Sommerfeld identitet

Sommerfeld -identiteten är en matematisk identitet, på grund av Arnold Sommerfeld , som används i teorin om utbredning av vågor ,

{\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}

var

\mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}

ska tas med positiv reell del, för att säkerställa konvergensen av integralen och dess försvinnande i gränsen $z\rightarrow \pm \infty$ och

R^{2}=r^{2}+z^{2}

.

Här är $R$ avståndet från origo medan $r$ är avståndet från en cylinders mittaxel som i $(r,\phi , z)$ cylindriskt koordinatsystem . Här följer notationen för Bessel-funktioner den tyska konventionen, för att överensstämma med den ursprungliga notationen som används av Sommerfeld. Funktionen $I_{0}(z)$ är nollte ordningens Bessel-funktion av det första slaget, bättre känd av notationen $I_{0 }(z)=J_{0}(iz)$ i engelsk litteratur. Denna identitet är känd som Sommerfeld-identiteten .

I alternativ notation kan Sommerfeld-identiteten lättare ses som en expansion av en sfärisk våg i termer av cylindriskt-symmetriska vågor:

{\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}

Var

k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}

Notationen som används här är en annan form än ovan: $(\rho ,\phi ,z)$ $\displaystyle r}$ är nu avståndet från origo och $\rho$ är det radiella avståndet i ett cylindriskt koordinatsystem definierat som . Den fysiska tolkningen är att en sfärisk våg kan expanderas till en summering av cylindriska vågor i $\rho$ -riktning, multiplicerad med en tvåsidig plan våg i $z$ -riktningen; se Jacobi-Anger-expansionen . Summeringen måste tas över alla vågnummer $k_{\rho }$ .

Sommerfeld-identiteten är nära besläktad med den tvådimensionella Fourier-transformen med cylindrisk symmetri, dvs Hankel-transformen . Den hittas genom att transformera den sfäriska vågen längs koordinaterna i planet ( $x$ , $y$ eller $\rho$ , $\phi$ ) men inte transformera längs höjdkoordinaten $z$ .

Anteckningar

Sommerfeld, Arnold (1964). Partiella differentialekvationer i fysik . New York: Academic Press . ISBN 9780126546583 .
Chew, Weng Cho (1990). Vågor och fält i inhomogena medier . New York: Van Nostrand Reinhold . ISBN 9780780347496 .