Huvudaxelsats

Inom geometri och linjär algebra är en huvudaxel en viss linje i ett euklidiskt utrymme associerad med en ellipsoid eller hyperboloid , som generaliserar en ellips eller hyperbols stora och mindre axlar . Huvudaxelsatsen säger att huvudaxlarna är vinkelräta och ger en konstruktiv procedur för att hitta dem .

Matematiskt är huvudaxelsatsen en generalisering av metoden för att komplettera kvadraten från elementär algebra . Inom linjär algebra och funktionsanalys är huvudaxelsatsen en geometrisk motsvarighet till spektralsatsen . Den har tillämpningar på statistiken för analys av huvudkomponenter och singularvärdesuppdelning . Inom fysiken är satsen grundläggande för studier av rörelsemängd och dubbelbrytning .

Motivering

Ekvationerna i det kartesiska planet R ² :

{\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2 }}{25}}&=1\\[3pt]{\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{25}}&=1\end{aligned }}

definiera en ellips respektive en hyperbel. I varje fall x- och y -axlarna huvudaxlarna. Detta är lätt att se, med tanke på att det inte finns några korstermer som involverar produkter xy i något av uttrycken. Men situationen är mer komplicerad för ekvationer som

5x^{2}+8xy+5y^{2}=1.

Här krävs någon metod för att avgöra om detta är en ellips eller en hyperbel . Den grundläggande observationen är att om, genom att fylla kvadraten, det kvadratiska uttrycket kan reduceras till summan av två kvadrater så definierar ekvationen en ellips, medan om den reduceras till en skillnad på två kvadrater så representerar ekvationen en hyperbel:

{\begin{aligned}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(ellips)}}\\u(x, y)^{2}-v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(hyperbola)}}.\end{aligned}}

Således, i vårt exempeluttryck, är problemet hur man absorberar koefficienten för korstermen 8 xy i funktionerna u och v . Formellt liknar detta problem problemet med matrisdiagonalisering , där man försöker hitta ett lämpligt koordinatsystem där matrisen för en linjär transformation är diagonal. Det första steget är att hitta en matris där diagonaliseringstekniken kan tillämpas.

Tricket är att skriva den andragradsformen som

5x^{2}+8xy+5y^{2}={\ start{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=\mathbf {x} ^ {\textsf {T}}A\mathbf {x}

där korsperioden har delats upp i två lika delar. Matrisen A i ovanstående sönderdelning är en symmetrisk matris . I synnerhet, genom spektralsatsen , har den reella egenvärden och är diagonaliserbar av en ortogonal matris ( ortogonalt diagonaliserbar) .

För att ortogonalisera A måste man först hitta dess egenvärden och sedan hitta en ortonormal egenbas . Beräkning visar att egenvärdena för A är

\lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=9

med motsvarande egenvektorer

\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}}.

Att dividera dessa med sina respektive längder ger en ortonormal egenbas:

\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}},\quad \ mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.

Nu är matrisen S = [ u ₁ u ₂ ] en ortogonal matris, eftersom den har ortonormala kolumner, och A diagonaliseras av:

A=SDS^{-1}=SDS^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1 /{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&9\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.

Detta gäller det nuvarande problemet att "diagonalisera" den kvadratiska formen genom observationen att

5x^{2}+8xy+5y^{2}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{\textsf {T}} \left(SDS^{\textsf {T}}\right)\mathbf {x} =\left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)^{\textsf {T}}D \left(S^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)=1\left({\frac {xy}{\sqrt {2}}}\right)^{2}+9\left ({\frac {x+y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}.

Således är ekvationen $5x^{2}+8xy+5y^{2}=1$ den för en ellips, eftersom den vänstra sidan kan skrivas som summan av två kvadrater.

Det är frestande att förenkla detta uttryck genom att dra ut faktorer på 2. Det är dock viktigt att inte göra detta. Mängderna

c_{1}={\frac {xy}{\sqrt {2}}},\quad c_{2}={\frac {x +y}{\sqrt {2}}}

har en geometrisk betydelse. De bestämmer ett ortonormalt koordinatsystem på R ² . Med andra ord, de erhålls från de ursprungliga koordinaterna genom applicering av en rotation (och eventuellt en reflektion). Följaktligen kan man använda c ₁ och c ₂ koordinaterna för att göra uttalanden om längd och vinklar (särskilt längd), vilket annars skulle vara svårare vid ett annat val av koordinater (genom att skala om dem, till exempel). Till exempel, det maximala avståndet från origo på ellipsen c ₁² + 9 c ₂² = 1 inträffar när c ₂ = 0, så vid punkterna c ₁ = ±1. På liknande sätt är minimiavståndet där c ₂ = ±1/3.

Det är nu möjligt att avläsa de stora och små axlarna i denna ellips. Dessa är just de individuella egenrymden för matrisen A , eftersom dessa är där c ₂ = 0 eller c ₁ = 0. Symboliskt är huvudaxlarna

E_{1}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix} }\right),\quad E_{2}={\text{span}}\left({\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end {bmatrix}}\höger).

För att sammanfatta:

Ekvationen är för en ellips, eftersom båda egenvärdena är positiva. (Annars, om den ena var positiv och den andra negativ, skulle det vara en hyperbel.)
Huvudaxlarna är linjerna som spänner över av egenvektorerna.
Minsta och maximala avstånd till origo kan avläsas från ekvationen i diagonal form.

Med hjälp av denna information är det möjligt att få en tydlig geometrisk bild av ellipsen: att till exempel rita en graf.

Formellt uttalande

Huvudaxelsatsen avser kvadratiska former i R ⁿ , som är homogena polynom av grad 2. Vilken kvadratisk form som helst kan representeras som

Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}

där A är en symmetrisk matris.

Den första delen av satsen finns i följande påståenden som garanteras av spektralsatsen:

Egenvärdena för A är reella.
A är diagonaliserbar och egenrymden för A är ömsesidigt ortogonala.

I synnerhet är A ortogonalt diagonaliserbar , eftersom man kan ta en bas för varje egenrum och tillämpa Gram-Schmidt-processen separat inom egenrummet för att erhålla en ortonormal egenbas.

För den andra delen, antag att egenvärdena för A är λ ₁ , ..., λ _n (eventuellt upprepade enligt deras algebraiska multipliciteter ) och den motsvarande ortonormala egenbasen är u ₁ , ..., u _n . Sedan,