Tillväxthastighet (gruppteori)

I det matematiska ämnet geometrisk gruppteori beskriver tillväxthastigheten för en grupp med avseende på en symmetrisk genereringsmängd hur snabbt en grupp växer . Varje element i gruppen kan skrivas som en produkt av generatorer, och tillväxthastigheten räknar antalet element som kan skrivas som en produkt av längden n .

Definition

Antag att G är en ändligt genererad grupp; och T är en finit symmetrisk uppsättning generatorer (symmetrisk betyder att om $x\in T$ så ${\displaystyle x^{-1}\in T} )$ . Alla element $x\in G$ kan uttryckas som ett ord i T -alfabetet

$x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ där }}a_{i}\i T.$

Betrakta delmängden av alla element i G som kan uttryckas med ett sådant ord med längden ≤ n

$B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ där }}a_{i} \in T{\text{ och }}k\leq n\}.$

Denna uppsättning är bara den slutna kulan med radien n i ordmetriken d på G med avseende på genereringsmängden T :

$B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.$

Mer geometriskt är $B_{n}(G,T)$ uppsättningen av hörn i Cayley-grafen med avseende på T som är inom avståndet n från identiteten.

Givet två icke-minskande positiva funktioner a och b kan man säga att de är ekvivalenta ( $a\sim b$ ) om det finns en konstant C så att för alla positiva heltal n ,

$a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,$

till exempel $p^{n}\sim q^{n}$ om $p,q>1$ .

Då kan tillväxthastigheten för gruppen G definieras som motsvarande ekvivalensklass för funktionen

$\#(n)=|B_{n}(G,T)|,$

där $|B_{n}(G,T)|$ anger antalet element i mängden $B_{n}(G,T)$ . Även om funktionen $\#(n)$ beror på mängden generatorer T gör inte dess tillväxthastighet (se nedan) och därför ger tillväxthastigheten en invariant av en grupp.

Ordmetriken d och därför mängderna $B_{n}(G,T)$ beror på genereringsmängden T . Men vilka två sådana mått som helst är bilipschitzekvivalenta i följande mening: för finita symmetriska genereringsmängder E , F finns det en positiv konstant C så att

${1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).$

Som en omedelbar följd av denna ojämlikhet får vi att tillväxttakten inte beror på valet av generatoraggregat.

Polynom och exponentiell tillväxt

Om

$\#(n)\leq C(n^{k}+1)$

för vissa $C,k<\infty$ säger vi att G har en polynomtillväxthastighet . Infimum $k_{0}$ för sådana k kallas ordningen för polynomtillväxt . Enligt Gromovs teorem är en grupp av polynomtillväxt en praktiskt taget nilpotent grupp , dvs den har en nilpotent undergrupp av finita index . I synnerhet måste ordningen för polynomtillväxt $k_{0}$ vara ett naturligt tal och faktiskt $\#(n)\sim n^{k_{0} }$ .

Om $\#(n)\geq a^{n}$ för vissa $a>1$ säger vi att G har en exponentiell tillväxthastighet . Varje ändligt genererad G har som mest exponentiell tillväxt, dvs för vissa $b>1$ har vi $\#(n)\leq b^{n}$ .

Om $\#(n)$ växer långsammare än någon exponentiell funktion , har G en subexponentiell tillväxthastighet . Varje sådan grupp är mottaglig .

Exempel

• En fri grupp med ändlig rang $k>1$ har exponentiell tillväxthastighet.
• En finit grupp har konstant tillväxt - det vill säga polynomtillväxt av ordningen 0 - och detta inkluderar grundläggande grupper av grenrör vars universella täckning är kompakt .
• Om M är ett slutet negativt krökt Riemannmanifold så har dess fundamentala grupp $\pi _{1}(M)$ exponentiell tillväxthastighet. John Milnor bevisade detta genom att använda det faktum att ordet metrisk på $\pi _{1}(M)$ är kvasi-isometriskt till det universella omslaget till M .
• Den fria abelska gruppen $\mathbb {Z} ^{d}$ har en polynomtillväxthastighet av ordningen d .
• Den diskreta Heisenberg-gruppen $H_{3}$ har en polynomtillväxthastighet av ordning 4. Detta faktum är ett specialfall av Hyman Bass och Yves Guivarchs allmänna sats som diskuteras i artikeln om Gromovs sats .
• Lamptändargruppen har en exponentiell tillväxt .
• Förekomsten av grupper med intermediär tillväxt , dvs subexponentiell men inte polynom, var öppen i många år. Frågan ställdes av Milnor 1968 och besvarades slutligen positivt av Rostislav Grigorchuk 1984. Det finns fortfarande öppna frågor på detta område och en fullständig bild av vilka tillväxtorder som är möjliga och vilka som inte är det saknas.
• Triangelgrupperna inkluderar oändligt många ändliga grupper (de sfäriska, motsvarande sfär), tre grupper av kvadratisk tillväxt (de euklidiska, som motsvarar det euklidiska planet) och oändligt många grupper av exponentiell tillväxt (de hyperboliska, motsvarande de hyperboliska plan).

Se även

• Kopplingar till isoperimetriska ojämlikheter

• Milnor J. (1968). "En anteckning om krökning och grundläggande grupp" . Journal of Differential Geometry . 2 :1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Grigorchuk RI (1984). "Tillväxtgrader för ändligt genererade grupper och teorin om invarianta medel". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Matta. (på ryska). 48 (5): 939–985.

Vidare läsning

• Rostislav Grigorchuk och Igor Pak (2006). "Grupper av medeltillväxt: en introduktion för nybörjare". arXiv : math.GR/0607384 .