Funktion representerad av ett schema

I algebraisk geometri är en funktor som representeras av ett schema X en uppsättningsvärderad kontravariant funktion i kategorin av scheman så att värdet på funktorn vid varje schema S är (upp till naturliga bijektioner) mängden av alla morfismer $S\to X$ . Schemat X sägs då representera funktorn och som klassificerar geometriska objekt över S givet av F .

Det mest kända exemplet är Hilbert-schemat för ett schema X (över något fast basschema), som, när det existerar, representerar en funktion som skickar ett schema S till en platt familj av slutna underscheman av $X\times S$ .

I vissa applikationer är det kanske inte möjligt att hitta ett schema som representerar en given funktion. Detta ledde till föreställningen om en stack , som inte riktigt är en funktion, men som ändå kan behandlas som om det vore ett geometriskt utrymme. (Ett Hilbert-schema är ett schema, men inte en stack eftersom, mycket grovt sett, deformationsteori är enklare för slutna scheman.)

Vissa modulproblem löses genom att ge formella lösningar (i motsats till polynomalgebraiska lösningar) och i så fall representeras den resulterande funktorn av ett formellt schema . Ett sådant formellt schema sägs sedan vara algebraiserbart om det finns ett annat schema som kan representera samma funktion, upp till vissa isomorfismer.

Motivering

Begreppet är en analog av ett klassificerande utrymme i algebraisk topologi . I algebraisk topologi är det grundläggande faktum att varje huvudsakligt G -knippe över ett rymd S är (upp till naturliga isomorfismer) tillbakadraget av en universell bunt $EG\to BG$ längs någon karta från S till $BG$ . Med andra ord, att ge ett huvudsakligt G -paket över ett utrymme S är detsamma som att ge en karta (kallad klassificeringskarta) från ett utrymme S till det klassificerande utrymmet $BG$ av G .

Ett liknande fenomen inom algebraisk geometri ges av ett linjärt system : att ge en morfism från en projektiv varietet till ett projektivt utrymme är (upp till baslokus) att ge ett linjärt system på den projektiva varieteten.

Yonedas lemma säger att ett schema X bestämmer och bestäms av dess punkter.

Funktioner av poäng

Låt X vara ett schema . Dess funktionator av poäng är funktorn

Hom(−, X ) : (Affina scheman) ^op ⟶ Sets

skicka ett affint schema Y till uppsättningen schemakartor $Y\to X$ .

Ett schema bestäms upp till isomorfism av dess funktion av poäng. Detta är en starkare version av Yoneda-lemmat , som säger att ett X bestäms av kartan Hom(−, X ):Schemes ^op → Sets.

Omvänt är en funktion F :(Affine-scheman) ^op → Mängder funktionsfaktorn för punkter i något schema om och endast om F är en bunt med avseende på Zariski-topologin på (Affine-scheman), och F medger en öppen täckning av affina scheman .

Exempel

Poäng som tecken

Låt X vara ett schema över basringen B . Om x är en mängdteoretisk punkt för X , så är restfältet för x restfältet för den lokala ringen ${\mathcal {O}}_{X,x}$ (dvs. kvoten av det maximala idealet). Till exempel, om X är ett affint schema Spec( A ) och x är ett primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}} , då$ är restfältet för x funktionsfältet för det stängda underschemat $\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})$ .

För enkelhetens skull, anta att $X=\operatörsnamn {Spec} (A)$ . Då motsvarar inkluderingen av en mängdteoretisk punkt x i X ringhomomorfismen:

A\to k(x)

(vilket är $A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ om $x={\ mathfrak {p}}$ .)

Punkter som sektioner

Genom den universella egenskapen hos fiberprodukt bestämmer varje R -punkt i ett schema X en morfism av R -scheman

\operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\ gånger _{\operatörsnamn {Spec} (B)}\operatörsnamn {Spec} (R)

;

dvs en sektion av projektionen $X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)$ . Om S är en delmängd av X ( R ), så skriver man $|S|\subset X_{R}$ för uppsättningen av bilderna av sektionerna som bestäms av element i S .

Spec för ringen med dubbla nummer

Låt ${\displaystyle D=\operatörsnamn {Spec} (k[t]/(t^{2}))} ,$ specen för ringen med dubbla tal över ett fält k och X ett schema över k . Då motsvarar varje $D\to X$ tangentvektorn till X vid den punkt som är bilden av kartans stängda punkt. Med andra ord, $X(D)$ är uppsättningen tangentvektorer till X .

Universellt objekt

Låt F vara den funktion som representeras av ett schema X . Under isomorfismen $F(X)\simeq \operatorname {Mor} (X,X)$ finns det ett unikt element av $F (X)$ som motsvarar identitetskartan $1_{X}:X\to X$ . Det kallas det universella objektet eller den universella familjen (när objekten som klassificeras är familjer).

Se även

Anteckningar

David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1358 (2:a uppl.). Springer-Verlag. doi : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-X .
Lurie, Jacob. "Föreläsning 14: Existens av borelreduktioner (I)" (PDF) .
Shafarevich, Igor (1994). Basic Algebraic Geometry, andra, reviderade och utökade upplagan, Vol. 2 . Springer-Verlag.
Shafarevich, Igor R. (2013). Grundläggande algebraisk geometri 2 . doi : 10.1007/978-3-642-38010-5 . ISBN 978-3-642-38009-9 .

externa länkar

http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf