Villarceau cirklar

Villarceau cirklar som skärningspunkten mellan en torus och ett plan

Att skära en torus med ett speciellt plan avslöjar ett par cirklar, kända som Villarceau-cirklar. Skärplanet passerar genom torusens centrum och berör torusen vid två antipodalpunkter; cirklarna skär varandra vid dessa punkter.

Inom geometri är Villarceau-cirklar ( / v iː l ɑːr ˈ s oʊ / ) ett par cirklar som produceras genom att skära en torus snett genom mitten i en speciell vinkel.

Med tanke på en godtycklig punkt på en torus kan fyra cirklar ritas genom den. En är i ett plan parallellt med torus ekvatorialplan och en annan vinkelrät mot det planet (dessa är analoga med latitud- och longitudlinjer på jorden). De andra två är Villarceau-cirklar. De erhålls som skärningen av torus med ett plan som passerar genom centrum av torus och berör den tangentiellt vid två antipodalpunkter. Om man betraktar alla dessa plan, får man två familjer av cirklar på torus. Var och en av dessa familjer består av osammanhängande cirklar som täcker varje punkt på torus exakt en gång och bildar därmed en 1-dimensionell foliation av torus.

Villarceau-cirklarna är uppkallade efter den franske astronomen och matematikern Yvon Villarceau (1813–1883) som skrev om dem 1848.

Mannheim (1903) visade att Villarceau-cirklarna möter alla parallella cirkulära tvärsnitt av torus i samma vinkel, ett resultat som han sa att en överste Schoelcher hade presenterat vid en kongress 1891.

Exempel

Betrakta en horisontell torus i xyz -rymden, centrerad vid origo och med större radie 5 och mindre radie 3. Det betyder att torus är platsen för några vertikala cirklar med radie tre vars centrum är på en cirkel med radie fem i horisontal xy plan. Punkter på denna torus uppfyller denna ekvation:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Skivning med z = 0-planet ger två koncentriska cirklar, x ² + y ² = 2 ² och x ² + y ² = 8 ² , den yttre och inre ekvatorn. Skivning med x = 0-planet ger två sida vid sida cirklar, ( y − 5) ² + z ² = 3 ² och ( y + 5) ² + z ² = 3 ² .

Två exempel Villarceau cirklar kan produceras genom att skiva med planet 3 x = 4 z . Den ena är centrerad vid (0, +3, 0) och den andra vid (0, −3, 0); båda har radie fem. De kan skrivas i parametrisk form som

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,+3+5\ sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!$

och

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,-3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta ).\,\!$

Skivningsplanet är valt att tangera torusen vid två punkter medan det passerar genom dess centrum. Den är tangent vid ( ¹⁶ ⁄ ₅ , 0, ¹² ⁄ ₅ ) och vid ( ⁻¹⁶ ⁄ ₅ , 0, ⁻¹² ⁄ ₅ ). Skivningsvinkeln bestäms unikt av dimensionerna på den valda torusen. Att rotera ett sådant plan runt z -axeln ger alla Villarceau-cirklarna för den torusen.

Existens och ekvationer

Torus: Villarceau-cirklar För den nedre bilden är projektionen ortogonal mot snittplanet. Därför visas den verkliga formen på cirklarna.

Torus med två pennor av Villarceau-cirklar

Villarceau cirklar (magenta, grön) genom en given punkt (röd). För varje punkt finns det 4 cirklar på torusen som innehåller punkten.

Ett bevis på cirklarnas existens kan konstrueras från det faktum att skivningsplanet tangerar torus vid två punkter. En karaktäristik av en torus är att den är en yta av revolution . Utan förlust av generalitet , välj ett koordinatsystem så att rotationsaxeln är z -axeln. Börja med en cirkel med radien r i xz -planet, centrerad på ( R , 0, 0).

$0=(xR)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

Svepning ersätter x med ( x ² + y ² ) ^1/2 , och genom att rensa kvadratroten får du en kvartsekvation .

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{ 2}+y^{2}).\,\!$

Tvärsnittet av den svepande ytan i xz -planet inkluderar nu en andra cirkel.

$0=(x+R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!$

Detta par cirklar har två gemensamma inre tangentlinjer , med lutningen vid utgångspunkten från den räta triangeln med hypotenusan R och motsatt sida r (som har sin räta vinkel vid tangenspunkten). Således z / x lika med ± r / ( R ² − r ² ) ^1/2 , och val av plustecknet producerar ekvationen för en plan bitangens till torus.

$0=xr-z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!$

Genom symmetri ger rotationer av detta plan runt z -axeln alla bitangenta plan genom mitten. (Det finns också horisontella plan som tangerar toppen och botten av torus, som var och en ger en "dubbel cirkel", men inte Villarceau-cirklar.)

$0=xr\cos \varphi +yr\sin \varphi -z{\sqrt {R^{2}-r^{ 2}}}\,\!$

Vi kan beräkna skärningspunkten mellan planet/planen med torus analytiskt och på så sätt visa att resultatet är ett symmetriskt par cirklar, varav en är en cirkel med radien R centrerad vid

$(-r\sin \varphi ,r\cos \varphi ,0).\,\!$

En behandling enligt dessa linjer finns i Coxeter (1969).

Ett mer abstrakt – och mer flexibelt – tillvägagångssätt beskrevs av Hirsch (2002), med hjälp av algebraisk geometri i en projektiv miljö. I den homogena kvartsekvationen för torus,

$0=(x^{2}+y^ {2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2}-4R^{2}w^{2}(x^ {2}+y^{2}),\,\!$

inställning av w till noll ger skärningen med "planet i oändligheten", och reducerar ekvationen till

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.\,\!$

Denna skärningspunkt är en dubbelpunkt, i själva verket en dubbelpunkt som räknas två gånger. Dessutom ingår den i varje bitangent plan. De två tangenspunkterna är också dubbla punkter. Således innehåller skärningskurvan, som teorin säger måste vara en kvarts, fyra dubbelpunkter. Men vi vet också att en kvarts med mer än tre dubbla punkter måste faktorisera (den kan inte vara irreducerbar ), och genom symmetri måste faktorerna vara två kongruenta koner . Hirsch utvidgar detta argument till vilken rotationsyta som helst som genereras av en konisk, och visar att skärning med ett bitangent plan måste producera två koner av samma typ som generatorn när skärningskurvan är verklig.

Fyller utrymme

Torus spelar en central roll i Hopf-fibreringen av 3-sfären, S ³ , över den vanliga sfären, S ² , som har cirklar, S ¹ , som fibrer. När 3-sfären mappas till euklidisk 3-rymd genom stereografisk projektion , är den omvända bilden av en latitudcirkel på S ² under fiberkartan en torus, och själva fibrerna är Villarceau-cirklar. Banchoff har utforskat en sådan torus med datorgrafikbilder. En av de ovanliga fakta om cirklarna är att var och en länkar genom alla de andra, inte bara i sin egen torus utan i samlingen som fyller hela utrymmet; Berger har en diskussion och teckning.

Se även

• Toriskt avsnitt
• Vesica piscis

Citat

•   Banchoff, Thomas F. (1990). Bortom den tredje dimensionen . Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-5025-3 .
•   Berger, Marcel (1987). Geometri II . Springer. ISBN 978-3-540-17015-0 .
•   Coxeter, HSM (1969). Introduktion till geometri (2/e ed.). Wiley. s. 132–133 . ISBN 978-0-471-50458-0 .
•   Hirsch, Anton (2002). "Utvidgning av 'Villarceau-sektionen' till Surfaces of Revolution med en genererande konik" . Tidskrift för geometri och grafik . Lemgo, Tyskland: Heldermann Verlag. 6 (2): 121–132. ISSN 1433-8157 .
• Mannheim, MA (1903). "Sur le théorème de Schoelcher". Nouvelles Annales de Mathématiques . Paris: Carilian-Gœury et Vor. Dalmont. 4:e serien, volym 3: 105–107.
•   Stachel, Hellmuth (2002). "Anmärkningar på A. Hirschs papper angående Villarceau-sektioner" . Tidskrift för geometri och grafik . Lemgo, Tyskland: Heldermann Verlag. 6 (2): 133–139. ISSN 1433-8157 .
• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François (1848). "Théorème sur le tore". Nouvelles Annales de Mathématiques . Serie 1. Paris: Gauthier-Villars. 7 : 345-347. OCLC: 2449182.
•   Dorst, Leo (2019). "Konformella Villarceau rotorer" . Framsteg inom tillämpad Clifford Algebras . 29 (44). doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Villarceau Circles" . MathWorld .
• Platt torus i tresfären
• (på franska) Torus cirklar ( Les ​​cercles du tore )