensionellt grenrör är ett kvasitoriskt grenrör om det tillåter en jämn, lokalt standardverkan av en $n$ -dimensionell torus , med omloppsutrymme an $n$ -dimensionell enkel konvex polytop .

Kvasitoriska grenrör introducerades 1991 av M. Davis och T. Januszkiewicz, som kallade dem "toriska grenrör". Emellertid antogs benämna "kvasitoriskt grenrör" så småningom för att undvika förväxling med klassen av kompakta släta toriska varianter , som är kända för algebraiska geometrar som toriska grenrör .

Kvasitoriska mångfalder studeras i en mängd olika sammanhang inom algebraisk topologi , såsom komplex kobordismteori och andra orienterade kohomologiteorier .

Definitioner

Beteckna $i$ -te undercirkeln av $n$ -torus $T^{n}$ med $T_{i}$ så att $T_{1}\times \ldots \times T_{n}=T^{n}$ . Då kallas koordinatvis multiplikation av $T^{n}$ på $C} ^{n}}$ { standardrepresentationen .

Givet öppna uppsättningar $X$ i $M^{2n}$ och $Y$ i ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ,$ som är stängda under åtgärden av $T^{n}$ , en $T^{n}$ -åtgärd på $\displaystyle M^{2n}}$ { definieras som lokalt isomorf till standardrepresentation om ${\displaystyle h(tx)=\alpha (t)h(x)} ,$ för alla $t$ i $T^{n}$ , $x$ i $X$ , där $h$ är en homeomorfism $X\rightarrow Y$ och $\alpha$ är en automorfism av $T^{n}$ .

Givet en enkel konvex polytop $P^{n}$ med $m$ fasetter , en $T^{n}$ -grenrör $M^{2n}$ är ett kvasitoriskt grenrör över $P^{n}$ om,

1. T ${\displaystyle T^{n}} -åtgärden$ lokalt isomorf till standardrepresentationen,
2. det finns en projektion $\pi :M^{2n}\rightarrow P^{n}$ som mappar varje $l$ -dimensionell bana till en punkt i det inre av en $l$ -dimensionell yta av $P^{n}$ , för $l=0,$$...,$$n$ .

Definitionen innebär att de fasta punkterna för $M^{2n}$ under $T^{n}$ -åtgärden är mappade till hörnen av $P^{n }$ av $\pi$ , medan punkter där handlingen är fri projicerar mot det inre av polytopen.

Den karakteristiska funktionen

Ett kvasitoriskt grenrör kan beskrivas i termer av en dikarakteristisk funktion och en tillhörande dikarakteristisk matris . I den här inställningen är det användbart att anta att fasetterna $F_{1},\dots ,F_{m}$ av $P^{n}$ är ordnade så att skärningspunkten $F_{1}\cap \dots \cap F_{n}$ är en vertex $v$ av $P^{n}$ , kallad det initiala hörnet .

En dikarakteristisk funktion är en homomorfism ${\displaystyle \lambda :T^{m}\rightarrow T^{n}} ,$ så att om $F_{ i_{1}}\cap \dots \cap F_{i_{k}}$ är en kodimension - $k$ yta av $P^{n}$ , sedan $\lambda$ är en monomorfism på begränsning till subtorus $T_{i_{1}}\times \dots \times T_{i_{k}}$ i $T^ {m}$ .

Begränsningen av λ till subtorus $T_{1}\times \ldots \times T_{n}$ som motsvarar den initiala vertexen $v$ är en isomorfism, och så $\lambda (T_{1}),\ldots ,\lambda (T_{n})$ kan tas som en grund för Lie-algebra av $T^{n}$ . Epimorfismen av Lie-algebra associerade med λ kan beskrivas som en linjär transformation ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{m}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}} ,$ representerad av $n\ gånger m$ karakteristisk matris $\Lambda$ ges av

${\begin{bmatrix}1&0&\dots &0&\lambda _{1,n+1}&\dots &\lambda _{1,m}\\0&1&\dots &0&\lambda _{2,n+1 }&\dots &\lambda _{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1&\lambda _{n,n+1 }&\dots &\lambda _{n,m}\end{bmatrix}}.$

Den ${\displaystyle i}:$ e kolumnen i $\Lambda$ är en primitiv vektor $\lambda _{i}=(\lambda _{1,i},\dots ,\lambda _{n,i})$ i $\mathbb {Z} ^{n}$ , kallad facettvektor . Eftersom varje facettvektor är primitiv, närhelst fasetterna $F_{i_{1}}\cap \dots \cap F_{i_{n}}$ möts i en vertex, kommer motsvarande kolumner $\lambda _{i_{1}},\dots \lambda _{i_{n}}$ utgör en grund för $\mathbb {Z} ^{ n}$ , med determinant lika med $\pm 1$ . Den isotropiundergrupp som är associerad med varje fasett $\displaystyle F_{i}}$ beskrivs av

$\{(e^{2\pi i\theta \lambda _{1, i}},\ldots ,e^{2\pi i\theta \lambda _{n,i}})\in T^{n}\},$

för vissa $\theta$ i $\mathbb {R}$ .

I sin ursprungliga behandling av kvasitoriska grenrör introducerade Davis och Januskiewicz begreppet en karakteristisk funktion som kartlade varje facett av polytopen till en vektor som bestämmer fasettens isotropiundergrupp, men detta definieras endast fram till tecken. I nyare studier av kvasitoriska grenrör har denna tvetydighet tagits bort genom introduktionen av den dikarakteristiska funktionen och dess krav på att varje cirkel $\lambda (T_{i})$ ska vara orienterad, vilket tvingar fram ett val av tecken för varje vektor $\lambda _{i}$ . Uppfattningen om den dikarakteristiska funktionen introducerades ursprungligen V. Buchstaber och N. Ray för att möjliggöra studiet av kvasitoriska mångfalder i komplex kobordismteori. Detta förfinades ytterligare genom att införa ordningen av polytopens fasetter för att definiera den initiala vertexen, vilket så småningom leder till ovanstående snygga representation av den dikarakteristiska matrisen $\Lambda$ som $( I_{n}\mid S)$ , där $I_{n}$ är identitetsmatrisen och $S$ är en $n\times (mn)$ delmatris.

Relation till moment-vinkelkomplexet

Kärnan $K(\lambda )$ i den dikarakteristiska funktionen verkar fritt på momentvinkelkomplexet $Z_{P^{n}}$ , och definierar så en principiell $K(\lambda )$ -bunt $Z_{P^{n}}\rightarrow M^{2n}$ över det resulterande kvotutrymmet $M ^{2n}$ . Detta kvotutrymme kan ses som

$T^{n}\ gånger P^{n}/\sim ,$

där par $(t_{1},p_{1})$ , $(t_{2},p_{2})$ av $T^{n}\ gånger P^{n}$ identifieras om och endast om $p_{1}=p_{2}$ och $t_{1}^{-1}t_{2}$ finns i bilden av $\lambda$ på begränsning till subtorus $T_{i_{ 1}}\times \dots \times T_{i_{k}}$ som motsvarar det unika ansiktet $F_{i_{1}}\cap \dots \cap F_{ i_{k}}$ av $P^{n}$ som innehåller punkten $p_{1}$ , för ungefär $1\leq k\leq n$ .

Det kan visas att varje kvasitoriskt grenrör $M^{2n}$ över $P^{n}$ är ekvivalent diffeomorft med ett kvasitoriskt grenrör i formen av kvotutrymmet ovan.

Exempel

• Det $n$ -dimensionella komplexa projektiva utrymmet $\mathbb {C} P^{n}$ är ett kvasitoris grenrör över n $\displaystyle n}$ - simplex $\Delta ^{n}$ . Om $\Delta ^{n}$ är inbäddad i $\mathbb {R} ^{n+1}$ så att origo är den initiala vertexen, kan en dikarakteristisk funktion väljas så att den associerade dikarakteristiska matrisen är

${\begin{bmatrix}1&0&\dots &0&-1\\0&1&\dots &0&-1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-1\end{ bmatrix}}.$

Momentvinkelkomplexet $Z_{\Delta ^{n}}$ är $(2n+1)$ -sfären $S^{ 2n+1}$ , kärnan $K(\lambda )$ är den diagonala undergruppen $\{(t,\dots , t)\}<T^{n+1}$ , så kvoten av $Z_{\Delta ^{n}}$ under verkan av $K(\lambda )$ är $\mathbb {C} P^{n}$ .

• Bott-grenrören som bildar stadierna i ett Bott-torn är kvasitoriska grenrör över $n$ -kuber . n $n$ -kuben $I^{n}$ är inbäddad i $\mathbb {R} ^{2n}$ så att ursprunget är den initiala vertexen, och väljs så att den tillhörande dikarakteristiska matrisen $(I_{n}\mid S)$ har $S$ given av

${\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&0&\cdots &0 \\-a(1,2)&1&\cdots &0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\-a(1,i)&-a(2, i)&\cdots &-a(i-1,i)&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\-a(1,n)&-a (2,n)&\cdots &-a(i-1,n)&-a(i,n)&\cdots &-a(n-1,n)&1\end{bmatrix}},$

för heltal $a(i,j)$ .

Momentvinkelkomplexet $Z_{I^{n}}$ är en produkt av $n$ kopior av 3-sfärer inbäddade i $\mathbb {C} ^{2n }$ , kärnan $K(\lambda )$ ges av

$\{(t_{1},t_{1}^{-a(1,2)}t_{2},\dots ,t_{1}^{-a(1,i)}\dots t_{i-1}^{-a(i-1,i)}t_{i},\dots ,t_{1}^{-a(1,n)}\dots t_{n-1}^{ -a(n-1,n)}t_{n},t_{1}^{-1},\dots ,t_{n}^{-1}):t_{i}\in T,1\leq i\leq n\}<T^{2n}$ ,

så att kvoten för $Z_{I^{n}}$ under verkan av $K(\lambda )$ är ${\displaystyle n} -:$ e steget av en Bott tornet. Heltalsvärdena $a(i,j)$ är tensorkrafterna för linjebuntarna vars produkt används i den itererade sfärbuntskonstruktionen av Bott-tornet.

Kohomologiringen av en kvasitorisk manifold

Kanoniska komplexa linjebuntar $\rho _{i}$ över $M^{2n}$ ges av

$Z_{P^{n}}\times _{K(l)}\mathbb {C} _{i}\longrightarrow M^{2n}$ ,

kan associeras med varje fasett $F_{i}$ av $P^{n}$ , för $1\leq i\leq m$ , där $K(\lambda )$ verkar på $\mathbb {C} _{i}$ , genom begränsningen av $K(\lambda )$ till ${ \displaystyle i}$ -te undercirkeln av $T^{m}$ inbäddad i $\mathbb {C}$ . Dessa buntar är kända som ansiktsbuntarna som är förknippade med det kvasitoriska grenröret. Enligt definitionen av ${\displaystyle M^{2n}} är$$\pi ^{-1}(F_{i})$ av en fasett en $2(n-1)$ -dimensionell kvasitorisk ansiktsundergren $M_{i}$ över $F_{i}$ , vars isotropiundergrupp är begränsningen av ${ \displaystyle \lambda }$ på undercirkeln $T_{i}$ av $T^{m}$ . Begränsning av $\rho _{i}$ till $M_{i}$ ger den normala 2-plansbunten av inbäddningen av $M_{i}$ i $M^{2n}$ .

Låt $x_{i}$ i $H^{2}(M^{2n};\mathbb {Z} )$ beteckna den första Chern-klassen av $\rho _{i}$ . Den integrerade kohomologiringen $H^{*}(M^{2n};\mathbb {Z} )$ genereras av $x_{i}$ , för ${\displaystyle 1\leq i\leq m} ,$ med förbehåll för två uppsättningar av relationer. De första är relationerna som genereras av Stanley-Reisner-idealet för $P^{n}$ ; linjära relationer som bestäms av den dikarakteristiska funktionen omfattar den andra uppsättningen:

$x_{i}=-\lambda _{i,n+1}x_ {n+1}-\cdots -\lambda _{i,m}x_{m},{\mbox{ för }}1\leq i\leq n$ .

krävs endast ${\displaystyle x_{n+1},\dots ,x_{m}} för att generera$$H^{*} (M^{2n};\mathbb {Z} )$ multiplikativt.

Jämförelse med toriska grenrör

• Varje projektivt toriskt grenrör är ett kvasitoriskt grenrör, och i vissa fall är icke-projektiva toriska grenrör också kvasitoriska grenrör.
• Inte alla kvasitoriska grenrör är toriska grenrör. Till exempel kan den anslutna summan $\mathbb {C} P^{2}\sharp \mathbb {C} P^{2}$ konstrueras som en kvasitorisk grenledning, men det är inte ett toriskt grenrör.

Anteckningar

• Buchstaber, V.; Panov, T. (2002), Torus Actions and their Applications in Topology and Combinatorics , University Lecture Series, vol. 24, American Mathematical Society
•   Buchstaber, V.; Panov, T.; Ray, N. (2007), "Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds", Moscow Mathematical Journal , 7 (2): 219–242, arXiv : math/0609346 , doi : 10.17323/1609-20747-407147 2-219-242 , S2CID 72554
•   Buchstaber, V.; Ray, N. (2001), "Tangential structures on toric manifolds and connected sums of polytopes" , International Mathematics Research Notices , 2001 (4): 193–219, doi : 10.1155 / S107379280100016ID 9030C
• Buchstaber, V.; Ray, N. (2008), "An Invitation to Toric Topology: Vertex Four of a Remarkable Tetrahedron", Proceedings of the International Conference in Toric Topology; Osaka City University 2006 , Contemporary Mathematics, vol. 460, American Mathematical Society, s. 1–27
•   Civan, Y.; Ray, N. (2005), "Homotopy decompositions and K -theory of Bott towers", K-Theory , 34 : 1–33, arXiv : math/0408261 , doi : 10.1007/s10977-005-1521-x 41 S1951 - x 49
•   Davis, M.; Januskiewicz, T. (1991), "Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions" , Duke Mathematical Journal , 62 (2): 417–451, doi : 10.1215/s0012-7094-91-062517-25 , S1917-251 S19CID 311
• Masuda, M.; Suh, DY (2008), "Klassificeringsproblem av toriska grenrör via topologi", Proceedings of the International Conference in Toric Topology; Osaka City University 2006 , Contemporary Mathematics, vol. 460, American Mathematical Society, s. 273–286