Pfaffisk begränsning

I dynamik är en Pfaffian-begränsning ett sätt att beskriva ett dynamiskt system i formen:

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

där $L$ är antalet ekvationer i ett system av begränsningar.

Holonomiska system kan alltid skrivas i Pfaffisk begränsningsform.

Härledning

Givet ett holonomiskt system som beskrivs av en uppsättning holonomiska begränsningsekvationer

$f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots,u_{n},t)=0;\;r=1,\ ldots ,L$

där $\{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}$ är de n generaliserade koordinater som beskriver systemet, och där $L$ är antalet ekvationer i ett system av begränsningar, kan vi skilja på kedjeregeln för varje ekvation:

$\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

Genom en enkel substitution av nomenklatur kommer vi fram till:

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

Exempel

Pendel

En pendel

Tänk på en pendel. På grund av hur viktens rörelse begränsas av armen måste viktens hastighetsvektor ${\overrightarrow {V}}$ för vikten alltid vara vinkelrät mot positionsvektorn ${\ högerpil {L}}$ . Eftersom dessa vektorer alltid är ortogonala måste deras punktprodukt vara noll. Både position och hastighet för massan kan definieras i termer av ett $x$ - $y$ koordinatsystem:

${\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end {bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0$

Förenkling av punktprodukten ger:

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{ d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0$

Vi multiplicerar båda sidor med ${\text{d}}t$ . Detta resulterar i den pfaffiska formen av begränsningsekvationen:

$x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0$

Denna Pfaffiska form är användbar, eftersom vi kan integrera den för att lösa systemets holonomiska begränsningsekvation, om en sådan finns. I det här fallet är integrationen ganska trivial:

$\int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2 }+y^{2}+C$

Där C är integrationskonstanten.

Och konventionellt kan vi skriva:

$x^{2}+y^{2}=L^{2}$

Termen $L^{2}$ kvadreras helt enkelt för att den måste vara ett positivt tal; Eftersom det är ett fysiskt system måste alla dimensioner vara reella tal . ${\displaystyle L} är$ faktiskt längden på pendelarmen.

Robotik

I robotrörelseplanering är en Pfaffian-begränsning en uppsättning av k linjärt oberoende begränsningar som är linjära i hastighet , dvs.

$$A(q)\,{\dot {q}}=0$$

En källa till Pfaffian begränsningar är att rulla utan att glida i hjulförsedda robotar.