Williamson gissningar

Inom kombinatorisk matematik, särskilt i kombinatorisk designteori och kombinatorisk matristeori, är Williamsons gissning att Williamson-matriser av ordningen $n$ existerar för alla positiva heltal n {\ $n}$ . Fyra symmetriska och cirkulerande matriser $A$ , $B$ , $C$ , $D$ är kända som Williamson-matriser om deras poster är $\pm 1$ och de tillfredsställer förhållandet

$A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=4nI$

där $I$ är identitetsmatrisen av ordning $n$ . John Williamson visade att om $A$ , $B$ , $C$ , $D$ är Williamson-matriser då

${\begin{bmatrix}A&B&C&D\\-B&A&-D&C\\-C&D&A&-B\\-D& -C&B&A\end{bmatrix}}$

är en Hadamard-matris av ordningen $4n$ . Det ansågs en gång troligt att Williamson-matriser existerar för alla order $n$ och att strukturen hos Williamson-matriser kunde ge en väg till att bevisa Hadamard-förmodan att Hadamard-matriser existerar för alla order $4n$ . Men 1993 visades Williamsons gissning vara falsk via en uttömmande datorsökning av Dragomir Ž. Ðoković, som visade att Williamson-matriser inte existerar i ordningen $n=35$ . Under 2008 upptäcktes dessutom motexemplen 47, 53 och 59.