Gränselementmetod

Gränselementmetoden ( BEM ) är en numerisk beräkningsmetod för att lösa linjära partiella differentialekvationer som har formulerats som integralekvationer (dvs i gränsintegralform ) , inklusive fluidmekanik , akustik , elektromagnetik (där tekniken är känd som momentmetoden). eller förkortat som MoM ), frakturmekanik och kontaktmekanik .

Matematisk grund

Integralekvationen kan betraktas som en exakt lösning av den styrande partiella differentialekvationen. Gränselementmetoden försöker använda de givna gränsvillkoren för att passa in gränsvärden i integralekvationen, snarare än värden i hela det utrymme som definieras av en partiell differentialekvation. När detta väl är gjort, i efterbearbetningssteget, kan integralekvationen sedan användas igen för att numeriskt beräkna lösningen direkt vid valfri önskad punkt i det inre av lösningsdomänen.

BEM är tillämplig på problem för vilka Greens funktioner kan beräknas. Dessa involverar vanligtvis fält i linjära homogena medier. Detta sätter avsevärda begränsningar för omfånget och allmänningen av problem på vilka gränselement med fördel kan tillämpas. Icke-linjäriteter kan inkluderas i formuleringen, även om de i allmänhet kommer att introducera volymintegraler som sedan kräver att volymen diskretiseras innan lösning kan försökas, vilket tar bort en av de oftast citerade fördelarna med BEM [ ^{citat behövs ]} . En användbar teknik för att behandla volymintegralen utan att diskretisera volymen är dubbelreciprocitetsmetoden. Tekniken approximerar en del av integranden med hjälp av radiella basfunktioner (lokala interpolerande funktioner) och omvandlar volymintegralen till gränsintegral efter samlokalisering vid utvalda punkter fördelade över volymdomänen (inklusive gränsen). I BEM med dubbla ömsesidighet, även om det inte finns något behov av att diskretisera volymen till maskor, är okända på valda punkter inuti lösningsdomänen involverade i de linjära algebraiska ekvationerna som approximerar problemet som beaktas.

Grönas funktionselement som förbinder par av käll- och fältfläckar definierade av nätet bildar en matris, som löses numeriskt. Såvida inte Greens funktion fungerar väl, åtminstone för par av patchar nära varandra, måste Greens funktion integreras över endera eller både source patch och field patch. Metodens form där integralerna över käll- och fältfläckarna är desamma kallas " Galerkins metod " . Galerkins metod är det självklara tillvägagångssättet för problem som är symmetriska med avseende på utbyte av käll- och fältpunkter. Inom frekvensdomänelektromagnetik säkerställs detta genom elektromagnetisk ömsesidighet . Kostnaden för beräkning som är involverad i naiva Galerkin-implementeringar är vanligtvis ganska höga. Man måste loopa över varje par av element (så att vi får n ² interaktioner) och för varje par av element loopar vi genom Gauss-punkter i elementen, vilket ger en multiplikativ faktor som är proportionell mot antalet Gauss-punkter i kvadrat. Funktionsutvärderingarna som krävs är vanligtvis ganska dyra och involverar trigonometriska/hyperboliska funktionsanrop. Icke desto mindre är den huvudsakliga källan till beräkningskostnaden denna dubbelslinga över element som producerar en fullt befolkad matris.

Grönas funktioner , eller grundläggande lösningar , är ofta problematiska att integrera eftersom de är baserade på en lösning av systemekvationerna som är föremål för en singularitetsbelastning (t.ex. det elektriska fältet som uppstår från en punktladdning). Det är inte lätt att integrera sådana singulära fält. För enkla elementgeometrier (t.ex. plana trianglar) kan analytisk integration användas. För mer generella element är det möjligt att utforma rent numeriska scheman som anpassar sig till singulariteten, men till stora beräkningskostnader. Naturligtvis, när källpunkten och målelementet (där integrationen görs) är långt ifrån varandra, behöver den lokala gradienten som omger punkten inte kvantifieras exakt och det blir lätt att integrera på grund av det mjuka förfallet av den grundläggande lösningen. Det är denna funktion som vanligtvis används i scheman utformade för att påskynda gränselementproblemberäkningar.

Härledning av sluten form Greens funktioner är av särskilt intresse i gränselementmetoden, speciellt inom elektromagnetik. Specifikt i analysen av skiktade media, kräver härledning av den spatiala domänen Greens funktion inversionen av den analytiskt härledbara spektraldomänen Greens funktion genom Sommerfeld-vägintegralen. Denna integral kan inte utvärderas analytiskt och dess numeriska integration är kostsam på grund av dess oscillerande och långsamt konvergerande beteende. För en robust analys approximeras spatial Greens funktioner som komplexa exponentialer med metoder som Pronys metod eller generalized pencil of function , och integralen utvärderas med Sommerfeld-identitet . Denna metod är känd som diskret komplex bildmetod.

Jämförelse med andra metoder

Gränselementmetoden är ofta mer effektiv än andra metoder, inklusive finita element, när det gäller beräkningsresurser för problem där det finns ett litet förhållande mellan yta och volym. Konceptuellt fungerar det genom att konstruera ett " nät " över den modellerade ytan. Men för många problem är gränselementmetoder betydligt mindre effektiva än volymdiskretiseringsmetoder ( finita elementmetod , finita differensmetoden , finita volymmetoden) . Ett bra exempel på tillämpning av boundary element-metoden är effektiv beräkning av naturliga frekvenser av vätske som skvalpar i tankar. Gränselementmetoden är en av de mest effektiva metoderna för numerisk simulering av kontaktproblem, i synnerhet för simulering av limkontakter.

Gränselementformuleringar ger typiskt upphov till fullt befolkade matriser. Detta innebär att lagringskraven och beräkningstiden tenderar att växa med kvadraten på problemstorleken. Däremot är finita elementmatriser typiskt bandade (element är endast lokalt anslutna) och lagringskraven för systemmatriserna växer typiskt ganska linjärt med problemstorleken. Kompressionstekniker (t.ex. multipolexpansion eller adaptiv korsapproximation/ hierarkiska matriser ) kan användas för att lindra dessa problem, men till priset av ökad komplexitet och med en framgångsgrad som i hög grad beror på typen av problem som löses och den inblandade geometrin .

Se även

Bibliografi

Ang, Whye-Teong (2007), A Beginners Course in Boundary Element Methods , Boca Raton, Fl: Universal Publishers , ISBN 978-1-58112-974-8 .
Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis , Oxford: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7 .
Banerjee, Prasanta Kumar (1994), The Boundary Element Methods in Engineering (2nd ed.), London, etc.: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-707769-3 .
Öl, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists , Berlin – Heidelberg – New York: Springer-Verlag , s. XIV+494, ISBN 978-3-211-71574-1
Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "Heritage and early history of the boundary element method", Engineering Analysis with Boundary Elements , 29 ( 3): 268–302, doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 , Zbl 1052.65 , finns även här .
Gibson, Walton C (2008), The Method of Moments in Electromagnetics , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC Press , s. xv+272, ISBN 978-1-4200-6145-1 , MR 2503144 , Zbl 80025 .
Katsikadelis, John T. (2002), Boundary Elements Theory and Applications , Amsterdam: Elsevier , s. XIV+336, ISBN 978-0-080-44107-8 .
Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002), The Boundary Element Method , New York: John Wiley & Sons , sid. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (i två volymer).

Vidare läsning

Constanda, Christian; Doty, Dale; Hamill, William (2016). Boundary Integral Equation Methods and Numerical Solutions: Tunna plattor på en elastisk grund . New York: Springer. ISBN 978-3-319-26307-6 .

externa länkar

En onlineresurs för gränselement
Vad finns under ytan? En guide till Boundary Element Method och Greens funktioner för studenter och yrkesverksamma
En inledande BEM-kurs (med ett kapitel om Greens funktioner)
Gränselement för problem med plansprickor
Webbplats för elektromagnetisk modellering vid Clemson University (inkluderar en lista över för närvarande tillgänglig programvara)
Konceptanalytiker Boundary Element Analysis programvara
Klimpke, Bruce A Hybrid Magnetic Field Solver Using a Combined Finite Element/Boundary Element Field Solver , UK Magnetics Society Conference, 2003 som jämför FEM- och BEM-metoder såväl som hybridmetoder

Gratis mjukvara

Bembel En 3D, isogeometrisk, högre ordning, öppen källkod BEM-programvara för Laplace, Helmholtz och Maxwell problem som använder en snabb multipolmetod för komprimering och minskning av beräkningskostnad
boundary-element-method.com En öppen källkod BEM-mjukvara för att lösa akustik / Helmholtz och Laplace problem
Puma-EM Ett parallellt program med öppen källkod och högpresterande Moments / Multilevel Fast Multipole Method
AcousTO Acoustics Simulation Tool, en gratis parallell BEM-lösare med öppen källkod för Kirchhoff-Helmholtz Integral Equation (KHIE)
FastBEM Gratis snabba flerpoliga gränselementprogram för att lösa 2D/3D potential, elasticitet, Stokes flow och akustiska problem
ParaFEM Inkluderar den fria och öppen källkod parallell BEM-lösaren för elasticitetsproblem som beskrivs i Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists, Springer, ISBN 978-3-211-71574-1 ( 2008)
Boundary Element Template Library (BETL) Ett allmänt C++-programbibliotek för diskretisering av gränsintegraloperatorer
Nemoh En öppen källkod för hydrodynamik BEM-programvara dedikerad till beräkning av första ordningens vågbelastningar på offshore-strukturer (tillagd massa, strålningsdämpning, diffraktionskrafter)
Bempp , En BEM-programvara med öppen källkod för 3D Laplace-, Helmholtz- och Maxwell-problem
MNPBEM , En Matlab-verktygslåda med öppen källkod för att lösa Maxwells ekvationer för godtyckligt formade nanostrukturer
Kontaktmekanik och tribologisimulator , gratis, BEM-baserad programvara
MultiFEBE , BEM-FEM-lösare för beräkningsmekanik, som möjliggör koppling av 2D- och 3D-viskoelastiska eller porelastiska media med balk- och skalstrukturelement (till exempel för dynamiska jord-strukturinteraktionsproblem).