Kloosterman summa

Inom matematiken är en Kloosterman summa en viss typ av exponentiell summa . De är uppkallade efter den holländska matematikern Hendrik Kloosterman , som introducerade dem 1926 när han anpassade Hardy–Littlewood-cirkelmetoden för att ta itu med ett problem som involverade positiva bestämda diagonala kvadratiska former i fyra i motsats till fem eller fler variabler, som han hade behandlade i sin avhandling 1924.

Låt a , b , m vara naturliga tal . Sedan

$K(a,b;m)=\summa _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\ pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.$

Här är x* inversen av x modulo m .

Sammanhang

Kloosterman-summorna är en ändlig ringanalog av Bessel-funktioner . De förekommer (till exempel) i Fourier-expansionen av modulära former .

Det finns tillämpningar för medelvärden som involverar Riemann zeta-funktionen , primtal i korta intervall, primtal i aritmetiska progressioner, spektralteorin för automorfa funktioner och relaterade ämnen.

Egenskaper av Kloosterman summor

• Om a = 0 eller b = 0 reduceras Kloosterman-summan till Ramanujan-summan .
• K ( a , b ; m ) beror endast på restklassen för a och b modulo m . Dessutom K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) och K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m) ) om gcd( c , m ) = 1 .
• Låt m = m ₁ m ₂ med m ₁ och m ₂ coprime. Välj n ₁ och n ₂ så att n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂ och n ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁ . Sedan

$K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b ;m_{2}\right).$

Detta reducerar utvärderingen av Kloosterman-summor till fallet där m = p ^k för ett primtal p och ett heltal k ≥ 1 .

• Värdet av K ( a , b ; m ) är alltid ett algebraiskt reellt tal . Faktum är K ( a , b ; m ) är ett element i underfältet $K\subset \mathbb {R}$ som är sammansättningen av fälten

$\mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)$

där p sträcker sig över alla udda primtal så att p ^α || m och

$\mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{ \alpha -1}}^{-1}\right)$

för 2 ^α || m med α > 3 .

• Selberg-identiteten:

$K(a,b;m)=\summa _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}} ,1;{\tfrac {m}{d}}\right).$

angavs av Atle Selberg och bevisades först av Kuznetsov med hjälp av spektralteorin om modulära former . Nuförtiden är elementära bevis för denna identitet kända.

• För p ett udda primtal finns det ingen känd enkel formel för K ( a , b ; p ) och Sato-Tate-förmodan tyder på att ingen existerar. Lyftformlerna nedan är dock ofta lika bra som en explicit utvärdering. Om gcd( a , p ) = 1 har man också den viktiga transformationen:

$K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\ höger)e^{\frac {2\pi im}{p}},$

där $\left({\tfrac {\ell }{m}}\right)$ anger Jacobi-symbolen .

• Låt m = p ^k med k > 1, p prima och antag gcd( p , 2 ab ) = 1 . Då:

$K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({ \frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{ m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{annars}} \end{cases}}$

där ℓ är vald så att ℓ ² ≡ ab mod m och ε _m definieras enligt följande (observera att m är udda):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{ fall}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}} Denna$

formel hittades först av Hans Salie och det finns många enkla bevis i litteraturen .

Uppskattningar

Eftersom Kloosterman-summor förekommer i Fourier-expansionen av modulära former, ger uppskattningar för Kloosterman-summor också uppskattningar för Fourier-koefficienter för modulära former. Den mest kända uppskattningen beror på André Weil och säger:

$|K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.$

Här är $\tau (m)$ antalet positiva delare av m . På grund av de multiplikativa egenskaperna hos Kloosterman-summor kan dessa uppskattningar reduceras till fallet där m är ett primtal p . En grundläggande teknik från Weil minskar uppskattningen

$|K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},$

när ab ≠ 0 till hans resultat på lokala zeta-funktioner . Geometriskt tas summan längs en 'hyperbol' XY = ab och vi betraktar detta som en definition av en algebraisk kurva över det finita fältet med p element. Denna kurva har en förgrenad Artin-Schreier som täcker C , och Weil visade att den lokala zeta-funktionen av C har en faktorisering; detta är Artin L-funktionsteorin för fallet med globala fält som är funktionsfält, för vilka Weil ger en uppsats från 1938 av J. Weissinger som referens (nästa år gav han en uppsats från 1935 av Hasse som tidigare referens för idén; med tanke på Weils ganska nedsättande anmärkning om analytiska talteoretikers förmåga att arbeta ut detta exempel själva, i hans Collected Papers , dessa idéer var förmodligen "folklore" av ganska lång tid). De opolära faktorerna är av typ 1 − Kt , där K är en Kloosterman-summa. Uppskattningen följer då av Weils grundverk från 1940.

Denna teknik visar faktiskt mycket mer allmänt att fullständiga exponentiella summor "längs" algebraiska varianter har goda uppskattningar, beroende på Weil- förmodan i dimension > 1. Den har drivits mycket längre av Pierre Deligne , Gérard Laumon och Nicholas Katz .

Korta Kloosterman summor

Korta Kloosterman-summor definieras som trigonometriska summor av formen

$\sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+ bn}{m}}\höger),$

där n går genom en uppsättning A med tal, coprime till m , antalet element $\|A\|$ där är väsentligt mindre än m , och symbolen $n^{* }$ betecknar kongruensklassen, invers till n modulo m : $nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.$

Fram till början av 1990-talet var uppskattningar för summor av denna typ kända främst i de fall där antalet inkallningar var större än √ m . Sådana uppskattningar berodde på HD Kloosterman , IM Vinogradov , H. Salie, L. Carlitz , S. Uchiyama och A. Weil . De enda undantagen var specialmodulerna av formen m = p ^α , där p är ett fast primtal och exponenten α ökar till oändlighet (detta fall studerades av AG Postnikov Ivan Matveyevich Vinogradovs metod) .

På 1990-talet utvecklade Anatolii Alexeevitch Karatsuba en ny metod för att uppskatta korta Kloosterman-summor. Karatsubas metod gör det möjligt att uppskatta Kloostermans summor, antalet summeringar i vilka inte överstiger $m^{\varepsilon }$ , och i vissa fall även ${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}} ,$ där $\varepsilon >0$ är ett godtyckligt litet fast tal. Den sista uppsatsen från AA Karatsuba om detta ämne publicerades efter hans död.

Olika aspekter av metoden för Karatsuba hittade tillämpningar för att lösa följande problem med analytisk talteori:

• hitta asymptotik för summorna av bråkdelar av formen:

${\sum _{ n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\ frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},$

där n går, en efter en, genom heltal som uppfyller villkoret $(n,m)=1$ , och p går genom primtal som inte delar modulen m (AAKaratsuba);

• hitta den nedre gränsen för antalet lösningar av formens olikheter:

$\alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta$

i heltal n , 1 ≤ n ≤ x , samprima till m , $x<{\sqrt {m}}$ (AA Karatsuba);

• precisionen för approximationen av ett godtyckligt reellt tal i segmentet [0, 1] med bråkdelar av formen:

$\left\{{\frac {an^{*} +bn}{m}}\right\},$

där $1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}$ (AA Karatsuba );

• en mer exakt konstant c i Brun–Titchmarsh-satsen :

$\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}$

där $\pi (x;q,l)$ är antalet primtal p , som inte överstiger x och som hör till den aritmetiska progressionen $p\equiv l{\bmod {q} }$ ( J. Friedlander , H. Iwaniec );

• en nedre gräns för den största primtallaren av produkten av tal i formen: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N .( DR Heath-Brown ) ;
• bevisar att det finns oändligt många primtal av formen: a ² + b ⁴ .( J. Friedlander , H. Iwaniec ) ;
• kombinatoriska egenskaper hos taluppsättningen (AAGlibichuk):

$n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.$

Lyftning av Kloosterman summor

Även om Kloosterman-summorna kanske inte beräknas i allmänhet kan de "lyftas" till algebraiska talfält, vilket ofta ger mer bekväma formler. Låt $\tau$ vara ett kvadratfritt heltal med $\gcd(\tau ,m)=1.$ Antag att för vilken primfaktor p som helst av m har vi

$\left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.$

Sedan för alla heltal a , b coprime till m vi har

$K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\ tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.$

Här är Ω( m ) antalet primtalsfaktorer för m räknande multiplicitet. Summan till höger kan omtolkas som en summa över algebraiska heltal i fältet $\mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).$ Denna formel beror på Yangbo Ye, inspirerad av Don Zagier och utökar Hervé Jacquets och Yes arbete med den relativa spårformeln för GL(2) ) . I själva verket kan mycket mer allmänna exponentiella summor lyftas.

Kuznetsov spårformel

Huvudartikel: Kuznetsovs spårformel

Kuznetsovs eller relativa spårformel förbinder Kloosterman-summor på en djup nivå med spektralteorin om automorfa former . Ursprungligen kunde detta ha sagts enligt följande. Låt $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ vara en tillräckligt väluppfostrad funktion. Sedan anropar man identiteter av följande typ Kuznetsov-spårformel :

$\sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn} }}{c}}\right)={\text{ Integraltransform }}\ +\ {\text{ Spektraltermer}}.$

Den integrerade transformationsdelen är en integraltransform av g och den spektrala delen är en summa av Fourierkoefficienter, tagna över utrymmen av holomorfa och icke-holomorfa modulära former vridna med någon integraltransform av g . Kuznetsovs spårformel hittades av Kuznetsov när han studerade tillväxten av automorfa funktioner med vikt noll. Med hjälp av uppskattningar på Kloosterman-summor kunde han härleda uppskattningar för Fourier-koefficienter av modulära former i fall där Pierre Delignes bevis för Weil-förmodan inte var tillämpligt.

Den översattes senare av Jacquet till en representationsteoretisk ram. Låt G vara en reduktiv grupp över ett talfält F och $H\subset G$ vara en undergrupp. Medan den vanliga spårformeln studerar övertonsanalysen på G , är den relativa spårformeln ett verktyg för att studera övertonsanalysen på det symmetriska rummet G / H . För en översikt och många applikationer se referenserna.

Historia

Weils uppskattning kan nu studeras i WM Schmidt, Equations over finite fields: an elementary approach , 2nd ed. (Kendrick Press, 2004). De bakomliggande idéerna här beror på S. Stepanov och hämtar inspiration från Axel Thues arbete i Diophantine approximation .

Det finns många kopplingar mellan Kloosterman summor och modulära former . Faktum är att beloppen först dök upp (minus namnet) i en tidning från 1912 av Henri Poincaré om modulära former. Hans Salié introducerade en form av Kloosterman-summa som vrids av en Dirichlet-karaktär : Sådana Salié-summor har en elementär utvärdering.

Efter upptäckten av viktiga formler som förbinder Kloosterman-summor med icke-holomorfa modulära former av Kuznetsov 1979, som innehöll några "besparingar i genomsnitt" över kvadratrotsuppskattningen, skedde ytterligare utvecklingar av Iwaniec och Deshouillers i en nyskapande artikel i Inventiones Mathematicae ( 1982). Efterföljande tillämpningar till analytisk talteori utarbetades av ett antal författare, särskilt Bombieri , Fouvry, Friedlander och Iwaniec.

Fältet är fortfarande något otillgängligt. En detaljerad introduktion till spektralteorin som behövs för att förstå Kuznetsovs formler ges i RC Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms, vol. I (Kendrick press, 2003). Även relevant för studenter och forskare som är intresserade av området är Iwaniec & Kowalski (2004) .

Yitang Zhang använde Kloosterman-summor i sitt bevis på avgränsade gap mellan primtal.

Se även

• Hasse är bunden

Anteckningar

•    Arkhipov, GI; Chubarikov, VN; Karatsuba, AA (2004). Trigonometriska summor i talteori och analys . de Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 39. Berlin–New-York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0 . Zbl 1074.11043 .
•    Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytisk talteori . Kollokviumpublikationer. Vol. 53. American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3633-1 . Zbl 1059.11001 .
•    Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finita fält . Encyclopedia of Mathematics och dess tillämpningar. Vol. 20 (andra upplagan). Cambridge University Press . ISBN 0-521-39231-4 . Zbl 0866.11069 .
•   Weil, André (1948). "På några exponentiella summor". Proc. Natl. Acad. Sci. 34 : 204–207. Zbl 0032.26102 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Kloostermans summa" . MathWorld .
• "Kloosterman summa" . PlanetMath .
• "Bombieri-Weil bunden - Encyclopedia of Mathematics" . encyclopediaofmath.org .