Feedback linjärisering

Blockdiagram som illustrerar återkopplingslinjäriseringen av ett olinjärt system

Feedbacklinjärisering är en vanlig strategi som används vid olinjär kontroll för att styra olinjära system . Återkopplingslinjäriseringstekniker kan tillämpas på icke-linjära styrsystem av formen

${\dot {x}}(t)=f(x( t))+\summa _{i=1}^{m}\,g_{i}(x(t))\,u_{i}(t)$

 

 

 

 

()

där $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ är tillståndet, $u_ {1}(t),\ldots ,u_{m}(t)\in \mathbb {R}$ är indata. Tillvägagångssättet innebär att omvandla ett olinjärt styrsystem till ett ekvivalent linjärt styrsystem genom en förändring av variabler och en lämplig styringång. I synnerhet söker man en förändring av koordinaterna $z=\Phi (x)$ och styringången $u=a(x )+b(x)\,v,$ så att dynamiken för $x(t)$ i koordinaterna $z(t)$ har formen av en linjär, kontrollerbart kontrollsystem,

${\dot {z}}(t)=A\,z(t)+\summa _{i=1}^{m}b_{i}\,v(t).$

 

 

 

 

()

En styrstrategi för yttre slingor för det resulterande linjära styrsystemet kan sedan tillämpas för att uppnå styrmålet.

Feedback Linearisering av SISO-system

Tänk här på fallet med återkopplingslinjärisering av ett system med enkel utgång (SISO). Liknande resultat kan utökas till MIMO-system (multiple-input multiple-output). I detta fall, $u\in \mathbb {R}$ och $y\in \mathbb {R}$ . Målet är att hitta en koordinattransformation $z=T(x)$ som omvandlar systemet (1) till den så kallade normalformen som kommer att avslöja en återkopplingslag för formen

$u=a(x)+b(x)v\,$

 

 

 

 

()

som kommer att rendera en linjär input-output-karta från den nya ingången $v\in \mathbb {R}$ till utgången $y$ . För att säkerställa att det transformerade systemet är en likvärdig representation av det ursprungliga systemet, måste transformationen vara en diffeomorfism . Det vill säga, transformationen måste inte bara vara inverterbar (dvs. bijektiv), utan både transformationen och dess invers måste vara jämna så att differentierbarheten i det ursprungliga koordinatsystemet bevaras i det nya koordinatsystemet. I praktiken kan transformationen endast vara lokalt diffeomorf och lineariseringsresultaten gäller endast i denna mindre region.

Det krävs flera verktyg för att lösa detta problem.

Lögnderivat

Målet med återkopplingslinjärisering är att producera ett transformerat system vars tillstånd är utgången $y$ och dess första $(n-1)$ derivator. För att förstå strukturen för detta målsystem använder vi Lie-derivatan . Betrakta tidsderivatan av (2), som kan beräknas med hjälp av kedjeregeln ,

${\ start{aligned}{\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} h(x) }{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}f(x)+{ \frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}g(x)u\end{aligned}}$

Nu kan vi definiera Lie-derivatan av $h(x)$ längs $f(x)$ som,

$L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d } x}}f(x),$

och på liknande sätt Lie-derivatan av $h(x)$ längs $g(x)$ som,

$L_{g}h(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}g(x).$

Med denna nya notation kan vi uttrycka ${\dot {y}}$ som,

${\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u$

Observera att notationen av Lie-derivat är praktiskt när vi tar flera derivator med avseende på antingen samma vektorfält eller ett annat. Till exempel,

$L_{f}^{2}h(x)=L_ {f}L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d} (L_{f}h(x))}{\mathrm {d} x}}f(x),$

och

$L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d} (L_{f}h(x))}{\mathrm {d} x}}g(x).$

Relativ examen

I vårt linjäriserade feedbacksystem som består av en tillståndsvektor för utsignalen $y$ och dess första $(n-1)$ derivator, måste vi förstå hur ingången $u$ kommer in i systemet. För att göra detta introducerar vi begreppet relativ grad. Vårt system givet av (1) och (2) sägs ha relativ grad $r\in \mathbb {W}$ vid en punkt $x_{0}$ om,

$L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x$ i en omgivning av $x_{0 }$ och alla $k\leq r-2$

$L_{g}L_{f}^{r-1}h( x_{0})\neq 0$

Med tanke på denna definition av relativ grad i ljuset av uttrycket av tidsderivatan av utsignalen $y$ , kan vi betrakta den relativa graden av vårt system (1) och (2) som antalet gånger vi måste differentiera utgången $y$ innan ingången $u$ visas explicit. I ett LTI-system är den relativa graden skillnaden mellan graden av överföringsfunktionens nämnarpolynom (dvs. antal poler ) och graden av dess täljarpolynom (dvs. antalet nollor ).

Linjärisering genom feedback

För diskussionen som följer kommer vi att anta att den relativa graden av systemet är $n$ . I det här fallet, efter att ha differentierat utgången $n$ gånger har vi,

${\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x )\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n- 1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\ end{aligned}}$

där notationen $y^{(n)}$ indikerar $n$ :e derivatan av $y$ . Eftersom vi antog att den relativa graden av systemet är $n$ , ligger Lie-derivatorna av formen $L_{g}L_{f}^{i}h(x) )$ för $i=1,\dots ,n-2$ är alla noll. Det vill säga, ingången $u$ har inget direkt bidrag till någon av de första ${\displaystyle (n-1)}:$ e derivatorna.

Koordinattransformationen $T(x)$ som sätter systemet i normal form kommer från de första $(n-1)$ derivatorna. Särskilt,

$z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_ {n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}$

omvandlar banor från det ursprungliga $x$ -koordinatsystemet till det nya $z$ -koordinatsystemet. Så länge denna transformation är en diffeomorfism , kommer jämna banor i det ursprungliga koordinatsystemet att ha unika motsvarigheter i $z$ -koordinatsystemet som också är jämna. Dessa $z$ banor kommer att beskrivas av det nya systemet,

${\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2 }&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n }h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{fall}}.$

Därav återkopplingskontrolllagen

$u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n- 1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)$

renderar en linjär input-output-karta från $v$ till $z_{1}=y$ . Det resulterande linjäriserade systemet

${\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}$

är en kaskad av $n$ -integratorer, och en yttre slingkontroll $v$ kan väljas med hjälp av standardlinjär systemmetodik. I synnerhet en statlig återkopplingskontrolllag för

$v=-Kz\qquad ,$

där tillståndsvektorn $z$ är utgången $y$ och dess första $(n-1)$ derivator, resulterar i LTI-systemet

${\dot {z}}=Az$

med,

$A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1} &-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.$

Så, med det lämpliga valet av $k$ , kan vi godtyckligt placera polerna med sluten slinga i det linjäriserade systemet.

Instabil nolldynamik

Återkopplingslinjärisering kan åstadkommas med system som har en relativ grad mindre än $n$ . Den normala formen av systemet kommer emellertid att inkludera nolldynamik (dvs tillstånd som inte kan observeras från systemets utdata) som kan vara instabila. I praktiken kan instabil dynamik ha skadliga effekter på systemet (t.ex. kan det vara farligt för systemets interna tillstånd att växa obegränsat). Dessa oobserverbara tillstånd kan vara kontrollerbara eller åtminstone stabila, och därför kan åtgärder vidtas för att säkerställa att dessa tillstånd inte orsakar problem i praktiken. Minimumfassystem ger viss insikt om nolldynamik.

Se även

• Icke-linjär kontroll

Vidare läsning

• A. Isidori, Nolinear Control Systems, tredje upplagan, Springer Verlag, London, 1995.
• HK Khalil, Nonlinear Systems, tredje upplagan, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
• M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis , andra upplagan, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
• B. Friedland, Advanced Control System Design , faksimilupplaga, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

externa länkar

• Fabio Celani och Alberto Isidori, red. (2009). "Linearisering av feedback" . Scholarpedia . Hämtad 31 december 2022 .
• ECE 758: Modellering och icke-linjär styrning av en enkellänk flexibel ledmanipulator – Ger förklaring och tillämpning av återkopplingslinjärisering.
• ECE 758: Ball-in-Tube Linearization Exempel – Trivial tillämpning av linearisering för ett system som redan är i normal form (dvs ingen koordinattransformation behövs).
• Wolfram-språket fungerar för att göra feedbacklinjärisering , beräkna relativa ordningsföljder och bestämma nolldynamik .