Kvasiisometri

I matematik är en kvasi-isometri en funktion mellan två metriska utrymmen som respekterar storskalig geometri för dessa utrymmen och ignorerar deras småskaliga detaljer. Två metriska utrymmen är kvasi-isometriska om det finns en kvasi-isometri mellan dem. Egenskapen att vara kvasi-isometrisk beter sig som en ekvivalensrelation på klassen av metriska utrymmen.

Begreppet kvasi-isometri är särskilt viktigt i geometrisk gruppteori , efter Gromovs arbete .

Detta gitter är kvasi-isometriskt till planet.

Definition

Anta att $f$ är en (inte nödvändigtvis kontinuerlig) funktion från ett metriskt utrymme $(M_{1},d_{1})$ till ett andra metriskt utrymme $(M_{2},d_{2})$ . Då kallas $f$ $) {\displaystyle (M_{ 2},d_{2})}$ kvasi-isometri från $(M_{1},d_{1})$ till om det finns konstanter $A\geq 1$ , $B\geq 0$ och $C\geq 0$ så att följande två egenskaper båda håller:

För varje två punkter $x$ och $y$ i $M_{1}$ är avståndet mellan deras bilder upp till den additiva konstanten $B$ inom en faktor av $A$ av deras ursprungliga avstånd. Mer formellt:
$\forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x), f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.$
Varje punkt i $M_{2}$ ligger inom det konstanta avståndet $C$ från en bildpunkt. Mer formellt:
$\forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.$

De två metriska utrymmena $(M_{1},d_{1})$ och $(M_{2},d_{2})$ är kallas kvasi-isometrisk om det finns en kvasi-isometri $f$ från $(M_{1},d_{1})$ till ${\ visningsstil (M_{2},d_{2})}$ .

En karta kallas en kvasi-isometrisk inbäddning om den uppfyller det första villkoret men inte nödvändigtvis det andra (dvs. den är grovt Lipschitz men kanske inte är grovt surjektiv). Med andra ord, om genom kartan, $(M_{1},d_{1})$ är kvasi-isometrisk till ett delrum av $( M_{2},d_{2})$ .

Två metriska utrymmen M ₁ och M ₂ sägs vara kvasi-isometriska , betecknade ${\displaystyle M_{1}{\underset {qi}{\sim }}M_{2}} ,$ om det finns en kvasi-isometri $f:M_{1}\ till M_{2}$ .

Exempel

Kartan mellan det euklidiska planet och planet med Manhattan-avståndet som skickar varje punkt till sig själv är en kvasi-isometri: i den multipliceras avstånden med en faktor på högst ${\sqrt {2}}$ . Observera att det inte kan finnas någon isometri, eftersom till exempel punkterna $(1,0),(-1,0) ),(0,1),(0,-1)$ har samma avstånd till varandra på Manhattan-avstånd, men i det euklidiska planet finns det inga 4 punkter som är lika avstånd till varandra.

Kartan $f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ (båda med den euklidiska metriken ) som skickar varje $n$ -tuppel av heltal till sig själv är en kvasi-isometri: avstånden bevaras exakt, och varje verklig tupel är inom avståndet ${\sqrt {n/4}}$ från en heltalstuppel. I den andra riktningen är den diskontinuerliga funktionen som avrundar varje tupel av reella tal till närmaste heltalstupel också en kvasi-isometri: varje punkt tas av denna karta till en punkt inom avståndet ${\sqrt {n /4}}$ av det, så avrundning ändrar avståndet mellan par av punkter genom att lägga till eller subtrahera högst $2{\sqrt {n/4}}$ .

Varje par av ändliga eller avgränsade metriska utrymmen är kvasi-isometriska. I detta fall är varje funktion från ett rum till ett annat en kvasi-isometri.

Ekvivalensförhållande

Om $f:M_{1}\mapsto M_{2}$ är en kvasi-isometri, så finns det en kvasi-isometri $g:M_ {2}\mapsto M_{1}$ . Faktum är att $g(x)$ kan definieras genom att låta $y$ vara vilken punkt som helst i bilden av $f$ som är inom avståndet $C$ från $x$ och låta $g(x)$ vara vilken punkt som helst i $f^{-1}(y)$ .

Eftersom identitetskartan är en kvasi-isometri, och sammansättningen av två kvasi-isometrier är en kvasi-isometri, följer det att egenskapen att vara kvasi-isometrisk beter sig som en ekvivalensrelation på klassen av metriska rum.

Använd i geometrisk gruppteori

Givet en ändlig genereringsmängd S av en ändligt genererad grupp G , kan vi bilda motsvarande Cayley-graf för S och G . Denna graf blir ett metriskt utrymme om vi deklarerar längden på varje kant till 1. Att ta en annan finit genereringsmängd T resulterar i en annan graf och ett annat metriskt utrymme, men de två utrymmena är kvasi-isometriska. Denna kvasi-isometriklass är alltså en invariant av gruppen G . Varje egenskap hos metriska utrymmen som bara beror på ett rums kvasi-isometriklass ger omedelbart en annan invariant av grupper, vilket öppnar gruppteorin för geometriska metoder.

Mer generellt säger Švarc–Milnor-lemmat att om en grupp G agerar korrekt diskontinuerligt med kompakt kvot på ett korrekt geodetiskt utrymme X så är G kvasi-isometrisk till X (vilket betyder att vilken Cayley-graf som helst för G är). Detta ger nya exempel på grupper som är kvasi-isometriska till varandra:

Om G' är en undergrupp av finita index i G så är G' kvasi-isometrisk till G ;
Om G och H är de fundamentala grupperna av två kompakta ^hyperboliska grenrör med samma dimension d så är de båda kvasi-isometriska till det hyperboliska utrymmet Hd och därmed till varandra; å andra sidan finns det oändligt många kvasi-isometriklasser av fundamentala grupper med ändlig volym.

Quasigeodesics och morselemmat

En kvasi-geodesic i ett metriskt utrymme $(X,d)$ är en kvasi-isometrisk inbäddning av $\mathbb {R}$ i $X$ . Mer exakt $C,K>0$ karta $\phi :\mathbb {R} \to X$ så att det finns så att

\forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|st|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|st |+K

kallas en $(C,K)$ -kvasi-geodesisk. Uppenbarligen är geodetik (parametriserad av båglängd) kvasi-geodesik. Det faktum att det omvända i vissa utrymmen är grovt sant, dvs att varje kvasi-geodesik håller sig inom ett begränsat avstånd från en sann geodetisk, kallas Morse Lemma (inte att förväxla med Morse Lemma i differentialtopologi). Formellt är uttalandet:

Låt $\delta ,C,K>0$ och $X$ ett riktigt δ-hyperboliskt mellanrum . Det finns $M$ så att för alla $(C,K)$ -quasi-geodesic $\phi$ finns det en geodetisk $L$ i $X$ så att $d(\phi (t),L)\leq M$ för alla $t\in \mathbb {R}$ .

Det är ett viktigt verktyg inom geometrisk gruppteori. En omedelbar tillämpning är att varje kvasi-isometri mellan korrekta hyperboliska utrymmen inducerar en homeomorfism mellan deras gränser. Detta resultat är det första steget i beviset för Mostows stelhet för stelhet .

Exempel på kvasi-isometriinvarianter av grupper

Följande är några exempel på egenskaper hos grupp Cayley-grafer som är invarianta under kvasi-isometri:

Hyperbolicitet

En grupp kallas hyperbolisk om en av dess Cayley-grafer är ett δ-hyperboliskt utrymme för något δ. När man översätter mellan olika definitioner av hyperbolicitet kan det speciella värdet av δ ändras, men de resulterande föreställningarna om en hyperbolisk grupp visar sig vara ekvivalenta.

Hyperboliska grupper har ett lösbart ordproblem . De är biautomatiska och automatiska .: faktiskt, de är starkt geodesiskt automatiska , det vill säga det finns en automatisk struktur på gruppen, där språket som accepteras av ordet acceptor är mängden av alla geodetiska ord.

Tillväxt

Tillväxthastigheten för en grupp med avseende på ett symmetriskt generatorset beskriver storleken på bollar i gruppen . Varje element i gruppen kan skrivas som en produkt av generatorer, och tillväxthastigheten räknar antalet element som kan skrivas som en produkt av längden n .

Enligt Gromovs teorem är en grupp av polynomtillväxt praktiskt taget nilpotent , dvs den har en nilpotent undergrupp av finita index . I synnerhet måste ordningen för polynomtillväxt $k_{0}$ vara ett naturligt tal och faktiskt $\#(n)\sim n^{k_{0} }$ .

Om $\#(n)$ växer långsammare än någon exponentiell funktion, har G en subexponentiell tillväxthastighet . Varje sådan grupp är mottaglig .

Slutar

Ändarna av ett topologiskt rum är, grovt sett, de sammankopplade komponenterna i rummets "ideala gräns" . Det vill säga att varje ände representerar ett topologiskt distinkt sätt att förflytta sig till oändligheten i rummet. Att lägga till en punkt i varje ände ger en komprimering av det ursprungliga utrymmet, känd som ändkomprimeringen .

Ändarna av en ändligt genererad grupp definieras som ändarna på motsvarande Cayley-graf ; denna definition är oberoende av valet av en ändlig genereringsmängd. Varje ändligt genererad oändlig grupp har antingen 0,1, 2 eller oändligt många ändar, och Stallings teorem om gruppers ändar ger en nedbrytning för grupper med mer än en ände.

Om två sammankopplade lokalt ändliga grafer är kvasi-isometriska så har de samma antal ändar. I synnerhet två kvasi-isometriska ändligt genererade grupper har samma antal ändar.

Lämplighet

En mottaglig grupp är en lokalt kompakt topologisk grupp G som bär ett slags medelvärdesoperation på gränsade funktioner som är invariant under translation av gruppelement. Den ursprungliga definitionen, i termer av ett ändligt additivt invariant mått (eller medelvärde) på delmängder av G , introducerades av John von Neumann 1929 under det tyska namnet "messbar" ("mätbar" på engelska) som svar på Banach –Tarski paradox . 1949 introducerade Mahlon M. Day den engelska översättningen "amenable", tydligen som en ordlek.

I diskret gruppteori , där G har den diskreta topologin , används en enklare definition. I den här inställningen är en grupp mottaglig om man kan säga vilken andel av G en given delmängd tar upp.

Om en grupp har en Følner-sekvens är den automatiskt tillgänglig.

Asymptotisk kon

En ultragräns är en geometrisk konstruktion som tilldelar en sekvens av metriska utrymmen X _n ett begränsande metriskt utrymme. En viktig klass av ultragränser är de så kallade asymptotiska konerna i metriska utrymmen. Låt ( X , d ) vara ett metriskt mellanrum, låt ω vara ett icke-principiellt ultrafilter på $\mathbb {N}$ och låt p _n ∈ X vara en sekvens av baspunkter. Då kallas ω –ultragränsen för sekvensen ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})} den asymptotiska konen av$ X med avseende på ω och $(p_{n})_{n}\,$ och betecknas $Cone_{\omega } (X,d,(p_{n})_{n})\,$ . Man tar ofta baspunktsekvensen för att vara konstant, p _n = p för vissa p ∈ X ; i detta fall beror den asymptotiska könen inte på valet av p ∈ X och betecknas med $Cone_{\omega }(X,d)\,$ eller bara $Cone_{\omega }(X)\,$ .

Begreppet en asymptotisk kon spelar en viktig roll i geometrisk gruppteori eftersom asymptotiska koner (eller, mer exakt, deras topologiska typer och bi-Lipschitz-typer ) tillhandahåller kvasi-isometriska invarianter av metriska utrymmen i allmänhet och av ändligt genererade grupper i synnerhet. Asymptotiska koner visar sig också vara ett användbart verktyg i studiet av relativt hyperboliska grupper och deras generaliseringar.

Se även