Fiktiv domänmetod

Inom matematik är den fiktiva domänmetoden en metod för att hitta lösningen av en partiell differentialekvation på en komplicerad domän ${\displaystyle D} ,$ genom att ersätta ett givet problem som ställs på en domän $D$ , med ett nytt problem poserad på en enkel domän $\Omega$ som innehåller $D$ .

Allmän formulering

Antag att i något område $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ vill vi hitta lösningen $u(x)$ i ekvationen :

$Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n})\in D$

med randvillkor :

$lu=g(x),x\in \partial D$

Grundidén med fiktiva domänmetoden är att ersätta ett givet problem som ställs på en domän $D$ , med ett nytt problem som ställs på en enkel formad domän $\Omega$ som innehåller $D$ ( $D\subset \Omega$ ). Till exempel kan vi välja n -dimensionell parallellotop som $\Omega$ .

Problem i den utökade domänen $\Omega$ för den nya lösningen $u_{\epsilon }(x)$ :

${\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon } (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega } l ϵ$

$displaystyle l_{ \epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }$

Det är nödvändigt att ställa problemet i det utökade området så att följande villkor är uppfyllt:

$u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D$

Enkelt exempel, 1-dimensionellt problem

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1 \quad (1)$

$u(0)=0,u(1)=0$

Förlängning med ledande koefficienter

$u_{\epsilon }(x)$ lösning på problemet:

${\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x) {\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)$

Diskontinuerlig koefficient $k^{\epsilon }(x)$ och högra delen av ekvationen föregående ekvation vi får från uttryck:

$k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\ {\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$

$\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad ( 3)$

Gränsvillkor:

$u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0$

Anslutningsvillkor i punkten $x=1$ :

$[u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_ {\epsilon }}{dx}}\right]=0$

där $[\cdot ]$ betyder:

$[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)$

Ekvation (1) har analytisk lösning , därför kan vi enkelt få fel:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1$

Förlängning med koefficienter av lägre ordning

$u_{\epsilon }(x)$ lösning på problemet:

${\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx ^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)$

Där $\phi ^{\epsilon }(x)$ tar vi samma som i (3), och uttryck för $c^{\epsilon }(x)$

$c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\ {\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}$

Gränsvillkor för ekvation (4) samma som för (2).

Anslutningsvillkor i punkten $x=1$ :

$[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}} \right]=0$

Fel:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1$

Litteratur

• PN Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
• Bugrov AN, Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes ekvation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, sid. 79–90