Ömsesidighet (elektromagnetism)

Den här artikeln handlar om reciprocitetssatser inom klassisk elektromagnetism. För orelaterade ömsesidighetsteorem, se Reciprocitetssats (disambiguation) . För mer allmän användning av termen, se Reciprocity (disambiguation) .

I klassisk elektromagnetism hänvisar reciprocitet till en mängd relaterade satser som involverar utbytet av tids- harmoniska elektriska strömtätheter (källor) och de resulterande elektromagnetiska fälten i Maxwells ekvationer för tidsinvarianta linjära media under vissa begränsningar. Ömsesidighet är nära besläktad med begreppet symmetriska operatorer från linjär algebra , applicerad på elektromagnetism.

Det kanske vanligaste och vanligaste teoremet är Lorentz reciprocity (och dess olika specialfall såsom Rayleigh-Carson reciprocity ), uppkallad efter arbete av Hendrik Lorentz 1896 efter analoga resultat angående ljud av Lord Rayleigh och ljus av Helmholtz (Potton, 2004) . Löst står det att förhållandet mellan en oscillerande ström och det resulterande elektriska fältet är oförändrat om man byter ut punkterna där strömmen är placerad och där fältet mäts. För det specifika fallet med ett elektriskt nätverk , formuleras det ibland som påståendet att spänningar och strömmar på olika punkter i nätverket kan bytas ut. Mer tekniskt följer det att den ömsesidiga impedansen för en första krets på grund av en andra är densamma som den ömsesidiga impedansen för den andra kretsen på grund av den första.

Ömsesidighet är användbar inom optik , som (bortsett från kvanteffekter) kan uttryckas i termer av klassisk elektromagnetism, men också i termer av radiometri .

Det finns också en analog teorem i elektrostatik , känd som gröns reciprocitet , som relaterar utbytet av elektrisk potential och elektrisk laddningstäthet .

Former av reciprocitetssatserna används i många elektromagnetiska tillämpningar, såsom analys av elektriska nätverk och antennsystem . Till exempel innebär ömsesidighet att antenner fungerar lika bra som sändare eller mottagare, och specifikt att en antenns strålnings- och mottagningsmönster är identiska. Ömsesidighet är också ett grundläggande lemma som används för att bevisa andra satser om elektromagnetiska system, såsom impedansmatrisens och spridningsmatrisens symmetri , symmetrier av Greens funktioner för användning i gränselement och överföringsmatrisberäkningsmetoder, såväl som ortogonalitet egenskaper för harmoniska moder i vågledarsystem (som ett alternativ till att bevisa dessa egenskaper direkt från symmetrierna hos egenoperatorerna ) .

Lorentz ömsesidighet

Antag specifikt att man har en strömtäthet $\mathbf {J} _{1}$ som alstrar ett elektriskt fält $\mathbf {E} _{1}$ och ett magnetfält $\mathbf {H} _{1}\,,$ där alla tre är periodiska funktioner av tid med vinkelfrekvens ω , och i synnerhet har de tidsberoende $\exp(-i\omega t)\,.$ Antag att vi på liknande sätt har en andra ström $\mathbf {J} _{2}$ med samma frekvens ω som (av sig själv) producerar fälten $\mathbf {E} _{2}$ och $\mathbf {H} _{2}\,.$ Lorentz reciprocitetssats anger sedan, under vissa enkla förhållanden på materialen i mediet som beskrivs nedan, att för en godtycklig yta S som omsluter en volym V :

$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{ 2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$

På motsvarande sätt, i differentiell form (genom divergenssatsen ) :

$\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \ vänster[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .$

Denna allmänna form är vanligen förenklad för ett antal specialfall. Speciellt brukar man anta att $\ \mathbf {J} _{1}\$ och $\mathbf {J} _{2}$ är lokaliserade (dvs. har kompakt stöd ), och att det inte finns några inkommande vågor från oändligt långt borta. I det här fallet, om man integrerar i hela rymden, avbryts ytintegraltermerna (se nedan) och man får:

$\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf { J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .$

Detta resultat (tillsammans med följande förenklingar) kallas ibland Rayleigh-Carson reciprocity theorem , efter Lord Rayleighs arbete med ljudvågor och en utvidgning av Carson (1924; 1930) till tillämpningar för radiofrekvensantenner . Ofta förenklar man detta förhållande ytterligare genom att beakta punktliknande dipolkällor , i vilket fall integralerna försvinner och man får helt enkelt produkten av det elektriska fältet med strömmarnas motsvarande dipolmoment. Eller, för ledningar med försumbar tjocklek, erhåller man den applicerade strömmen i en tråd multiplicerad med den resulterande spänningen över en annan och vice versa; se även nedan.

Ett annat specialfall av Lorentz reciprocitetssats gäller när volymen V helt innehåller båda de lokaliserade källorna (eller alternativt om V inte skär någon av källorna). I detta fall:

$\ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S }(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$

Ömsesidighet för elektriska nät

Se även: Ömsesidighet (elektriska nätverk)

Ovan formulerades Lorentz reciprocitet i termer av en externt applicerad strömkälla och det resulterande fältet. Ofta, speciellt för elektriska nät, föredrar man istället att tänka på en externt pålagd spänning och de resulterande strömmarna. Lorentz reciprocitetssats beskriver detta fall också, med antagande av ohmska material (dvs strömmar som svarar linjärt på det applicerade fältet) med en 3×3 konduktivitetsmatris σ som måste vara symmetrisk , vilket antyds av de andra villkoren nedan . För att korrekt beskriva denna situation måste man noggrant skilja mellan de externt applicerade fälten (från drivspänningarna) och de totala fälten som blir resultatet (King, 1963).

Mer specifikt bestod $\ \mathbf {J} \$ ovan endast av externa "källa"-termer som introducerades i Maxwells ekvationer. Vi betecknar nu detta med $\ \mathbf {J} ^{(e)}\$ för att skilja det från den totala ström som produceras av både den externa källan och av de resulterande elektriska fälten i materialen. Om denna externa ström finns i ett material med en konduktivitet σ , så motsvarar den ett externt pålagt elektriskt fält $\ \mathbf {E} ^{(e)}\$ där, per definition av σ :

$\ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .$

Dessutom bestod det elektriska fältet $\mathbf {E}$ ovan endast av svaret på denna ström och inkluderade inte det "externa" fältet $\ \mathbf {E} ^{(e)}\ .$ Därför betecknar vi nu fältet från tidigare som $\ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,$ där det totala fältet ges av $\ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .$

Nu kan ekvationen på vänster sida av Lorentz reciprocitetssats skrivas om genom att flytta σ från den externa nuvarande termen $\mathbf {J} ^{(e)}$ till svarsfältet termer $\ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,$ och även addera och subtrahera a $\ \sigma \mathbf { E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\$ term, för att erhålla det externa fältet multiplicerat med den totala nuvarande $\ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :$

${\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r) }-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatörsnamn {d} V\\={}&\ int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E } _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\ höger)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatörsnamn {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right ]\operatörsnamn {d} V\ .\end{aligned}}$

För gränsen för tunna ledningar ger detta produkten av den externt pålagda spänningen (1) multiplicerad med den resulterande totala strömmen (2) och vice versa. I synnerhet blir Rayleigh-Carsons reciprocitetssats en enkel summering:

$\ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n )}I_{2}^{(n)}=\summa _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}$

där $\ {\mathcal {V}}\$ och I betecknar de komplexa amplituderna för de pålagda AC- spänningarna respektive de resulterande strömmarna i en uppsättning kretselement (indexerade med n ) för två möjliga uppsättningar av spänningar $\ {\mathcal {V}}_{1}\$ och $\ {\mathcal {V}}_{2}\ .$

Vanligtvis förenklas detta ytterligare till fallet där varje system har en enda spänningskälla $\ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,$ vid $\ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\$ och ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .} Då blir satsen helt$ enkelt

$I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}$

eller i ord:

Strömmen vid position (1) från en spänning vid (2) är identisk med strömmen vid (2) från samma spänning vid (1).

Villkor och bevis på Lorentz ömsesidighet

Lorentz reciprocitetssats är helt enkelt en återspegling av det faktum att den linjära operatorn $\operatorname {\hat {O}}$ relaterar $\mathbf {J}$ och $\mathbf {E }$ vid en fast frekvens $\omega$ (i linjära media):

$$\mathbf {J} =\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E}$$

var

$$\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i \omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E }$$

är vanligtvis en symmetrisk operator under " inre produkt " ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \ mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ för vektorfält $\mathbf {F}$ och $\mathbf {G} \ .$ (Tekniskt sett är den här okonjugerade formen inte en sann inre produkt eftersom den inte är verkligt värderad för fält med komplexa värden, men det är inte ett problem här. I denna mening är operatorn är inte riktigt hermitisk utan är ganska komplex-symmetrisk.) Detta är sant när permittiviteten ε och den magnetiska permeabiliteten μ , vid den givna ω , är symmetriska 3×3-matriser (symmetriska rank-2-tensorer) – detta inkluderar det vanliga fallet där de är skalärer (för isotropa medier), naturligtvis. De behöver inte vara reella – komplexa värden motsvarar material med förluster, såsom ledare med ändlig konduktivitet σ (som ingår i ε via ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma / \omega \ } ) – och på grund av detta$ kräver inte reciprocitetssatsen tidsreverseringsinvarians . Villkoret för symmetriska ε- och μ -matriser är nästan alltid uppfyllt; se nedan för ett undantag.

För alla hermitiska operatorer $\operatorname {\hat {O}}$ under en inre produkt $(f,g)\!$ , har vi $(f,\operatörsnamn {\hat {O}} g)=(\operatörsnamn {\hat {O}} f,g)$ per definition, och Rayleigh-Carson reciprocitetssatsen är bara vektorversionen av detta uttalande för denna specifika operator $\mathbf {J} =\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E} \ :$ dvs. $(\mathbf {E} _{1},\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E} _ {1},\mathbf {E} _{2})\ .$ Hermitiska egenskapen för operatorn här kan härledas genom integrering av delar . För en finit integrationsvolym ger yttermerna från denna integration med delar den mer allmänna ytintegralsatsen ovan. I synnerhet är nyckelfaktumet att för vektorfälten $\mathbf {F}$ och $\mathbf {G} \ ,$ integration av delar (eller divergenssatsen ) över en volym V innesluten av en yta ger S identiteten:

$$\int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf { A} \ .$$

Denna identitet tillämpas sedan två gånger på $(\mathbf {E} _{1},\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})$ för att ge $(\operatörsnamn {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})$ plus ytan term, vilket ger Lorentz ömsesidighetsförhållande.

Villkor och bevis på Lorenz reciprocitet med hjälp av Maxwells ekvationer och vektoroperationer

Vi ska bevisa en allmän form av det elektromagnetiska reciprocitetssatsen på grund av Lorenz som säger att fälten $\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}$ och $\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}$ genererad av två olika sinusformade strömtätheter respektive $\mathbf {J} _{1}$ och $\mathbf {J} _{2}$ av samma frekvens, uppfyller villkoret

$$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{ 2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .$$

Låt oss ta ett område där dielektricitetskonstanten och permeabiliteten kan vara funktioner av position men inte av tid. Maxwells ekvationer, skrivna i termer av de totala fälten, strömmarna och laddningarna i regionen beskriver det elektromagnetiska beteendet i regionen. De två curl-ekvationerna är:

$${\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \ gånger \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}$$

Under konstanta konstanta frekvensförhållanden får vi från de två curl-ekvationerna Maxwells ekvationer för det tidsperiodiska fallet:

$${\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\ mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}$$

Det måste inses att symbolerna i ekvationerna i denna artikel representerar de komplexa multiplikatorerna för $e^{j\omega t}$ , vilket ger in-fas- och out-of-fas-delarna med avseende på den valda referensen. De komplexa vektormultiplikatorerna för $e^{j\omega t}$ kan kallas vektorfasorer i analogi med de komplexa skalära storheterna som vanligtvis kallas fasorer .

En ekvivalens av vektoroperationer visar det

$$\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )$$

för varje vektor $\mathbf {E}$ och $\mathbf {H} \ .$

Om vi ​​tillämpar denna ekvivalens på $\mathbf {E} _{1}$ och $\mathbf {H} _{2}$ får vi:

$$\mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H } _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .$$

Om produkter i de tidsperiodiska ekvationerna tas som indikeras av denna sista ekvivalens och läggs till,

$$-\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2 }-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .$$

Detta kan nu integreras över volymen av oro,

$$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot ( \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .$$

Från divergenssatsen är volymintegralen av $\operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})$ lika med ytintegral av $\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}$ över gränsen.

$$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

Denna form är giltig för allmänna medier, men i det vanliga fallet med linjära, isotropa, tidsinvarianta material är ε en skalär oberoende av tid. Då generellt som fysikaliska magnituder $\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$ och $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .$

Den sista ekvationen blir då

$$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j \omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S }(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

På ett exakt analogt sätt får vi för vektorerna $\mathbf {E} _{2}$ och $\mathbf {H} _{1}$ följande uttryck:

$$\int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j \omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatörsnamn {d} V=-\oint _{S }(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .$$

Subtraherar vi de två sista ekvationerna med medlemmar får vi

$$\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]\operatörsnamn {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{ 2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .$$

och likvärdigt i differentiell form

$$\ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2 }-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2} -\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\$$

QED

Yttidsuppsägning

Upphävandet av yttermerna på höger sida av Lorentz reciprocitetssats, för en integration över hela rymden, är inte helt uppenbar men kan härledas på ett antal sätt. En noggrann behandling av ytintegralen tar hänsyn till kausaliteten hos växelverkande vågfältstillstånd: Yt-integralens bidrag vid oändligheten försvinner endast för tid-faltningsinteraktionen av två kausala vågfält (tids-korrelationsinteraktionen leder till en icke-noll bidrag).

Ett annat enkelt argument skulle vara att fälten går till noll i oändligheten för en lokaliserad källa, men detta argument misslyckas i fallet med förlustfria medier: i frånvaro av absorption avtar utstrålade fält omvänt med avståndet, men integralens yta ökar med kvadraten på avståndet, så de två takterna balanserar varandra i integralen.

Istället är det vanligt (t.ex. King, 1963) att anta att mediet är homogent och isotropt tillräckligt långt borta. I det här fallet tar det utstrålade fältet asymptotiskt formen av planvågor som fortplantar sig radiellt utåt (i riktningen ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }})$ med ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0} och$ H $\displaystyle \mathbf {H} = {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ där Z är den skalära impedansen ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ för det omgivande mediet. Sedan följer att ${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\ mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,} som med en enkel vektoridentitet$ är lika med ${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .} På liknande sätt$ , $\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2} \cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}$ och de två termerna upphäver varandra.

Ovanstående argument visar explicit varför yttermerna kan avbrytas, men saknar generalitet. Alternativt kan man behandla fallet med förlustfria omgivande media med strålningsgränsvillkor pålagda via den begränsande absorptionsprincipen : Tar gränsen när förlusterna (den imaginära delen av ε ) går till noll. För varje förlust som inte är noll, avtar fälten exponentiellt med avståndet och ytintegralen försvinner, oavsett om mediet är homogent. Eftersom den vänstra sidan av Lorentz reciprocitetssats försvinner för integration över hela rymden med eventuella förluster som inte är noll, måste den också försvinna i gränsen när förlusterna går till noll. (Observera att detta tillvägagångssätt implicit ålägger Sommerfeld-strålningsvillkoret med noll inkommande vågor från oändligheten, eftersom annars till och med en oändlig förlust skulle eliminera de inkommande vågorna och gränsen skulle inte ge den förlustfria lösningen.)

Ömsesidighet och Greens funktion

Inversen av operatorn $\operatorname {\hat {O}} \ ,$ dvs i $\mathbf {E} =\operatörsnamn {\hat { O}} ^{-1}\mathbf {J}$ (som kräver en specifikation av gränsvillkoren vid oändlighet i ett förlustfritt system), har samma symmetri som $\operatorname {\hat {O}}$ och är i huvudsak en grön funktionsfaltning . Så ett annat perspektiv på Lorentz ömsesidighet är att det återspeglar det faktum att faltning med den elektromagnetiska gröna funktionen är en komplex-symmetrisk (eller anti-hermitisk, nedan) linjär operation under lämpliga förhållanden på ε och μ . Mer specifikt kan den gröna funktionen skrivas som $G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )$ vilket ger den n -te komponenten av ${ \displaystyle \mathbf {E} }$ vid $\mathbf {x} '$ från en punkt dipolström i m -:te riktningen vid $\mathbf {x}$ (i huvudsak $G$ ger matriselementen för $\operatorname {\hat {O}} ^{-1}$ ), och Rayleigh-Carsons ömsesidighet är ekvivalent med påståendet att ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .} Till skillnad från$ O $\ displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$ det är i allmänhet inte möjligt att ge en explicit formel för Greenens funktion (förutom i speciella fall som homogena media), men den beräknas rutinmässigt med numeriska metoder.

Förlustfria magnetoptiska material

Ett fall där ε inte är en symmetrisk matris är för magneto-optiska material, i vilket fall det vanliga uttalandet om Lorentz reciprocitet inte håller (se dock nedan för en generalisering). Om vi ​​tillåter magnetoptiska material, men begränsar oss till situationen där materialabsorptionen är försumbar , så är ε och μ i allmänhet 3×3 komplexa hermitiska matriser . I detta fall är operatorn ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)- {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ är hermitisk under den konjugerade inre produkten ${\textstyle (\mathbf { F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,} och en variant av reciprocitetssatsen$ [ håller fortfarande:

$$-\int _{V }\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf { E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A}$$

där teckenändringarna kommer från ${\frac {1}{i\omega }}$ i ekvationen ovan, vilket gör operatorn $\operatorname {\hat {O}}$ anti-Hermitian (försummar yttermer). För specialfallet av $\mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,$ ger detta en omformulering av bevarande av energi eller Poyntings sats ( eftersom vi här har antagit förlustfria material, till skillnad från ovan): Den tidsgenomsnittliga hastigheten för arbete utfört av strömmen (given av den reella delen av − $\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$ ) är lika med det tidsgenomsnittliga kraftflödet utåt (integralen av Poynting-vektorn ) . På samma sätt försvinner emellertid inte yttermerna i allmänhet om man integrerar över hela utrymmet för denna ömsesidighetsvariant, så en Rayleigh-Carson-form håller inte utan ytterligare antaganden.

Det faktum att magnetoptiska material bryter Rayleigh-Carsons ömsesidighet är nyckeln till enheter som Faraday-isolatorer och cirkulatorer . En ström på ena sidan av en Faraday-isolator producerar ett fält på den andra sidan men inte vice versa.

Generalisering till icke-symmetriska material

För en kombination av förlustiga och magneto-optiska material, och i allmänhet när ε- och μ-tensorerna varken är symmetriska eller hermitiska matriser, kan man fortfarande få en generaliserad version av Lorentz reciprocitet genom att beakta ( J 1 $( \mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ och $(\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{ 2})$ finns i olika system .

I synnerhet om $(\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})$ uppfyller Maxwells ekvationer vid ω för ett system med material $(\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,$ och $(\mathbf {J} _{2},\mathbf { E} _{2})$ uppfyller Maxwells ekvationer vid ω för ett system med material $\left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\ mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,$ där ${}^{\mathsf {T}}$ betecknar transponeringen , då gäller ekvationen för Lorentz ömsesidighet. Detta kan ytterligare generaliseras till bi-anisotropa material genom att transponera hela 6×6 känslighetstensorn.

Undantag från ömsesidighet

För icke-linjära medier gäller i allmänhet ingen reciprocitetssats. Ömsesidighet gäller inte heller i allmänhet för tidsvarierande ("aktiva") medier; till exempel när ε moduleras i tid av någon extern process. (I båda dessa fall är frekvensen ω i allmänhet inte en bevarad storhet.)

Feld-Tai ömsesidighet

År 1992 formulerades ett närbesläktat reciprocitetssats oberoende av YA Feld och CT Tai, och är känt som Feld-Tai reciprocity eller Feld-Tai lemma . t relaterar två tidsharmoniska lokaliserade strömkällor och de resulterande magnetfälten :

$\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatörsnamn {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf { J} _{2}\,\operatörsnamn {d} V\ .$

Feld-Tai-lemmat är dock endast giltigt under mycket mer restriktiva villkor än Lorentz ömsesidighet. Det kräver i allmänhet tidsinvariant linjär media med en isotropisk homogen impedans , dvs ett konstant skalärt μ / ε -förhållande, med möjliga undantag för områden med perfekt ledande material.

Mer exakt kräver Feld-Tai reciprocitet den hermitiska (eller snarare komplex-symmetriska) symmetrin hos de elektromagnetiska operatorerna enligt ovan, men förlitar sig också på antagandet att operatorn som relaterar E {\displaystyle \ \mathbf {E} $}$ och $\ i\omega \mathbf {J} \$ är en konstant skalär multipel av operatorn som relaterar $\ \mathbf {H} \$ och $\ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,$ vilket är sant när ε är en konstant skalär multipel av μ (de två operatorerna skiljer sig vanligtvis åt genom ett utbyte av ε och μ ). Som ovan kan man också konstruera en mer generell formulering för integraler över en finit volym.

Optisk reciprocitet i radiometriska termer

Förutom kvantala effekter täcker klassisk teori när-, mellan- och fjärrfälts elektriska och magnetiska fenomen med godtyckliga tidsförlopp. Optik hänvisar till fjärrfälts nästan sinusformade oscillerande elektromagnetiska effekter. Istället för parade elektriska och magnetiska variabler kan optik, inklusive optisk reciprocitet, uttryckas i polarisationsparade radiometriska variabler, såsom spektral utstrålning , traditionellt kallad specifik intensitet .

År 1856 skrev Hermann von Helmholtz :

"En ljusstråle som utgår från punkt A anländer till punkt B efter att ha drabbats av valfritt antal brytningar, reflektioner etc. Låt vid punkt A vilka två vinkelräta plan a ₁ , a ₂ som helst tas i strålens riktning; och låt vibrationerna av strålen delas i två delar, en i vart och ett av dessa plan. Ta lika plan b ₁ , b ₂ i strålen vid punkt B ; då kan följande proposition demonstreras. Om när mängden ljus J polariserades i planet a ₁ går från A i riktningen för den givna strålen, den del K därav av ljus polariserat i b ₁ anländer till B , sedan, omvänt, om mängden ljus J polariserat i b ₁ utgår från B , samma mängd ljus K polariserad i en ₁ kommer att anlända till A. "

Detta kallas ibland Helmholtz ömsesidighetsprincip (eller återgång). När vågen fortplantar sig genom ett material som påverkas av ett applicerat magnetfält kan reciprocitet brytas så denna princip kommer inte att gälla. På samma sätt, när det finns rörliga föremål i strålens bana, kan principen vara helt otillämplig. Historiskt, 1849, Sir George Stokes sin optiska reversionsprincip utan att ta hänsyn till polarisering.

Liksom termodynamikens principer är denna princip tillförlitlig nog att användas som en kontroll av experimentens korrekta utförande, i motsats till den vanliga situationen där experimenten är tester av en föreslagen lag.

Det enklaste uttalandet av principen är om jag kan se dig, då kan du se mig . Principen användes av Gustav Kirchhoff i hans härledning av hans lag om termisk strålning och av Max Planck i sin analys av hans lag om termisk strålning .

För strålspårande globala belysningsalgoritmer kan inkommande och utgående ljus betraktas som omkastningar av varandra, utan att påverka resultatet av den dubbelriktade reflektansfördelningsfunktionen ( BRDF).

Greens ömsesidighet

Medan ovanstående reciprocitetssatser gällde oscillerande fält, är Greens reciprocitet ett analogt teorem för elektrostatik med en fast fördelning av elektrisk laddning (Panofsky och Phillips, 1962).

Låt särskilt $\phi _{1}$ beteckna den elektriska potentialen som resulterar från en total laddningstäthet $\rho _{1}$ . Den elektriska potentialen uppfyller Poissons ekvation $-\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}$ ε där $\varepsilon _{0}$ är vakuumpermittiviteten . På liknande sätt, låt $\phi _{2}$ beteckna den elektriska potentialen som resulterar från en total laddningstäthet ${\displaystyle \rho _{2}} ,$ som uppfyller ${ \displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$ . I båda fallen antar vi att laddningsfördelningarna är lokaliserade, så att potentialerna kan väljas att gå till noll i oändligheten. Sedan säger Greens reciprocitetssats att, för integraler över hela rymden:

$\int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatörsnamn {d} V\ .$

Denna sats är lätt bevisad från Greens andra identitet . På motsvarande sätt är det påståendet att

$\int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1}) dV=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatörsnamn {d} V\ ,$

dvs att $\nabla ^{2}$ är en hermitisk operator (som följer genom att integrera med delar två gånger).

Se även

• Ytekvivalensprincip

• LD Landau och EM Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media (Addison-Wesley: Reading, MA, 1960). §89.
• Ronold WP King , grundläggande elektromagnetisk teori (Dover: New York, 1963). §IV.21.
• C. Altman och K. Sådana, Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991).
• HA Lorentz, "Poyntings teorem angående energin i det elektromagnetiska fältet och två allmänna förslag angående ljusets utbredning," [ Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 sid. 176 (1896).
• RJ Potton, "Reciprocity in optics," Reports on Progress in Physics 67 , 717-754 (2004). (En recensionsartikel om detta ämnes historia.)
• JR Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924).
• JR Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid . 9 (4), 325-331 (1930).
• Ja. N. Feld, "Om det kvadratiska lemmaet i elektrodynamik," Sov. Phys—Dokl. 37 , 235-236 (1992).
• C.-T. Tai, "Komplementära ömsesidighetsteorem i elektromagnetisk teori," IEEE Trans. Antennas Prop. 40 (6), 675-681 (1992).
• Wolfgang KH Panofsky och Melba Phillips, Klassisk elektricitet och magnetism (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).
• M. Stumpf, Electromagnetic Reciprocity in Antenna Theory (Wiley-IEEE Press: Piscataway, NJ: 2018).
• M. Stumpf, Time-Domain Electromagnetic Reciprocity in Antenna Modeling (Wiley-IEEE Press: Piscataway, NJ: 2020).
• Viktar Asadchy, Mohammad S. Mirmoosa, Ana Díaz-Rubio, Shanhui Fan, Sergei A. Tretyakov, Tutorial on Electromagnetic Nonreciprocity and Its Origins, arXiv:2001.04848 (2020).