Schoen–Yau gissning

Inom matematiken är Schoen -Yau-förmodan en motbevisad gissning i hyperbolisk geometri , uppkallad efter matematikerna Richard Schoen och Shing-Tung Yau .

Den var inspirerad av en teorem av Erhard Heinz (1952). En metod för att motbevisa är användningen av Scherk-ytor , som används av Harold Rosenberg och Pascal Collin (2006).

Inställning och uttalande av gissningen

Låt $\mathbb {C}$ vara det komplexa planet som betraktas som ett Riemann-grenrör med dess vanliga (platta) Riemann-metrik. Låt $\mathbb {H}$ beteckna hyperbolplanet , dvs enhetsskivan

$\mathbb {H} :=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}<1 \}$

begåvad med hyperbolisk metrik

$\mathrm {d} s^{2}=4{\frac {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}{(1-(x^{2} }+y^{2}))^{2}}}.$

E. Heinz bevisade 1952 att det inte kan existera någon harmonisk diffeomorfism

$f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} .\,$

I ljuset av detta teorem antog Schoen att det inte existerar någon harmonisk diffeomorfism

$g:\mathbb {C} \to \mathbb {H} .\,$

(Det är inte klart hur Yaus namn blev associerat med gissningen: i opublicerad korrespondens med Harold Rosenberg identifierar både Schoen och Yau Schoen som att ha postulerat gissningen). Schoen(-Yau) gissningen har sedan dess motbevisats.

Kommentarer

Tonvikten ligger på existensen eller icke-existensen av en harmonisk diffeomorfism, och att denna egenskap är en "envägs"-egenskap. Mer detaljerat: anta att vi betraktar två Riemannska grenrör M och N (med sina respektive mått), och skriver

$M\sim N\,$

om det finns en diffeomorfism från M till N (i den vanliga terminologin är M och N diffeomorfa). Skriva

$M\propto N$

om det finns en harmonisk diffeomorfism från M till N . Det är inte svårt att visa att $\sim$ (är diffeomorf) är en ekvivalensrelation för objekten i kategorin Riemannska grenrör. Speciellt $\sim$ är en symmetrisk relation :

$M\sim N\iff N\sim M.$

Det kan visas att det hyperboliska planet och (platta) komplexa planet verkligen är diffeomorfa:

$\mathbb {H} \sim \mathbb {C} ,$

så frågan är om de är "harmoniskt diffeomorfa" eller inte. Men som sanningen i Heinz' teorem och falskheten i Schoen-Yau-förmodan visar, är $\propto$ inte ett symmetriskt samband:

$\mathbb {C} \propto \mathbb {H} {\text{ men }}\mathbb {H} \inte \propto \mathbb {C} .$

Att vara "harmoniskt diffeomorf" är alltså en mycket starkare egenskap än att bara vara diffeomorf, och kan vara en "envägs" relation.

• Heinz, Erhard (1952). "Öber die Lösungen der Minimalflächengleichung". Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math.-Fys. Kl. Math.-Phys.-Chem. Abt . 1952 : 51–56.
•   Collin, Pascal; Rosenberg, Harold (2010). "Konstruktion av harmoniska diffeomorfismer och minimala grafer". Ann. av matte . 2. 172 (3): 1879–1906. arXiv : math/0701547 . doi : 10.4007/annals.2010.172.1879 . ISSN 0003-486X . MR 2726102