Comodul över en Hopf algebroid

Inom matematiken , i skärningspunkten mellan algebraisk topologi och algebraisk geometri , finns det föreställningen om en Hopf-algebroid som kodar informationen om en presheaf av groupoids vars objekt- och pilkärve representeras av algebror. Eftersom varje sådan presheaf kommer att ha en associerad plats, kan vi överväga kvasi-koherenta skivor på platsen, vilket ger en toposteoretisk uppfattning om moduler . Dubbelt ^{pg 2} , komoduler över en Hopf-algebroid är den rent algebraiska analogen till denna konstruktion, vilket ger en rent algebraisk beskrivning av kvasikoherenta skivor på en stack: detta är en av de första motiven bakom teorin.

Definition

Givet en kommutativ Hopf-algebroid $(A,\Gamma )$ en vänster komodul $M$ ^{pg 302} är en vänster $A$ -modul $M$ tillsammans med en $A$ -linjär karta

$\psi :M\to \Gamma \otimes _{A}M$

som uppfyller följande två egenskaper

( counitary ) $(\varepsilon \otimes Id_{M})\circ \psi =Id_{M}$
( koassociativ ) $(\Delta \otimes Id_{M})\circ \psi =(Id_{\Gamma }\otimes \psi )\circ \psi$

En högerkomodul definieras på liknande sätt, men istället finns det en karta

$\phi :M\to M\otimes _{A}\Gamma$

uppfyller analoga axiom.

Struktursatser

Flathet av Γ ger en abelsk kategori

En av huvudstruktursatserna för comodules ^{sid 303} är om $\Gamma$ är en platt $A$ -modul, då kategorin av comoduler ${\text{Comod }}(A,\Gamma )$ av Hopf-algebroiden är en abeliaansk kategori.

Förhållande till stackar

Det finns en struktursats ^{sid 7} som relaterar komoduler av Hopf-algebroider och moduler av preheaves av groupoider. Om $(A,\Gamma )$ är en Hopf-algebroid, finns det en ekvivalens mellan kategorin av comoduler ${\text{Comod}}(A, \Gamma )$ och kategorin av kvasikoherenta skivor ${\text{QCoh}}({\text{Spec}}(A),{\text{ Spec}}(\Gamma ))$ för den associerade preheaf av groupoids

${\text{Spec}}(\Gamma )\rightrightarrows {\text{Spec}}(A)$

till denna Hopf-algebroid.

Exempel

Från BP-homologi

Associerad till Brown-Peterson- spektrumet är Hopf-algebroid $(BP_{*},BP_{*}(BP))$ som klassificerar p-typiska formella grupplagar . Notera

${\begin{aligned}BP_{*} &=\mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ]\\BP_{*}(BP)&=BP_{*}[t_{1},t_{ 2},\ldots ]\end{aligned}}$

där $\mathbb {Z} _{(p)}$ är lokaliseringen av $\mathbb {Z}$ av primidealet ( $\displaystyle (p)}$ . Om vi låter $I_{n}$ beteckna idealet

$I_{n}=(p,v_{1},\ldots ,v_{n-1})$

Eftersom $v_{n}$ är en primitiv i $BP_{*}/I_{n}$ finns det en associerad Hopf-algebroid $(A,\Gamma )$

$(v_{n}^{-1}BP_{*}/I_{n}, v_{n}^{-1}BP_{*}(BP)/I_{n})$

Det finns en struktursats om Adams-Novikovs spektralsekvens som relaterar Ext-grupperna av komoduler på $(BP_{*},BP_{*}(BP))$ till Johnson-Wilson-homologi, vilket ger en mer lättläst spektralsekvens. Detta sker genom en ekvivalens av kategorier av komoduler av $(A,\Gamma )$ till kategorin av komoduler av

$(v_{n}^{-1}E(m)_ {*}/I_{n},v_{n}^{-1}E(m)_{*}(E(m)/I_{n})$

ger isomorfismen

${\text{Ext}}_{BP_{*}BP}^{*,*}(M,N)\cong {\text{Ext}}_{E(m)_{*}E (m)}^{*,*}(E(m)_{*}\otimes _{BP_{*}}M,E(m)_{*}\otimes _{BP_{*}}N)$

antar att $M$ och $N$ uppfyller vissa tekniska hypoteser ^{pg 24} .

Se även