Stanley–Reisner ring

I matematik är en Stanley–Reisner-ring , eller ansiktsring , en kvot av en polynomalgebra över ett fält med ett kvadratfritt monomialideal . Sådana ideal beskrivs mer geometriskt i termer av ändliga enkla komplex . Stanley–Reisner ringkonstruktionen är ett grundläggande verktyg inom algebraisk kombinatorik och kombinatorisk kommutativ algebra . Dess egenskaper undersöktes av Richard Stanley , Melvin Hochster och Gerald Reisner i början av 1970-talet.

Definition och egenskaper

Givet ett abstrakt förenklat komplex Δ på vertexmängden { x ₁ ,..., x _n } och ett fält k , erhålls motsvarande Stanley–Reisner-ring , eller ansiktsring , betecknad k [Δ], från polynomringen k [ x ₁ ,..., x _n ] genom att kvotera ut det ideala I _Δ som genereras av de kvadratfria monomialerna som motsvarar icke-ytorna för Δ:

$I_{\Delta }=(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{r}}:\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}\notin \Delta ),\ quad k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\Delta }.$

Idealet I _Δ kallas Stanley–Reisner-idealet eller ansiktsidealet för Δ.

Egenskaper

• Stanley–Reisner-ringen k [Δ] är multigraderad av Z ⁿ , där graden av variabeln x _i är den i :te standardbasvektorn e _i för Z ⁿ .
• Som ett vektorrum över k tillåter Stanley–Reisner-ringen av Δ en direkt summanedbrytning

${\displaystyle k[\Delta ]=\bigoplus _{\sigma \in \Delta }k[\Delta ]_{\sigma },} vars$

summerar k [Δ] _σ har en bas av monomialerna (inte nödvändigtvis kvadratfria) som stöds på ytorna σ av Δ.

• Krulldimensionen för k [Δ] är en större än dimensionen för det enkla komplexet Δ .
• Den multigraderade, eller fina , Hilbert-serien av k [Δ] ges av formeln

$H(k[\Delta ];x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{\sigma \in \Delta }\prod _{i\in \sigma }{\frac { x_{i}}{1-x_{i}}}.$

• Den vanliga, eller grova , Hilbert-serien av k [Δ] erhålls från dess multigraderade Hilbert-serie genom att sätta graden av varje variabel x _i lika med 1:

$H(k[\Delta ]; t,\ldots ,t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\summa _{i=0}^{d}f_{i-1}t^{i}( 1-t)^{ni},$

_där d = dim(Δ) + 1 är Krulldimensionen för k [Δ] och fi är antalet i - ytor för Δ. Om det skrivs på formen

$H(k[\Delta ]; t,\ldots ,t)={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}$

₀ sedan koefficienter ( h , ..., h _d ) för täljaren bildar h -vektorn för det enkla komplexet Δ.

Exempel

Det är vanligt att anta att varje vertex { x _i } är en simplex i Δ. Ingen av variablerna tillhör alltså Stanley–Reisner-idealet I _Δ .

• Δ är en simplex { x ₁ ,..., x _n }. Då I _Δ nollidealet och

$k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

är polynomalgebra i n variabler över k .

• Det enkla komplexet Δ består av n isolerade hörn { x ₁ }, ..., { x _n }. Då

$I_{\Delta }=\{x_{i}x_{j}:1\leq i<j\leq n\}$

och Stanley–Reisner-ringen är följande trunkering av polynomringen i n variabler över k :

${\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq n}x_{i}k[x_{i}].} Genom att generalisera de två föregående exemplen, låt Δ$

• vara d -skelettet av simplexen { x ₁ ,..., x _n }, sålunda består den av alla ( d + 1)-elementdelmängder av { x ₁ ,..., x _n }. Sedan följer Stanley–Reisner-ringen trunkering av polynomringen i n variabler över k :

$k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{0\leq r\leq d}\bigoplus _{i_{0}<\ldots <i_{r}}x_{i_{0}}\ldots x_{i_{r}}k[x_{i_{0}},\ldots ,x_{i_{r}}].$

• Antag att det abstrakta förenklade komplexet Δ är en enkel sammanfogning av abstrakta förenklade komplex Δ ^′ på x ₁ ,..., x _m och Δ ^′′ på x _{m +1} ,..., x _n . Då är Stanley–Reisner-ringen av Δ tensorprodukten över k av Stanley–Reisner-ringarna av Δ ^′ och Δ ^′′ :

$k[\Delta ]\simeq k[\Delta ']\otimes _{k}k[\Delta ''].$

Cohen-Macaulay tillstånd och den övre gränsen förmodan

Ansiktsringen k [Δ] är en flergradig algebra över k vars alla komponenter med avseende på fingraderingen har dimensionen högst 1. Följaktligen kan dess homologi studeras med kombinatoriska och geometriska metoder. Ett abstrakt förenklat komplex Δ kallas Cohen–Macaulay över k om dess ansiktsring är en Cohen–Macaulay-ring . I sin avhandling från 1974 gav Gerald Reisner en fullständig karaktärisering av sådana komplex. Detta följdes snart upp av mer exakta homologiska resultat om ansiktsringar på grund av Melvin Hochster. Sedan hittade Richard Stanley ett sätt att bevisa Upper Bound Conjecture för enkla sfärer , som var öppen vid den tiden, med hjälp av ansiktsringkonstruktionen och Reisners kriterium Cohen-Macaulayness. Stanleys idé om att översätta svåra gissningar inom algebraisk kombinatorik till uttalanden från kommutativ algebra och bevisa dem med hjälp av homologiska tekniker var ursprunget till det snabbt växande området kombinatorisk kommutativ algebra .

Reisners kriterium

Ett förenklat komplex Δ är Cohen–Macaulay över k om och endast om för alla förenklingar σ ∈ Δ, alla reducerade förenklade homologigrupper för länken av σ i Δ med koefficienter i k är noll, utom den översta dimensionella:

${\tilde {H}}_{i}(\operatörsnamn {länk} _{\Delta }(\sigma );k)=0\quad {\text{för alla}}\quad i<\dim \operatörsnamn {länk} _{\Delta }(\sigma ).$

Ett resultat på grund av Munkres visar sedan att Cohen-Macaulayness av Δ över k är en topologisk egenskap: den beror endast på homeomorfismklassen för det enkla komplexet Δ. Låta nämligen |Δ| vara den geometriska realiseringen av Δ. Då är försvinnandet av de enkla homologigrupperna i Reisners kriterium ekvivalent med följande uttalande om de reducerade och relativa singulära homologigrupperna för |Δ|:

${\text{För alla }}p\ i |\Delta |{\text{ och för alla }}i<\dim |\Delta |=d-1,\quad {\tilde {H}}_{i}(\operatörsnamn {|} \Delta |; k)=H_{i}(\operatörsnamn {|} \Delta |,\operatörsnamn {|} \Delta |-p;k)=0.$

I synnerhet om komplexet Δ är en enkel sfär , det vill säga |Δ| är homeomorf till en sfär , då är det Cohen–Macaulay över vilket fält som helst. Detta är ett nyckelsteg i Stanleys bevis på Upper Bound Conjecture. Däremot finns det exempel på enkla komplex vars Cohen–Macaulayness beror på fältets k kännetecken .

• Melvin Hochster , Cohen-Macaulay ringar, kombinatorik och enkla komplex . Ringteori, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), s. 171–223. Föreläsningsanteckningar i Pure och Appl. Math., vol. 26, Dekker, New York, 1977
•    Stanley, Richard (1996). Kombinatorik och kommutativ algebra . Framsteg i matematik. Vol. 41 (andra upplagan). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9 . Zbl 0838.13008 .
•    Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Cohen–Macaulay ringer . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 39. Cambridge University Press . ISBN 0-521-41068-1 . Zbl 0788.13005 .
•    Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Kombinatorisk kommutativ algebra . Examentexter i matematik. Vol. 227. New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0 . Zbl 1090.13001 .

Vidare läsning

•    Panov, Taras E. (2008). "Kohomologi av ansiktsringar och torushandlingar". I Young, Nicholas; Choi, Yemon (red.). Undersökningar i samtida matematik . London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie. Vol. 347. Cambridge University Press . s. 165–201. ISBN 978-0-521-70564-6 . Zbl 1140.13018 .

externa länkar

• "Stanley–Reisner ring" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]