James W. Cannon

För andra personer med samma namn, se James Cannon .

James W. Cannon
Född	( 1943-01-30 ) 30 januari 1943 Bellefonte, Pennsylvania
Nationalitet	amerikansk
Medborgarskap	Förenta staterna
Alma mater	Ph.D. (1969), University of Utah
Känd för	arbete i lågdimensionell topologi , geometrisk gruppteori
Utmärkelser	Fellow i American Mathematical Society Sloan Fellowship
Vetenskaplig karriär
Fält	Matematik
institutioner	University of Wisconsin-Madison Brigham Young University
Doktorand rådgivare	Cecil Burgess
Doktorander	Colin Adams

James W. Cannon (född 30 januari 1943) är en amerikansk matematiker som arbetar inom områdena lågdimensionell topologi och geometrisk gruppteori . Han var en Orson Pratt professor i matematik vid Brigham Young University .

Biografiska data

James W. Cannon föddes den 30 januari 1943 i Bellefonte , Pennsylvania . Cannon fick en Ph.D. i matematik från University of Utah 1969, under ledning av C. Edmund Burgess.

Han var professor vid University of Wisconsin, Madison från 1977 till 1985. 1986 utsågs Cannon till Orson Pratt-professor i matematik vid Brigham Young University . Han innehade denna position fram till sin pensionering i september 2012.

Cannon höll ett AMS Invited-tal vid mötet med American Mathematical Society i Seattle i augusti 1977, ett inbjudet tal vid International Congress of Mathematicians i Helsingfors 1978 och höll 1982 Mathematical Association of America Hedrick-föreläsningar i Toronto , Kanada.

Cannon valdes in i American Mathematical Society Council 2003 med mandatperioden 1 februari 2004 till 31 januari 2007. 2012 blev han medlem i American Mathematical Society .

1993 höll Cannon den 30:e årliga Karl G. Maeser Distinguished Faculty Lecture vid Brigham Young University .

James Cannon är en hängiven medlem av Jesu Kristi Kyrka av Sista Dagars Heliga .

Matematiska bidrag

Tidigt arbete

Cannons tidiga arbete gällde topologiska aspekter av inbäddade ytor i R ³ och att förstå skillnaden mellan "tama" och "vilda" ytor.

Hans första berömda resultat kom i slutet av 1970-talet när Cannon gav en komplett lösning på ett långvarigt problem med "dubbel fjädring" som ställdes av John Milnor . Cannon bevisade att den dubbla suspensionen av en homologisfär är en topologisk sfär. RD Edwards hade tidigare bevisat detta i många fall.

Resultaten av Cannons uppsats användes av Cannon, Bryant och Lacher för att bevisa (1979) ett viktigt fall av den så kallade karakteriseringsförmodan för topologiska grenrör. Gissningen säger att en generaliserad n -manifold $M$ , där $n\geq 5$ , som uppfyller "disjunkt disk-egenskapen" är ett topologiskt grenrör. Cannon, Bryant och Lacher fastställde att gissningen gäller under antagandet att $M$ är ett grenrör utom möjligen vid en uppsättning dimensioner $(n-2)/2$ . Senare Frank Quinn beviset för att karaktäriseringsförmodan håller om det ens finns en enda mångfaldig punkt. I allmänhet är gissningarna falska, vilket bevisades av John Bryant, Steven Ferry, Washington Mio och Shmuel Weinberger .

1980-talet: Hyperbolisk geometri, 3-grenrör och geometrisk gruppteori

På 1980-talet flyttade fokus för Cannons arbete till studiet av 3-grenrör , hyperbolisk geometri och kleinska grupper och han anses vara en av nyckelfigurerna i födelsen av geometrisk gruppteorin som ett distinkt ämne i slutet av 1980-talet och början av 1990-talet. Cannons uppsats från 1984 "The combinatorial structure of cocompact discrete hyperbolic groups" var en av föregångarna i utvecklingen av teorin om ordhyperboliska grupper, en föreställning som introducerades och utvecklades tre år senare i en framstående monografi från 1987 av Mikhail Gromov . Cannons papper utforskade kombinatoriska och algoritmiska aspekter av Cayley-graferna för Kleinian-grupper och relaterade dem till de geometriska egenskaperna hos dessa gruppers handlingar på det hyperboliska rummet . Speciellt bevisade Cannon att konvex-kompakta Kleinian-grupper tillåter finita presentationer där Dehn-algoritmen löser ordproblemet . Det senare villkoret visade sig senare ge en likvärdig karaktärisering av att vara ordhyperbolisk och dessutom gick Cannons ursprungliga bevis i huvudsak igenom utan förändring för att visa att ordproblemet i ordhyperboliska grupper är lösbart med Dehns algoritm. Cannons papper från 1984 introducerade också ett viktigt begrepp en kontyp av ett element i en ändligt genererad grupp (ungefär uppsättningen av alla geodetiska förlängningar av ett element). Cannon bevisade att en konvex-kompakt Kleinian-grupp bara har ändligt många kontyper (med avseende på en fast finit genererande uppsättning av den gruppen) och visade hur man använder detta faktum för att dra slutsatsen att gruppens tillväxtserie är en rationell funktion . Dessa argument visade sig också generalisera till den ordhyperboliska gruppkontexten . Nu standardbevis på det faktum att uppsättningen geodetiska ord i en ordhyperbolisk grupp är ett reguljärt språk använder också ändligheten av antalet kontyper.

Cannons arbete introducerade också en viktig föreställning om nästan konvexitet för Cayley-grafer av ändligt genererade grupper , en föreställning som ledde till betydande ytterligare studier och generaliseringar.

En inflytelserik artikel av Cannon och William Thurston "Group invariant Peano curves", som först cirkulerade i en preprint form i mitten av 1980-talet, introducerade begreppet vad som nu kallas Cannon– Thurston-kartan . De ansåg fallet med en sluten hyperbolisk 3-grenrör M som fibrer över cirkeln med fibern som en sluten hyperbolisk yta S . I det här fallet tillåter det universella täcket av S , som identifieras med det hyperboliska planet , en inbäddning i det universella täcket av M , vilket är det hyperboliska 3-rummet . Cannon och Thurston bevisade att denna inbäddning sträcker sig till en kontinuerlig π ₁ ( S )-ekvivariant surjektiv karta (nu kallad Cannon–Thurston-kartan ) från den ideala gränsen för det hyperboliska planet (cirkeln) till den ideala gränsen för den hyperboliska 3- rymden ( 2-sfären ). Även om uppsatsen av Cannon och Thurston slutligen publicerades först 2007, har den under tiden genererat avsevärd ytterligare forskning och ett antal betydande generaliseringar (både i sammanhang med Kleinian-grupper och ordhyperboliska grupper), inklusive Mahans arbete . Mitra , Erica Klarreich, Brian Bowditch och andra.

1990- och 2000-talen: Automatiska grupper, diskret konform geometri och Cannons gissningar

Cannon var en av medförfattarna till boken Word Processing in Groups från 1992 som introducerade, formaliserade och utvecklade teorin om automatiska grupper . Teorin om automatiska grupper förde nya beräkningsidéer från datavetenskap till geometrisk gruppteori och spelade en viktig roll i utvecklingen av ämnet på 1990-talet.

En uppsats från Cannon från 1994 gav ett bevis på den " kombinatoriska Riemanns kartläggningssats " som motiverades av den klassiska Riemanns kartläggningssats i komplex analys . Målet var att förstå när en verkan av en grupp genom homeomorfismer på en 2-sfär är (upp till en topologisk konjugation) en verkan på Riemann -standardsfären genom Möbius-transformationer . Den "kombinatoriska Riemanns kartläggningssats" av Cannon gav en uppsättning tillräckliga villkor när en sekvens av finare och finare kombinatoriska underavdelningar av en topologisk yta bestämmer, i lämplig mening och efter att ha passerat till gränsen, en faktisk konform struktur på den ytan . Denna artikel av Cannon ledde till en viktig gissning, som först uttryckligen formulerades av Cannon och Swenson 1998 (men också föreslog i implicit form i avsnitt 8 i Cannons uppsats från 1994) och nu känd som Cannons gissning, angående karaktärisering av ordhyperboliska grupper med 2 -sfär som gräns. Gissningen (förmodan 5.1 i ) säger att om den ideala gränsen för en ordhyperbolisk grupp G är homeomorf till 2-sfären , så medger G en korrekt diskontinuerlig, kokompakt isometrisk verkan på det hyperboliska 3-utrymmet (så att G i huvudsak är en 3-dimensionell Kleinian-grupp ). I analytiska termer är Cannons gissning likvärdig med att säga att om den ideala gränsen för en ordhyperbolisk grupp G är homeomorf till 2-sfären så är denna gräns, med den visuella metriken som kommer från Cayley - grafen för G , kvasisymmetrisk till standarden 2 -sfär.

Cannon och Swensons uppsats från 1998 gav en första inställning till denna gissning genom att bevisa att gissningen håller under ett extra antagande att familjen av standard "diskar" i gränsen för gruppen uppfyller en kombinatorisk "konform" egenskap. Huvudresultatet av Cannons tidning från 1994 spelade en nyckelroll i bevisningen. Detta förhållningssätt till Cannons gissningar och relaterade problem drevs vidare senare i Cannon, Floyd och Parrys gemensamma arbete.

Cannons gissningar motiverade mycket av efterföljande arbete av andra matematiker och till en betydande grad informerade efterföljande interaktion mellan geometrisk gruppteori och teorin om analys av metriska utrymmen. Cannons gissningar motiverades (se ) av Thurstons Geometrization Conjecture och genom att försöka förstå varför i dimension tre variabel negativ krökning kan främjas till konstant negativ krökning. Även om geometriseringsförmodan nyligen avgjordes av Perelman , förblir Cannons förmodan vidöppen och anses vara ett av de viktigaste framstående öppna problemen inom geometrisk gruppteori och geometrisk topologi .

Tillämpningar till biologi

Idéerna om kombinatorisk konform geometri som ligger till grund för Cannons bevis på den "kombinatoriska Riemanns kartläggningssats", tillämpades av Cannon, Floyd och Parry (2000) på studiet av storskaliga tillväxtmönster för biologiska organismer. Cannon, Floyd och Parry producerade en matematisk tillväxtmodell som visade att vissa system som bestäms av enkla finita indelningsregler kan resultera i objekt (i deras exempel, en trädstam) vars storskaliga form svänger vilt över tiden även om de lokala indelningslagarna kvarstår det samma. Cannon, Floyd och Parry tillämpade också sin modell för analys av tillväxtmönster för råttvävnad. De föreslog att den "negativt krökta" (eller icke-euklidiska) naturen hos mikroskopiska tillväxtmönster för biologiska organismer är en av huvudorsakerna till att storskaliga organismer inte ser ut som kristaller eller polyedriska former utan i själva verket i många fall liknar själv- liknande fraktaler . I synnerhet föreslog de (se avsnitt 3.4 av ) att en sådan "negativt krökt" lokal struktur manifesteras i starkt veckad och starkt sammankopplad natur av hjärnan och lungvävnaden.

Utvalda publikationer

•   Cannon, James W. (1979), "Shrinking cell-like decompositions of manifolds. Codimension three.", Annals of Mathematics , Second Series, 110 (1): 83–112, doi : 10.2307/1971245 , JSTOR 1971245 041 3 MR 045 ,  
•    Cannon, James W. (1984), "The combinatorial structure of cocompact discrete hyperbolic groups.", Geometriae Dedicata , 16 (2): 123–148, doi : 10.1007 /BF00146825 , MR 075879501 ​​1 S72379501 ​​17279501
•    Cannon, James W. (1987), "Nästan konvexa grupper.", Geometriae Dedicata , 22 (2): 197–210, doi : 10.1007/BF00181266 , MR 0877210 , S2CID 12534502
•   Epstein, David BA; Cannon, James W., Holt, Derek F.; Levy, Silvio V.; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Ordbehandling i grupper. , Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 978-0-86720-244-1 {{ citation }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
•   Cannon, James W. (1994), "The combinatorial Riemann mapping theorem.", Acta Mathematica , 173 (2): 155–234, doi : 10.1007/BF02398434 , MR 1301392
•   Cannon, James W. ; Thurston, William P. (2007), "Group invariant Peano curves.", Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , MR 2326947

Se även

• Geometrisk gruppteori
• Lågdimensionell topologi
• Ordhyperbolisk grupp
• Geometriserande gissningar
• Hyperboliskt grenrör
• Kleinian grupp

externa länkar

• James W. Cannon vid Mathematics Genealogy Project
• James Cannons webbsida på BYU