Hauptvermutung

Den geometriska topologins Hauptvermutung är en nu vederlagd gissning som frågar om några två trianguleringar av ett triangulärt utrymme har underavdelningar som är kombinatoriskt ekvivalenta, dvs de underindelade trianguleringarna är uppbyggda i samma kombinatoriska mönster. Den formulerades ursprungligen som en gissning 1908 av Ernst Steinitz och Heinrich Franz Friedrich Tietze , men den är nu känd för att vara falsk.

Historia

Den icke- manifoldiga versionen motbevisades av John Milnor 1961 med Reidemeister-torsion .

Förgreningsversionen är sann i dimensionerna $m\leq 3$ . Fallen $displaystyle m=2}$ \ och $3$ bevisades av Tibor Radó och Edwin E. Moise på 1920- respektive 1950-talet.

Ett hinder för den mångfaldiga versionen formulerades av Andrew Casson och Dennis Sullivan 1967–69 (ursprungligen i det enkelt sammankopplade fallet), med användning av Rochlin-invarianten och kohomologigruppen $H ^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .

I dimension ${\displaystyle m\geq 5} har$ en homeomorfism $f\colon N\to M$ av m - dimensionella bitvis linjära samlingsrör en invariant $\kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ så att $f$ är isotop till en bitvis linjär (PL) homeomorfism om och endast om $\kappa (f)=0$ . I det enkelt sammankopplade fallet och med $m\geq 5$ är $f$$[\kappa (f)]=0\in [M,G/{\rm {PL}}]$ till en PL-homeomorfism om och endast om / .

Denna kvantitet $\kappa (f)$ ses nu som en relativ version av trianguleringsobstruktionen av Robion Kirby och Laurent C. Siebenmann, erhållen 1970. Kirby–Siebenmann obstruktionen definieras för alla kompakta m -dimensionell topologisk grenrör M

$\kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

återigen med Rochlin-invarianten. För ${\displaystyle m\geq 5} har$ grenröret M en PL-struktur (dvs den kan trianguleras av ett PL-grenrör) om och endast om $\kappa (M)= 0$ , och om detta hinder är 0 parametriseras PL-strukturerna av $H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ . I synnerhet finns det bara ett ändligt antal väsentligen distinkta PL-strukturer på M .

För kompakta enkelt sammankopplade grenrör av dimension 4, hittade Simon Donaldson exempel med ett oändligt antal olikvärdiga PL-strukturer, och Michael Freedman fann E8-grenröret som inte bara saknar PL-struktur, utan (genom Cassons arbete) inte ens är homeomorf till ett enkelt komplex .

År 2013 bevisade Ciprian Manolescu att det finns kompakta topologiska grenrör av dimension 5 (och därmed av alla dimensioner större än 5) som inte är homeomorfa till ett enkelt komplex. Således illustrerar Cassons exempel ett mer allmänt fenomen som inte bara är begränsat till dimension 4.

externa länkar

• Ranicki, Andrew. "Triangulering och Hauptvermutung" . University of Edinburgh. Ytterligare material, inklusive originalkällor
•    Rudyak, Yuli (2016). Styckvis linjära strukturer på topologiska samlingsrör . arXiv : math/0105047 . doi : 10.1142/9887 . ISBN 978-981-4733-78-6 . S2CID 16750789 .
•   Ranicki, Andrew , red. (30 september 1996). Hauptvermutung-boken (PDF) . ISBN 0-7923-4174-0 .
• Ranicki, Andrew. "Högdimensionella grenrör då och nu" (PDF) .