Generaliserad pencil-of-function-metod

Generaliserad pencil-of-function-metod ( GPOF ), även känd som matrispenna-metoden , är en signalbehandlingsteknik för att uppskatta en signal eller extrahera information med komplexa exponentialer . Eftersom de liknar Prony och original-pencil-of-function-metoder, är det i allmänhet att föredra framför de för dess robusthet och beräkningseffektivitet.

Metoden utvecklades ursprungligen av Yingbo Hua och Tapan Sarkar för att uppskatta beteendet hos elektromagnetiska system genom dess transienta respons, som bygger på Sarkars tidigare arbete med den ursprungliga penna-av-funktion-metoden. Metoden har en uppsjö av tillämpningar inom elektroteknik , särskilt relaterade till problem inom beräkningselektromagnetik , mikrovågsteknik och antennteori .

Metod

Matematisk grund

En transient elektromagnetisk signal kan representeras som:

y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+ n(t);0\leq t\leq T,

var

y(t)

är den observerade tidsdomänsignalen,

n(t)

är signalbruset ,

x(t)

är den faktiska signalen,

R_{i}

är resterna (

R_{i}

),

s_{i}

är systemets poler , definierade som

s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}

,

{ \displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}} av identiteterna för Z-transform , α i {

\ displaystyle \

{ i}}

är dämpningsfaktorerna och

\omega _{i}

är vinkelfrekvenserna .

Samma sekvens, samplade av en period av $T_{s}$ , kan skrivas som följande:

y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \summa _{i=1}^{M}R_{i}z_{i} ^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M

,

Generalized pencil-of-function uppskattar de optimala $M$ och $z_{i}$ s.

Brusfri analys

För det brusfria fallet produceras två $(NL)\x L$ matriser, $Y_{1}$ och ${\displaystyle Y_{2}} :$

[Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L) \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL-1)&x(NL)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(NL)\ gånger L};

[Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\ \x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL)&x(N-L+1)&\cdots &x( N-1)\end{bmatrix}}_{(NL)\ gånger L}

där $L$ definieras som pennparametern . $Y_{1}$ och $Y_{2}$ kan delas upp i följande matriser:

[Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]

[Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]

var

[Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(NL-1)}&z_{2}^{(NL-1)}&\cdots &z_{M}^{(NL-1)}\end{bmatrix}}_{( NL)\ gånger M};

[Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1 }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}

${\textstyle [Z_{0}]}$ och ${\textstyle [B]}$ är ${\textstyle M\times M}$ diagonala matriser med sekventiellt placerade ${\textstyle z_{i }}$ och ${\textstyle R_{i}}$ värden, respektive.

Om ${\textstil M\leq L\leq NM}$ , de generaliserade egenvärdena för matrispennan

[Y_{2}]-\lambda [Y_{1}] =[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]

ge systemets poler, som är $\lambda =z_{i}$ . Sedan kan de generaliserade egenvektorerna $p_{i}$ erhållas av följande identiteter:

[Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};

M

[Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};

i=1,...,M

där $^{+}$ betecknar Moore–Penrose-inversen , även känd som pseudo-inversen. Singular värdenedbrytning kan användas för att beräkna pseudo-inversen.

Brusfiltrering

Om brus förekommer i systemet, kombineras ${\textstyle [Y_{1}]}$ och ${\textstyle [Y_{2}]} i en allmän datamatris,$ ${\ textstil [Y]}$ :

[Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y (1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(NL-1)&y(NL)&\cdots &y(N-1) \end{bmatrix}}_{(NL)\times (L+1)}

där $y$ är störande data. För effektiv filtrering väljs L mellan ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ och ${\textstyle {\frac {N}{2}}}$ . En singulär värdenedbrytning på ${\textstyle [Y]}$ ger:

[Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}

I denna nedbrytning är ${\textstyle [U]}$ och ${\textstyle [V]}$ enhetsmatriser med respektive egenvektorer ${\textstyle [Y][Y]^{H }}$ och ${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$ och ${\textstyle [\Sigma ]}$ är en diagonal matris med singulära värden för ${\textstyle [Y]}$ . Upphöjd ${\textstyle H}$ betecknar den konjugata transponeringen .

väljs parametern ${\textstyle M} för filtrering.$ Singularvärden efter ${\textstyle M} ,$ som ligger under filtreringströskeln, sätts till noll; för ett godtyckligt singularvärde ${\textstyle \sigma _{c}} ,$ betecknas tröskeln med följande formel:

{\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}

,

${\textstyle \sigma _{max}}$ och $p$ är det maximala singularvärdet respektive signifikanta decimalsiffror . För data med signifikanta siffror som är exakta upp till $p ,$ anses singularvärden under ${\textstyle 10^{-p}} som brus.$

${\textstyle [V_{1}']}$ och ${\textstyle [V_{2}']}$ erhålls genom att ta bort den sista och första raden och kolumnen i den filtrerade matrisen ${\textstyle [V']}$ , respektive; ${\textstyle M}$ kolumner i ${\textstyle [\Sigma ]}$ representerar ${\textstyle [\Sigma ']}$ . Filtrerade ${\textstyle [Y_{1}]}$ och ${\textstyle [Y_{2}]}$ matriser erhålls som:

[Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}

[Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}

Förfiltrering kan användas för att bekämpa brus och förbättra signal-till-brus-förhållandet ( SNR). Metoden för bandpassmatrispenna (BPMP) är en modifiering av GPOF-metoden via FIR- eller IIR -bandpassfilter .

GPOF kan hantera upp till 25 dB SNR. För GPOF, såväl som för BPMP, når variationen i uppskattningarna ungefär Cramér–Rao bunden .

Beräkning av rester

Rester av de komplexa polerna erhålls genom minsta kvadratproblemet :

{\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_ {2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\ R_{M}\end{bmatrix}}

Ansökningar

Metoden används i allmänhet för utvärdering av Sommerfeld-integraler i diskreta komplexa bildmetoder för momentmetoder , där den spektrala Greens funktion approximeras som en summa av komplexa exponentialer. Dessutom används metoden i antennanalys , S-parameter -uppskattning i mikrovågsintegrerade kretsar , vågutbredningsanalys, indikering av rörliga mål och radarsignalbehandling .

Se även