Invariant faktorisering av LPDO

Faktoriseringen av en linjär partiell differentialoperator (LPDO) är en viktig fråga i teorin om integrerbarhet, på grund av Laplace-Darboux-transformationerna, som tillåter konstruktion av integrerbara LPDE. Laplace löste faktoriseringsproblemet för en bivariat hyperbolisk operator av andra ordningen (se Hyperbolisk partiell differentialekvation ) och konstruerade två Laplace-invarianter. Varje Laplace-invariant är ett explicit polynomvillkor för faktorisering; koefficienter för detta polynom är explicita funktioner av koefficienterna för den initiala LPDO. Faktoriseringens polynomvillkor kallas invarianter eftersom de har samma form för ekvivalenta (dvs självadjoint) operatorer.

Beals-Kartashova-faktorisering (även kallad BK-faktorisering) är en konstruktiv procedur för att faktorisera en bivariat operator av den godtyckliga ordningen och den godtyckliga formen . På motsvarande sätt har faktoriseringsvillkoren i detta fall också polynomform, är invarianter och sammanfaller med Laplace-invarianter för bivariata hyperboliska operatorer av andra ordningen. Faktoriseringsproceduren är rent algebraisk, antalet möjliga faktoriseringar beror på antalet enkla rötter av det karakteristiska polynomet (även kallat symbol) för den initiala LPDO och reducerade LPDO:er som visas vid varje faktoriseringssteg. Nedan beskrivs faktoriseringsproceduren för en bivariat operator av godtycklig form, av ordningen 2 och 3. Explicita faktoriseringsformler för en operator av ordningen $n$ finns i Allmänna invarianter definieras i och invarianta formuleringar av Beals -Kartashova-faktorisering ges in

Beals-Kartashova Faktorisering

Operatör av order 2

Överväg en operatör

${\mathcal {A}}_{2}=a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02 }\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.$

med jämna koefficienter och leta efter en faktorisering

${\mathcal {A}}_{2}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}+p_{3})(p_{4}\partial _{x}+p_{5}\partial _{y}+p_{6}).$

Låt oss skriva ner ekvationerna på $p_{i}$ explicit, med tanke på regeln för vänsterkomposition , dvs.

$\partial _{x}(\alpha \partial _{y})=\partial _{x}(\alpha )\partial _{y}+\alpha \partial _{xy}.$

Då i alla fall

$a_{20}=p_{1}p_{4},$

$a_{11}=p_{2 }p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{02}=p_{2}p_{5},$

$a_{10}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{6} ,$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5 }+p_{2}p_{6},$

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{ 3}p_{6},$

där notationen ${\mathcal {L}}=p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}$ används.

Utan förlust av generalitet, $a_{20}\neq 0,$ dvs $p_{1}\neq 0,$ och det kan tas som 1, $p_{1}=1.$ Nu lösning av systemet med 6 ekvationer på variablerna

$p_{2},$$...$$p_{6}$

kan hittas i tre steg .

I det första steget måste rötterna till ett kvadratiskt polynom hittas.

I det andra steget måste ett linjärt system av två algebraiska ekvationer lösas.

I det tredje steget måste ett algebraiskt villkor kontrolleras .

Steg 1. Variabler

$p_{2},$$p_{4},$$p_{5}$

kan hittas från de tre första ekvationerna,

$a_{20}=p_{1}p_{4},$

$a_{11}=p_{2 }p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{02}=p_{2}p_{5}.$

De (möjliga) lösningarna är då funktionerna av rötterna i ett kvadratiskt polynom:

${\mathcal {P}}_{2}(-p_{2})= a_{20}(-p_{2})^{2}+a_{11}(-p_{2})+a_{02}=0$

Låt $\omega$ vara en rot av polynomet ${\mathcal {P}}_{2},$ då

$p_{1}=1,$

$p_{2}=-\omega ,$

$p_{4}=a_ {20},$

$p_{5}=a_{20}\omega +a_{11},$

Steg 2. Ersättning av resultaten som erhållits vid det första steget i de följande två ekvationerna

$a_{10}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+ p_{1}p_{6},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5}) +p_{3}p_{5}+p_{2}p_{6},$

ger ett linjärt system av två algebraiska ekvationer:

$a_{10}={\mathcal {L}}a_{20}+p_{3}a_{20}+p_{6},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(a_{11}+a_{20}\omega )+p_{3}(a_{11}+a_{20}\omega )-\omega p_{6}.,$

I synnerhet om roten $\omega$ är enkel, dvs

${\mathcal {P}}_{2}'(\omega )=2a_{20}\omega +a_{11}\neq 0 ,$ sedan dessa

ekvationer har den unika lösningen:

$p_{3}={\frac {\omega a_{10} +a_{01}-\omega {\mathcal {L}}a_{20}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_ {11}}},$

$p_{6}={\frac {(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20})-a_{20}(a_ {01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))}{2a_{20}\omega +a_{11}}}.$

I detta steg, för varje rot av polynomet ${\mathcal {P}}_{2}$ beräknas en motsvarande uppsättning koefficienter ${\displaystyle p_{j}} .$

Steg 3. Kontrollera faktoriseringsvillkoret (som är den sista av de första 6 ekvationerna)

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},$

skrivet i de kända variablerna $p_{j}$ och ${\displaystyle \omega } )$ :

$a_ {00}={\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11} )}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\ omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\ gånger {\frac {a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20} \omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20})}{2a_{20}\omega + a_{11}}}$

Om

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_ {20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\ gånger {\frac {a_{20}(a_{01}-{\ mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20} )}{2a_{20}\omega +a_{11}}}=0,$

operatorn ${\mathcal {A}}_{2}$ är faktoriserbar och explicit form för faktoriseringskoefficienterna $p_{j}$ ges ovan.

Operatör av order 3

Överväg en operatör

${\mathcal {A}}_{3}=\sum _{j+k\leq 3}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k} =a_{30}\partial _{x}^{3}+a_{21}\partial _{x}^{2}\partial _{y}+a_{12}\partial _{x}\partial _ {y}^{2}+a_{03}\partial _{y}^{3}+a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02}\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.$

med jämna koefficienter och leta efter en faktorisering

${\mathcal {A}}_{3}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}+p_{3})(p_{4}\partial _{x}^{2}+p_{5}\partial _{x}\partial _{y}+p_{6}\partial _{y}^{2}+p_{7}\partial _{x }+p_{8}\partial _{y}+p_{9}).$

I likhet med fallet med operatorn ${\mathcal {A}}_{2},$ beskrivs faktorerna för faktorisering av följande system:

$a_{30}=p_{1}p_{4},$

$a_{21}=p_{2 }p_{4}+p_{1}p_{5},$

$a_{12}=p_{2}p_{5}+p_{1} p_{6},$

$a_{03}=p_{2}p_{6},$

$a_{20}={\mathcal {L}}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{7},$

$a_{11}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2 }p_{7}+p_{1}p_{8},$

$a_{02}={\mathcal {L}} (p_{6})+p_{3}p_{6}+p_{2}p_{8},$

$a_{ 10}={\mathcal {L}}(p_{7})+p_{3}p_{7}+p_{1}p_{9},$

$a_{01}={\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},$

$a_{00}={\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},$

med ${\displaystyle {\mathcal {L}}=p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y},} och$ igen $a_{30}\neq 0,$ dvs $p_{1}=1,$ och trestegsprocedur ger:

I det första steget , rötterna till ett kubiskt polynom

${\mathcal {P}} _{3}(-p_{2}):=a_{30}(-p_{2})^{3}+a_{21}(-p_{2})^{2}+a_{12}( -p_{2})+a_{03}=0.$

måste hittas. Återigen $\omega$ en rot och de fyra första koefficienterna är

$p_{1}=1,$

$p_{2}=-\omega ,$

$p_{4}=a_ {30},$

$p_{5}=a_{30}\omega +a_{21},$

$p_{6}=a_{30}\omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12}.$

I det andra steget måste ett linjärt system av tre algebraiska ekvationer lösas:

$a_{20}-{\mathcal {L}}a_{30}=p_{3}a_{30}+p_{7},$

$a_{11}-{\mathcal {L}}(a_{30 }\omega +a_{21})=p_{3}(a_{30}\omega +a_{21})-\omega p_{7}+p_{8},$

$a_{02}-{\mathcal {L}}(a_{30}\omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12})=p_{3}(a_{30}\ omega ^{2}+a_{21}\omega +a_{12})-\omega p_{8}.$

I det tredje steget måste två algebraiska villkor kontrolleras .

Invariant formulering

Definition Operatörerna ${\mathcal {A}}$ , ${\tilde {\mathcal {A}}}$ kallas ekvivalenta om det finns en mättransformation som tar den ena till den andra:

${\tilde {\mathcal {A}}}g=e^{-\varphi }{\mathcal {A}}(e^{\varphi }g).$

BK-faktorisering är då en ren algebraisk procedur som gör det möjligt att uttryckligen konstruera en faktorisering av en godtycklig ordning LPDO ${\tilde {\mathcal {A}}}$ i formen

${\mathcal {A}}= \sum _{j+k\leq n}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}={\mathcal {L}}\circ \sum _{j +k\leq (n-1)}p_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}$

med första ordningens operator ${\mathcal {L}}=\partial _{x}-\omega \partial _{y}+p$ där $\ omega$ är en godtycklig enkel rot av det karakteristiska polynomet

${\mathcal {P}}(t)=\summa _{k=0}^ {n}a_{nk,k}t^{nk},\quad {\mathcal {P}}(\omega )=0.$

Faktorisering är möjlig då för varje enkel rot ${\tilde {\omega }}$ iff

för $n=2\ \ \rightarrow l_{2}=0,$

för $n=3\ \ \rightarrow l_{3}=0,l_{31}=0,$

för $n=4\ \ \rightarrow l_{4}=0,l_{41}=0,l_{42}=0,$

och så vidare. Alla funktioner $l_{2},l_{3},l_{31},l_{4},l_{41},\ \ l_{42},...$ är kända funktioner, t.ex.

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{ 6},$

$l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{ 3}p_{9},$

$l_{31}=a_{01}-{\mathcal {L}} (p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},$

och så vidare.

Alla funktioner

$l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal { L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},....$

är invarianter under mättransformationer.

Definition Invarianter $l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal { L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},.....$ kallas generaliserade invarianter av en bivariat operator av godtycklig ordning.

I särskilt fall av den bivariata hyperboliska operatorn sammanfaller dess generaliserade invarianter med Laplace-invarianter ( se Laplace-invariant) .

Följd Om en operator ${\tilde {\mathcal {A}}}$ är faktoriserbar, så är alla operatorer motsvarande den också faktoriserbara.

Motsvarande operatorer är lätta att beräkna:

$e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi } =\partial _{x}+\varphi _{x},\quad e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=\partial _{y}+\varphi _{y} ,$

$^ {\-stil y ) ^ varphi }\partial _{x}\partial _{y}e^{\varphi }=e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi}e^{-\varphi }\partial _ {y}e^{\varphi }=(\partial _{x}+\varphi _{x})\circ (\partial _{y}+\varphi _{y})}$

och så vidare. Några exempel ges nedan:

$A_{1}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+1=\partial _{x}(\partial _{y}+x),\quad l_{2}(A_{1})=1-1-0=0;$

$A_{2}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+\partial _{y}+x+1,\quad A_{2}=e^{ -x}A_{1}e^{x};\quad l_{2}(A_{2})=(x+1)-1-x=0;$

$A_{3}=\partial _{x}\partial _{y}+2x\partial _{x}+(y+1)\partial _{y}+2(xy+x+1), \quad A_{3}=e^{-xy}A_{2}e^{xy};\quad l_{2}(A_{3})=2(x+1+xy)-2-2x(y +1)=0;$

$A_{4}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+(\cos x+1)\partial _{y }+x\cos x+x+1,\quad A_{4}=e^{-\sin x}A_{2}e^{\sin x};\quad l_{2}(A_{4}) =0.$

Transponera

Faktorisering av en operator är det första steget på vägen att lösa motsvarande ekvation. Men för lösning behöver vi högerfaktorer och BK-faktorisering konstruerar vänsterfaktorer som är lätta att konstruera. Å andra sidan är förekomsten av en viss högerfaktor för en LPDO likvärdig med förekomsten av en motsvarande vänsterfaktor för införlivandet av den operatören.

Definition Transponeringen ${\mathcal {A}}^{t}$ för en operator ${\mathcal {A}}=\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha },\qquad \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1} }\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}.$ definieras som ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}u=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(a_{\alpha }u).} och$ identiteten $\partial ^{\gamma }(uv)=\sum {\binom {\gamma }{\alpha }}\partial ^{\alpha }u,\partial ^{\gamma -\alpha }v$ innebär att ${\mathcal {A}}^{t}=\summa (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}(\partial ^ {\beta }a_{\alpha +\beta })\partial ^{\alpha }.$

Nu är koefficienterna

${\mathcal {A}}^{t}=\sum {\tilde {a}}_{\alpha }\partial ^{\alpha },$${\tilde {a}}_{\alpha }=\summa (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}\partial ^ {\beta }(a_{\alpha +\beta }).$

med en standardkonvention för binomialkoefficienter i flera variabler (se Binomialkoefficient ), t.ex. i två variabler

${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {(\alpha _{1},\alpha _{2})}{(\beta _{1},\beta _{2 })}}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\,{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}.$

Speciellt för operatorn ${\mathcal {A}}_{2}$ är koefficienterna ${\tilde {a}}_{ jk}=a_{jk},\quad j+k=2;{\tilde {a}}_{10}=-a_{10}+2\partial _{x}a_{20}+\partial _{ y}a_{11},{\tilde {a}}_{01}=-a_{01}+\partial _{x}a_{11}+2\partial _{y}a_{02},$

${\tilde {a}}_{00}=a_{00}-\partial _{x}a_{10}-\partial _{y}a_{01}+\partial _{x}^{ 2}a_{20}+\partial _{x}\partial _{x}a_{11}+\partial _{y}^{2}a_{02}.$

Till exempel operatören

$\partial _{xx}-\partial _{yy}+y\partial _{x }+x\partial _{y}+{\frac {1}{4}}(y^{2}-x^{2})-1$

är faktoriserbar som

${\big [}\partial _{x}+\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(yx){\big ]}\,{\big [}.. .{\big ]}$

och dess transponering ${\mathcal {A}}_{1}^{t}$ är faktoriserbar då som ${\big [}...{\big ]}\,{\big [}\partial _{x}-\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y+ x){\big ]}.$

Se även

• Partiell derivat
• Invariant (matematik)
• Invariant teori
• Karakteristiskt polynom

Anteckningar

• J. Weiss. Bäcklundsförvandling och fastigheten Painlevé. [1] J. Math. Phys. 27 , 1293-1305 (1986).
• R. Beals, E. Kartashova. Konstruktiv faktorisering av linjära partiella differentialoperatorer i två variabler. Theor. Matematik. Phys. 145 (2), s. 1510-1523 (2005)
• E. Kartashova. En hierarki av generaliserade invarianter för linjära partiella differentialoperatorer. Theor. Matematik. Phys. 147 (3), s. 839-846 (2006)
• E. Kartashova, O. Rudenko. Invariant form av BK-faktorisering och dess tillämpningar. Proc. GIFT-2006, s. 225-241, Eds.: J. Calmet, RW Tucker, Karlsruhe University Press (2006); arXiv