q -derivata

Inom matematiken , inom området kombinatorik och kvantkalkyl , är q -derivatan , eller Jackson-derivatan , en q -analog av den vanliga derivatan , introducerad av Frank Hilton Jackson . Det är motsatsen till Jacksons q -integration . För andra former av q-derivat, se Chung et al. (1994) .

Definition

q - derivatan av en funktion f ( x ) definieras som

\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.

Det skrivs också ofta som $D_{q}f(x)$ . q - derivatan är också känd som Jackson-derivatan .

Formellt sett, i termer av Lagranges skiftoperator i logaritmiska variabler, uppgår det till operatören

D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \ över d(\ln x)}-1}{q-1}}~,

som går till den vanliga derivatan $\to {\frac {d}{dx}}$ som $q\to 1$ .

Det är uppenbart linjärt,

\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.

Den har en produktregel analog med den vanliga derivatproduktregeln, med två ekvivalenta former

\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx) D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).

På samma sätt uppfyller den en kvotregel,

\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_ {q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

Det finns också en regel liknande kedjeregeln för vanliga derivat. Låt $g(x)=cx^{k}$ . Sedan

\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).

Egenfunktionen för q -derivatan är q -exponentialen e _q ( x ) .

Förhållande till vanliga derivat

Q -differentiering liknar vanlig differentiering, med märkliga skillnader. Till exempel är q- derivatan av monomialen :

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{ q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}

där $[n]_{q}$ är q -parentesen för n . Observera att $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$ så den vanliga derivatan återvinns i denna limit.

Den n -te q- derivatan av en funktion kan ges som:

(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{ n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}

förutsatt att den vanliga n -te derivatan av f finns vid x = 0. Här är $(q;q)_{n}$ q -Pochhammer-symbolen och $[n]!_{q}$ är q -faktorn . Om $f(x)$ är analytisk kan vi tillämpa Taylor-formeln på definitionen av $D_{q}(f(x))$ för att få

\displaystyle D_{q}(f(x))=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)! }}x^{k}f^{(k+1)}(x).

En q -analog av Taylor-expansionen av en funktion omkring noll följer:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\ summa _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.

Högre ordningens q -derivator

Följande representation för högre ordningens $q$ -derivator är känd:

D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\summa _{k=0}^{n }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k }x).

${\binom {n}{k}}_{q}$ är $q$ -binomialkoefficienten. Genom att ändra summeringsordningen som $r=nk$ , får vi följande formel:

D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q) ^{n}x^{n}}}\summa _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{nr}x).

Högre ordning $q$ -derivator används för $q$ -Taylor-formeln och $q$ - Rodrigues formel (formeln som används för att konstruera $q$ - ortogonala polynom ) .

Generaliseringar

Postkvanträkning

Postkvantkalkyl är en generalisering av teorin om kvantkalkyl , och den använder följande operator:

D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(pq)x}},\quad x\neq 0.

Hahn skillnad

Wolfgang Hahn introducerade följande operatör (Hahn-skillnad):

D_{q,\omega } f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.

När $\omega \to 0$ reduceras denna operator till $q$ -derivata, och när $q\to 1$ reduceras till framåtskillnad. Detta är ett framgångsrikt verktyg för att konstruera familjer av ortogonala polynom och undersöka några approximationsproblem.

β- derivat

$\beta$ -derivata är en operator som definieras enligt följande:

D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t ,\quad \beta :I\to I.

I definitionen är $I$ ett givet intervall, och $\beta (t)$ är vilken kontinuerlig funktion som helst som strikt monotont ökar (dvs. $t>s\högerpil \beta (t)>\beta (s)$ ). När $\beta (t)=qt$ så är denna operator $q$ -derivata, och när $\beta (t )=qt+\omega$ denna operator är Hahn-skillnaden.

Ansökningar

q-kalkylen har använts i maskininlärning för att designa stokastiska aktiveringsfunktioner.

Se även

Citat

Bibliografi

Annaby, MH; Mansour, ZS (2008). "q-Taylor och interpolationsdifferensoperatorer" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 344 (1): 472–483. doi : 10.1016/j.jmaa.2008.02.033 .
Chung, KS; Chung, WS; Nam, ST; Kang, HJ (1994). "Ny q-derivata och q-logaritm". International Journal of Theoretical Physics . 33 (10): 2019–2029. doi : 10.1007/BF00675167 . S2CID 117685233 .
Duran, U. (2016). Post Quantum Calculus (M.Sc.-uppsats). Institutionen för matematik, University of Gaziantep Graduate School of Natural & Applied Sciences . Hämtad 9 mars 2022 – via ResearchGate .
Ernst, T. (2012). En omfattande behandling av q-calculus . Springer Science & Business Media. ISBN 978-303480430-1 .
Ernst, Thomas (2001). "Historien om q-Calculus och en ny metod" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) den 28 november 2009 . Hämtad 9 mars 2022 .
Exton, H. (1983). q-Hypergeometriska funktioner och tillämpningar . New York: Halstead Press. ISBN 978-047027453-8 .
Foupouagnigni, M. (1998). Laguerre-Hahns ortogonala polynom med avseende på Hahn-operatorn: fjärde ordningens differensekvation för den rth associerade och Laguerre-Freuds ekvationer för återfallskoefficienterna ( Ph.D.-avhandling). Université Nationale du Bénin.
Hamza, A.; Sarhan, A.; Shehata, E.; Aldwoah, K. (2015). "En allmän kvantdifferenskalkyl" . Framsteg i differensekvationer . 1 : 182. doi : 10.1186/s13662-015-0518-3 . S2CID 54790288 .
Jackson, FH (1908). "På q-funktioner och en viss skillnadsoperatör". Trans. R. Soc. Edinb . 46 (2): 253–281. doi : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID 123927312 .
Kac, Victor; Pokman Cheung (2002). Kvantkalkyl . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8 .
Koekoek, J.; Koekoek, R. (1999). "En notering om q-derivatoperatorn". J. Math. Anal. Appl . 176 (2): 627–634. arXiv : math/9908140 . doi : 10.1006/jmaa.1993.1237 . S2CID 329394 .
Koepf, W.; Rajković, PM; Marinković, SD (juli 2007). "Egenskaper för q-holonomiska funktioner". Journal of Difference Equations and Applications . 13 (7): 621–638. doi : 10.1080/10236190701264925 . S2CID 123079843 .
Koepf, Wolfram (2014). Hypergeometrisk summering. En algoritmisk metod för summering och speciella funktionsidentiteter . Springer. ISBN 978-1-4471-6464-7 .
Nielsen, Frank; Sun, Ke (2021). "q-Neurons: Neuronaktiveringar baserade på Stokastiska Jacksons derivatoperatorer" . IEEE Trans. Lär dig neurala nätverk. Syst . 32 (6): 2782–2789. arXiv : 1806.00149 . doi : 10.1109/TNNLS.2020.3005167 . PMID 32886614 . S2CID 44143912 .