Parabolgeometri (differentialgeometri)

I differentialgeometri och studiet av Lie-grupper är en parabolisk geometri ett homogent rum G / P som är kvoten av en semisenkel Lie-grupp G med en parabolisk undergrupp P. Mer allmänt kallas de böjda analogerna av en parabolisk geometri i denna mening också en parabolisk geometri: vilken geometri som helst som är modellerad på ett sådant utrymme med hjälp av en Cartan-anslutning .

Exempel

Det projektiva utrymmet P ⁿ är ett exempel. Det är det homogena utrymmet PGL( n +1)/ H där H är isotropigruppen för en linje. I detta geometriska utrymme är begreppet en rak linje meningsfullt, men det finns ingen föredragen ("affin") parameter längs linjerna. Den krökta analogen av projektivt rymd är en mångfald där begreppet geodetik är vettigt, men för vilket det inte finns några föredragna parametriseringar på dessa geodetiska. En projektiv koppling är den relevanta Cartan-kopplingen som ger ett medel för att beskriva en projektiv geometri genom att limma kopior av det projektiva utrymmet till tangentutrymmena i basgrenröret. I stort sett projektiv geometri till studiet av grenrör med denna typ av samband.

Ett annat exempel är den konforma sfären . Topologiskt är det n -sfären, men det finns ingen aning om längd definierad på den, bara om vinkeln mellan kurvorna. På motsvarande sätt beskrivs denna geometri som en ekvivalensklass av riemannska mått på sfären (kallad en konform klass). Gruppen av transformationer som bevarar vinklar på sfären är Lorentzgruppen O( n +1,1), och så S ⁿ = O( n +1,1)/ P . Konformal geometri är, mer allmänt, studiet av grenrör med en konform ekvivalensklass av riemannska metriker, dvs grenrör som modelleras på den konforma sfären. Här är den associerade Cartan-kopplingen den konforma kopplingen .

Andra exempel inkluderar:

• CR geometri , studiet av grenrör modellerade på en verklig hyperkvadrisk ${\displaystyle Q^{2(p+q)-1 }=SU(p,q)/P\subseteq \mathbb {C} ^{p+q}} ,$ där $P$ är stabilisatorn för en isotrop linje (se CR-grenrör )
• kontaktprojektiv geometri, studiet av grenrör modellerade på $SP(n)/P$ där $P$ är den undergrupp av den symplektiska gruppen stabiliserar linjen som genereras av den första standardbasen vektor i $\mathbb {R} ^{2n}$

•   Čap, Andreas; Slovák, Jan (2009), Parabolic Geometries: Bakgrund och allmän teori , AMS, ISBN 978-0-8218-2681-2
• Slovak, J. Parabolic Geometries , Research Lecture Notes, Del av DrSc-avhandling, Masaryk University, 1997, 70pp, IGA Preprint 97/11 (University of Adelaide)