Explicita formler för L-funktioner

Inom matematiken är de explicita formlerna för L-funktioner relationer mellan summor över det komplexa talet nollor i en L-funktion och summor över primpotenser, infört av Riemann (1859) för Riemanns zeta-funktion . Sådana explicita formler har också tillämpats på frågor om att begränsa diskriminanten för ett algebraiskt talfält och ledaren för ett talfält .

Riemanns explicita formel

I sin artikel från 1859 " On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude " skissade Riemann en explicit formel (den bevisades inte helt förrän 1895 av von Mangoldt , se nedan) för den normaliserade primräkningsfunktionen ₀ π ( x ) som är relaterad till primräkningsfunktionen π( x ) by

$\pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\ lim _{h\to 0}\vänster[\,\pi (x+h)+\pi (xh)\,\höger]\,,$

som tar det aritmetiska medelvärdet av gränsen från vänster och gränsen från höger vid diskontinuiteter. Hans formel gavs i termer av den relaterade funktionen

$f(x)=\pi _{0}(x)+{ \frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1 /3})+\cdots$

där en primtalspotens p ⁿ räknas som 1 ⁄ n av ett primtal. Den normaliserade primräkningsfunktionen kan återställas från denna funktion genom

$\pi _{0}(x)=\summa _{n}{\frac {1}{n}}\,\ mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1 }{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6} }\,f(x^{1/6})-\cdots ,$

där μ ( n ) är Möbius-funktionen . Riemanns formel är då

$f(x) =\operatörsnamn {li} (x)-\summa _{\rho }\operatörsnamn {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\ frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}$

involverar en summa över de icke-triviala nollorna ρ för Riemanns zeta-funktion. Summan är inte absolut konvergent utan kan utvärderas genom att ta nollorna i ordning efter det absoluta värdet av deras imaginära del. Funktionen li som förekommer i den första termen är den (oförskjutna) logaritmiska integralfunktionen som ges av Cauchy-huvudvärdet för den divergerande integralen

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.$

Termerna li( x ^ρ ) som involverar zetafunktionens nollor behöver lite omsorg i deras definition eftersom li har grenpunkter vid 0 och 1, och definieras av analytisk fortsättning i den komplexa variabeln ρ i området x > 1 och Re( ρ ) > 0 . De andra termerna motsvarar också nollor: Den dominanta termen li( x ) kommer från polen vid s = 1 , betraktad som en nolla med multiplicitet −1, och de återstående små termerna kommer från de triviala nollorna. Denna formel säger att nollorna i Riemann zeta-funktionen styr svängningarna av primtal runt deras "förväntade" positioner. (För diagram över summorna av de första termerna i denna serie se Zagier 1977. )

Det första rigorösa beviset för den ovannämnda formeln gavs av von Mangoldt 1895: det började med ett bevis på följande formel för Chebyshevens funktion ψ  

$\psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^ {\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\, ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\ log(1-x^{-2})$

där LHS är en omvänd Mellin-transform med

$\sigma > 1\,,\quad \psi (x)=\summa _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x )={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (xh))$

och RHS erhålls från restsatsen och sedan omvandla den till formeln som Riemann själv faktiskt skissade.

Denna serie är också villkorligt konvergent och summan över nollor bör återigen tas i ökande ordning efter imaginär del:

   $\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)$ där $S(x,T)=\summa _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.$

Felet som är involverat i trunkering av summan till S ( x , T ) är alltid mindre än ln( x ) i absolut värde, och när det divideras med den naturliga logaritmen av x , har det ett absolut värde som är mindre än x ⁄ T dividerat med avståndet från x till närmaste primäreffekt.

Weils explicita formel

Det finns flera lite olika sätt att ange den explicita formeln. André Weils form av den explicita formeln säger

${\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\summa _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m) }))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}$

var

• ρ går över de icke-triviala nollorna i zetafunktionen
• p går över positiva primtal
• m går över positiva heltal
• F är en jämn funktion vars alla derivator snabbt minskar
• $\varphi$ är en Fouriertransform av F :
  $$\varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx} \,dx$$
• $\Phi (1/2+it)=\varphi (t)$
• $\Psi (t)=-\log(\pi )+\operatörsnamn {Re} ( \psi (1/4+it/2))$ , där $\psi$ är digammafunktionen Γ ′ /Γ .

Grovt sett säger den explicita formeln att Fouriertransformen av zetafunktionens nollor är uppsättningen av primpotenser plus några elementära faktorer. När detta är sagt kommer formeln från det faktum att Fouriertransformen är en enhetlig operator, så att en skalär produkt i tidsdomänen är lika med skalärprodukten av Fouriertransformerna i frekvensdomänen.

Termerna i formeln uppstår på följande sätt.

• Termerna på höger sida kommer från den logaritmiska derivatan av
  $$\zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{- s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$$
  med termerna som motsvarar primtal p som kommer från Eulerfaktorn i p , och termen i slutet som involverar Ψ kommer från gammafaktorn (Eulerfaktorn i oändligheten).
• Den vänstra sidan är en summa över alla nollor av ζ ^* räknade med multipliciteter, så polerna vid 0 och 1 räknas som nollor av ordningen −1.

Weils explicita formel kan förstås så här. Målet är att kunna skriva att:

${\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\summa _{n=1 }^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac { d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},$

där Λ är von Mangoldt-funktionen .

Så att Fouriertransformen av de icke-triviala nollorna är lika med primtalskraften symmetriserad plus en mindre term. Naturligtvis är summan som är involverad inte konvergent, men tricket är att använda den enhetliga egenskapen hos Fourier-transformen som är att den bevarar skalär produkt:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(u )g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt$

där $F,G$ är Fouriertransformerna av $f,g$ . Vid en första titt verkar det vara en formel för endast funktioner, men faktiskt i många fall fungerar det även när $g$ är en distribution. Därför genom att ställa in

$$g(u)=\summa _{n=1} ^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],$$

där $\delta (u)$ är Dirac delta , och genom att noggrant välja en funktion $f$ och dess Fouriertransform får vi formeln ovan.

Explicita formler för andra aritmetiska funktioner

Riemann-Weyl-formeln kan generaliseras till andra aritmetiska funktioner än von Mangoldt-funktionen. Till exempel för Möbius-funktionen vi har

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\summa _{\rho }{\ frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.$

Även för Liouville-funktionen har vi

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\summa _{\rho }{\ frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty } ^{\infty }dx\,g(x).$

För Euler-Phi-funktionen lyder den explicita formeln

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma ) \zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ( -2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.$

I alla fall är summan relaterad till den imaginära delen av Riemanns nollor ${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ och funktionen h är relaterad till testfunktionen g av en Fouriertransform, ${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\ pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$ .

För divisorfunktionen av nollte ordningen $\sum _{n=1}^{ \infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)$ .

Genom att använda en testfunktion av formen $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ för något positivt a vänder Poisson summeringsformel till en formel som involverar Mellin-transformen. Här y en verklig parameter.

Generaliseringar

Riemann zeta-funktionen kan ersättas av en Dirichlet L-funktion med ett Dirichlet-tecken χ. Summan över primpotenser får då extra faktorer av χ ( p   ^m ), och termerna Φ(1) och Φ(0) försvinner eftersom L-serien inte har några poler.

Mer generellt kan Riemann zeta-funktionen och L-serien ersättas av Dedekind zeta-funktionen för ett algebraiskt talfält eller en Hecke L-serie . Summan över primtal ersätts då av en summa över primtal ideal.

Ansökningar

Riemanns ursprungliga användning av den explicita formeln var att ge en exakt formel för antalet primtal mindre än ett givet tal. För att göra detta, ta F (log( y )) för att vara y ^1/2 /log( y ) för 0 ≤ y ≤ x och 0 någon annanstans. Då är huvudtermen för summan till höger antalet primtal mindre än x . Huvudtermen till vänster är Φ (1); som visar sig vara de dominerande termerna i primtalssatsen , och den huvudsakliga korrigeringen är summan över icke-triviala nollor av zetafunktionen. (Det finns ett mindre tekniskt problem med att använda detta fall, eftersom funktionen F inte uppfyller jämnhetsvillkoret.)

Hilbert–Pólya gissning

Enligt Hilbert–Pólya-förmodan ska de komplexa nollorna ρ vara egenvärdena för någon linjär operator T . Summan över nollorna i den explicita formeln ges sedan (åtminstone formellt) av ett spår:

$\sum _{\rho }F(\rho )=\operatörsnamn {Tr} (F({\widehat {T}})).\!$

Utveckling av de explicita formlerna för en bred klass av L-funktioner gavs av Weil (1952) , som först utvidgade idén till lokala zeta-funktioner , och formulerade en version av en generaliserad Riemann-hypotes i denna miljö, som ett positivitetsuttalande för en generaliserad funktion på en topologisk grupp . Nyare arbete av Alain Connes har gått mycket längre in i den funktionell-analytiska bakgrunden och tillhandahållit en spårformel vars giltighet motsvarar en sådan generaliserad Riemann-hypotes. En något annorlunda synpunkt gavs av Meyer (2005) , som härledde den explicita formeln för Weil via harmonisk analys av adeliska rum.

Se även

• Selbergs spårformel
• Selberg zeta funktion

Fotnoter

•     Ingham, AE (1990) [1932], The Distribution of Prime Numbers , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, återutgiven med ett förord ​​av RC Vaughan (2:a upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39789-6 , MR 1074573 , Zbl 0715.11045
•    Lang, Serge (1994), Algebraisk talteori , Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4 , Zbl 0811.11001
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" , Monatsberichte der Berliner Akademie
•    Weil, André (1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [Om "explicita formler" i teorin om primtal], Comm . Sém. Matematik. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Matta. Sem.] (på franska), Tome Supplémentaire: 252–265, MR 0053152 , Zbl 0049.03205
•     von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" " [ På Riemanns papper "Antalet primtal mindre än en given magnitud"], Journal für die reine und angewandte Mathematik ( på tyska), 114 : 255–305, ISSN 0075-4102 , JFM 26.0215.03 , MR 1580379
•    Meyer, Ralf (2005), "Om en representation av idele-klassgruppen relaterad till primtal och nollor av L -funktioner", Duke Math. J. , 127 (3): 519–595, arXiv : math /0311468 , doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4 , ISSN 0012-7094 , MR 21328101 , Z.416110  
• Zagier, Don (1977), "De första 50 miljoner primtalen", The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7–19, doi : 10.1007/bf03351556
• Garcia JJ Mellin Convolution och dess tillägg, Perron Formula och Explicit Formulas doi=10.20944/preprints201801.0020.v1
• https://encyclopediaofmath.org/wiki/M%C3%B6bius_function#:~:text=The%20M%C3%B6bius%20function%20is%20an,M%C3%B6bius%20in%201832

Vidare läsning

•    Edwards, HM (1974), Riemanns zeta-funktion , Pure and Applied Mathematics, vol. 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0 , Zbl 0315.10035
•    Riesel, Hans (1994), Primtal och datormetoder för faktorisering , Progress in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5 , Zbl 0821.11001