Kvantkalkyl

Kvantkalkyl , ibland kallad kalkyl utan gränser , är likvärdig med traditionell infinitesimal kalkyl utan begreppet gränser . Den definierar "q-kalkyl" och "h-kalkyl", där h skenbart står för Plancks konstant medan q står för kvantum. De två parametrarna är relaterade av formeln

$q=e^{ih}=e^{2\pi i\hbar }$

där ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ är den reducerade Planck-konstanten .

Differentiering

I q-kalkylen och h-kalkylen definieras funktioners differentialer som

$d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)$

och

$d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)$

respektive. Funktionsderivator definieras sedan som bråk av q-derivatan

$D_{q}(f(x) ))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x }}$

och genom att

$D_{h}(f(x))={ \frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

I gränsen , när h går till 0, eller motsvarande som q går till 1, tar dessa uttryck formen av derivatan av klassisk kalkyl.

Integration

q-integral

En funktion F ( x ) är en q-antiderivata av f ( x ) om D _q F ( x ) = f ( x ). q-antiderivatan (eller q-integralen) betecknas med ${\textstil \int f(x)\,d_{q}x}$ och ett uttryck för F ( x ) kan hittas från formeln ${\textstil \int f(x)\,d_{q}x=(1-q )\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$ som kallas Jackson-integralen av f ( x ). För 0 < q < 1 konvergerar serien till en funktion F ( x ) på ett intervall (0, A ] om | f ( x ) x ^α | är avgränsad till intervallet (0, A ] för några 0 ≤ α < 1 .

Q-integralen är en Riemann-Stieltjes-integral med avseende på en stegfunktion som har oändligt många ökningspunkter vid punkterna q ^j , där hoppet i punkten q ^j är q ^j . Om vi ​​kallar denna stegfunktion g _q ( t ) så är dg _q ( t ) = d _q t .

h-integral

En funktion F ( x ) är en h-antiderivata av f ( x ) om D _h F ( x ) = f ( x ). h-antiderivatan (eller h-integralen) betecknas med ${\textstil \int f(x)\,d_{h}x}$ . Om a och b skiljer sig åt med en heltalsmultipel av h så är den bestämda integralen ${\textstil \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$ ges av en Riemann-summa av f ( x ) på intervallet [ a , b ] uppdelat i delintervall med bredden h .

Exempel

Derivatan av funktionen $x^{n}$ (för något positivt heltal $n$ ) i den klassiska kalkylen är $nx^{n-1}$ . Motsvarande uttryck i q-kalkyl och h-kalkyl är

$D_{q}(x^{n})={\frac {q^{n }-1}{q-1}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}$

med q-fästet

$[n]_{q}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

och

$D_{h}(x^{n})=nx^{ n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +h^{n-1}$

respektive. Uttrycket $[n]_{q}x^{n-1}$ är då q-kalkylanalogen till den enkla potensregeln för positiva integralpotenser. I denna mening är funktionen $x^{n}$ fortfarande fin i q-kalkylen, men ganska ful i h-kalkylen – h-kalkylanalogen till $x^{n }$ är istället den fallande faktorn , ${\displaystyle (x)_{n}:=x(x-1)\cdots (x-n+1).} Man kan$ gå vidare och utveckla till exempel motsvarande föreställningar om Taylor-expansion , et cetera, och t.o.m. komma fram till q-kalkylanaloger för alla vanliga funktioner man skulle vilja ha, till exempel en analog för sinusfunktionen vars q-derivata är den lämpliga analogen för cosinus .

Historia

H-kalkylen är bara kalkylen för ändliga skillnader , som hade studerats av George Boole och andra, och har visat sig användbar inom ett antal områden, bland dem kombinatorik och vätskemekanik . Även om q-kalkylen går tillbaka till Leonhard Euler och Carl Gustav Jacobi , har den först nyligen börjat se mer användbarhet inom kvantmekanik, och har ett intimt samband med kommutativitetsrelationer och Lie-algebra .

Se även

• Icke-kommutativ geometri
• Kvantdifferentialkalkyl
• Tidskaleräkning
• q-analog
• Grundläggande hypergeometrisk serie
• Kvantdilogaritm

Vidare läsning

•   George Gasper, Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series , 2nd ed, Cambridge University Press (2004), ISBN 978-0-511-52625-1 , doi : 10.1017/CBO9780511526251

•   Jackson, FH (1908). "På q -funktioner och en viss skillnadsoperator". Transaktioner från Royal Society of Edinburgh . 46 (2): 253–281. doi : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID 123927312 .
•   Exton, H. (1983). q-Hypergeometriska funktioner och tillämpningar . New York: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4 .
•   Kac, Victor ; Cheung, Pokman (2002). Kvantkalkyl . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8 .