Brun–Titchmarsh-satsen

Inom analytisk talteori är Brun –Titchmarsh-satsen , uppkallad efter Viggo Brun och Edward Charles Titchmarsh , en övre gräns för fördelningen av primtal i aritmetisk progression .

Påstående

Låt $\pi (x;q,a)$ räkna antalet primtal p kongruenta till en modulo q med p ≤ x . Sedan

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/ q)}$

för alla q < x .

Historia

Resultatet bevisades med siktmetoder av Montgomery och Vaughan; ett tidigare resultat av Brun och Titchmarsh fick en svagare version av denna ojämlikhet med en extra multiplikationsfaktor på $1+o(1)$ .

Förbättringar

Om q är relativt liten, t.ex. $q\leq x^{9/20}$ , så finns det en bättre gräns:

$\pi (x;q,a)\leq {(2+ o(1))x \över \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}$

Detta beror på Y. Motohashi (1973). Han använde en bilinjär struktur i feltermen i Selberg-sikten , upptäckt av honom själv. Senare utvecklades denna idé om att utnyttja strukturer i siktningsfel till en viktig metod inom analytisk talteori, på grund av H. Iwaniecs utvidgning till kombinatorisk sikt.

Jämförelse med Dirichlets sats

Däremot ger Dirichlets teorem om aritmetiska progressioner ett asymptotiskt resultat, som kan uttryckas i formen

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{ \varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

men detta kan endast bevisas hålla för det mer begränsade området q < (log x ) ^c för konstant c : detta är Siegel–Walfisz-satsen .

•   Motohashi, Yoichi (1983), Sieve Methods and Prime Number Theory , Tata IFR och Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
•   Hooley, Christopher (1976), Tillämpningar av siktmetoder till teorin om siffror , Cambridge University Press, sid. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], "Brun-Titchmarsh theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1973), "The large sieve", Mathematika , 20 (2): 119–134, doi : 10.1112/s0025579300004708 , hdl : 2027.42/152543 .