Extern stråle

En yttre stråle är en kurva som går från oändligheten mot en Julia- eller Mandelbrot-uppsättning . Även om denna kurva endast sällan är en halvlinje (stråle) kallas den en stråle eftersom det är en bild av en stråle.

Externa strålar används i komplex analys , särskilt i komplex dynamik och geometrisk funktionsteori .

Historia

Externa strålar introducerades i Douady och Hubbards studie av Mandelbrot-uppsättningen

Typer

Kriterier för klassificering:

• plan : parameter eller dynamisk
• Karta
• förgrening av dynamiska strålar
• Stretching
• landning

plan

Externa strålar av (anslutna) Julia uppsättningar på dynamiskt plan kallas ofta dynamiska strålar .

Externa strålar från Mandelbrot-uppsättningen (och liknande endimensionella kopplingsplatser ) på parameterplan kallas parameterstrålar .

bifurkation

Dynamisk stråle kan vara:

• grenad = grenad = bruten
• slät = ogrenad = obruten

När den fyllda Julia-uppsättningen är ansluten, finns det inga förgrenande yttre strålar. När Julia-setet inte är anslutet förgrenar sig några externa strålar.

stretching

Stretching strålar introducerades av Branner och Hubbard:

"Föreställningen att sträcka strålar är en generalisering av den för yttre strålar för Mandelbrot-uppsättningen till högre grad av polynom."

landning

Varje rationell parameterstråle i Mandelbrot-uppsättningen landar på en enda parameter.

Kartor

Polynom

Dynamiskt plan = z-plan

Externa strålar är associerade med en kompakt , full , ansluten delmängd $K\,$ av det komplexa planet som:

• bilderna av radiella strålar under Riemann-kartan av komplementet till $K\,$
• gradientlinjerna för grönans funktion av ${\displaystyle K\,$ }
• fältlinjer med Douady-Hubbard potential
• en integralkurva för gradientvektorfältet för Greenens funktion på oändlighetens grannskap

Externa strålar tillsammans med ekvipotentiallinjer av Douady-Hubbard potential (nivåuppsättningar) bildar ett nytt polärt koordinatsystem för yttre ( komplement ) av $K\,$ .

Med andra ord definierar de yttre strålarna vertikal foliation som är ortogonal mot horisontell foliation definierad av nivåuppsättningarna av potential.

Uniformisering

Låt $\Psi _{c}\,$ vara den konforma isomorfismen från komplementet (exteriören) av den slutna enhetsskivan ${\overline {\mathbb {D} }}$ till komplementet av den fyllda Julia-mängden $\ K_{c}$ .

$\Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$

där ${\hat {\mathbb {C} }}$ anger det utökade komplexa planet . Låt $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ beteckna Boettcher-kartan . $\Phi _{c}\,$ är en enhetlig karta över oändlighetens attraktionsbassäng, eftersom den konjugerar $f_{c}$ på komplementet till den fyllda Julia-mängden ${ \displaystyle K_{c}}$ till $f_{0}(z)=z^{2}$ på komplementet till enhetsskivan:

${\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{ n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}$

och

$\Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}$

Ett värde $w=\Phi _{c}(z)$ kallas Boettcher-koordinaten för en punkt $z\in {\hat {\ mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ .

Formell definition av dynamisk stråle

Polärt koordinatsystem och $\psi _{c}$ för $c=-2$

Den yttre vinkelstrålen θ $\displaystyle \theta \,}$ noterad som ${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ är:

• bilden under $\Psi _{c}\,$ av räta linjer ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{ \theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta}\right):\ r>1\}} R θ K = Ψ c$

${ R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })} uppsättning exteriörpunkter för ifylld Julia-uppsättning med samma yttre$

• vinkel $\theta$

${\mathcal {R}}_{\theta }^{K }=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}$

Egenskaper

Den yttre strålen för en periodisk vinkel $\theta \,$ uppfyller:

$f({\mathcal {R}}_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}_{2\theta }^{K }$

och dess landningspunkt $\gamma _{f}(\theta )$ uppfyller:

$f(\gamma _{f}(\theta ))=\gamma _{f}(2\theta )$

Parameterplan = c-plan

"Parameterstrålar är helt enkelt kurvorna som löper vinkelrätt mot ekvipotentialkurvorna för M-setet."

Uniformisering

gräns satt som en bild av enhetscirkeln under $\Psi _{M}\,$

Uniformisering av komplement (exteriör) av Mandelbrot-set

Låt $\Psi _{M}\,$ vara avbildningen från komplementet (exteriör) av den slutna enhetsskivan ${\overline {\mathbb {D} }}$ till komplementet av Mandelbrot -uppsättningen $\ M$ .

$\Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb { \hat {C}} \setminus M$

och Boettcher-karta (funktion) ${\displaystyle \Phi _{M}\,} ,$ som är en enhetlig karta över komplement till Mandelbrot-mängden, eftersom den konjugerar komplement till Mandelbrot-mängden $\ M$ och komplementet ( yttre) på den slutna enhetsskivan

$\Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\ överlinje {\mathbb {D} }}$

det kan normaliseras så att:

${\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,$

var :

$\mathbb {\hat {C}}$ betecknar det utökade komplexa planet

Jungreis-funktionen $\Psi _{M}\,$ är inversen av enhetlig karta:

$\Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,$

I fallet med komplexa kvadratiska polynom kan man beräkna denna karta med hjälp av Laurent-serien om oändlighet

$c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,$

var

$c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M$

$w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus { \overline {\mathbb {D} }}$

Formell definition av parameterstråle

Den yttre vinkelstrålen θ $\displaystyle \theta \,}$ är:

• bilden under $\Psi _{c}\,$ av räta linjer ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{ \theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta}\right):\ r>1\}} R θ M = Ψ M ($

$R }}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })} uppsättning exteriörpunkter för Mandelbrot-uppsättningen med samma yttre vinkel θ$

• { $displaystyle \theta }$

${\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c \in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}$

Definition av $\Phi _{M}\,$

Douady och Hubbard definierar:

$\Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,$

så extern vinkel för punkt $c\,$ för parameterplan är lika med extern vinkel för punkt $z=c\,$ för dynamiskt plan

Yttre vinkel

Vinkel θ kallas extern vinkel ( argument ).

Huvudvärdet för externa vinklar mäts i varv modulo 1

1 varv = 360 grader = 2 × π radianer

Jämför olika typer av vinklar:

• extern (punkten på setets exteriör)
• internt (punkten på komponentens insida)
• vanlig ( argument för komplext tal )

	yttre vinkel	inre vinkel	slät vinkel
parameterplan	$\arg(\Phi _{M}(c))\,$	$\arg(\rho _{n}(c))\,$	$\arg(c)\,$
dynamiskt plan	$\arg(\Phi _{c}(z))\,$		$\arg(z)\,$

Beräkning av yttre argument

• Böttcher-koordinatens argument som ett externt argument
  • $\arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))$
  • $\arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))$
• knådningssekvens som en binär expansion av externt argument

Transcendentala kartor

För transcendentala kartor (till exempel exponentiella ) är oändligheten inte en fast punkt utan en väsentlig singularitet och det finns ingen Boettcher-isomorfism .

Här definieras dynamisk stråle som en kurva:

• koppla ihop en punkt i en flyktuppsättning och oändlighet
• liggande i ett rymningsset

Bilder

Dynamiska strålar

• ogrenad
• 

  Julia satt för $f_{c}(z)=z^{2}-1$ med 2 externa strålar som landar på avstötande fastpunkts alfa

• 

  Julia set och 3 externa strålar som landar på den fasta punkten $\alpha _{c}\,$

• 

  Dynamiska externa strålar landar på avstötningsperiod 3 cykel och 3 interna strålar landar på fast punkt $\alpha _{c}\,$

• 

  Julia set med yttre strålar som landar på period 3 omloppsbana

• Strålar som landar på parabolisk fixpunkt under perioderna 2-40

• grenad
• 

  Förgrenad dynamisk stråle

Parameterstrålar

Mandelbrot set för komplext kvadratiskt polynom med parameterstrålar av rotpunkter

• 

  Externa strålar för vinklar av formen: n / ( 2 ¹ - 1) (0/1; 1/1) som landar på punkten c= 1/4, som är spetsen av huvudkardioiden (period 1 komponent)

• 

  Externa strålar för vinklar av formen: n / ( 2 ² - 1) (1/3, 2/3) som landar på punkten c= - 3/4, vilket är rotpunkten för period 2-komponenten

• 

  Externa strålar för vinklar av formen: n / ( 2 ³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) landar på punkten c= -1,75 = -7/4 (5/ 7,6/7) landar på rotpunkterna i period 3-komponenter.

• 

  Externa strålar för formvinklar: n / ( 2 ⁴ - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) landar på rotpunkten c= - 5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) landar på rotpunkterna i period 4 komponenter.

• 

  Externa strålar för formvinklar: n / ( 2 ⁵ - 1) landar på rotpunkterna i period 5 komponenter

• 

  intern stråle av huvudkardioiden med vinkel 1/3: börjar från centrum av huvudkardioiden c=0, slutar i rotpunkten för period 3-komponenten, som är landningspunkten för parameter (externa) strålar av vinkel 1/7 och 2/ 7

• 

  Intern stråle för vinkel 1/3 av huvudkardioiden gjord av konform karta från enhetscirkel

• 

  Mini Mandelbrot set med period 134 och 2 yttre strålar

• 
• 
• 
• 

  Vaknar nära perioden 3 ön

• 

  Vaknar längs huvudantennen

Parameterutrymme för den komplexa exponentialfamiljen f(z)=exp(z)+c . Åtta parameterstrålar som landar vid denna parameter är ritade i svart.

Program som kan dra externa strålar

• Mandel - program av Wolf Jung skrivet i C++ med Qt med källkod tillgänglig under GNU General Public License
  • Java-applets av Evgeny Demidov (koden för mndlbrot::turn-funktionen av Wolf Jung har porterats till Java) med gratis källkod
  • ezfract av Michael Sargent , använder koden av Wolf Jung
• OTIS av Tomoki KAWAHIRA - Java-applet utan källkod
• Spider XView-program av Yuval Fisher
• YABMP av prof. Eugene Zaustinsky för DOS utan källkod
• DH_Drawer av Arnaud Chéritat skriven för Windows 95 utan källkod
• Linas Vepstas C-program för Linux -konsol med källkod
• Program Julia av Curtis T. McMullen skrivet i C- och Linux-kommandon för C- skalkonsol med källkod
• mjwinq-program av Matjaz Erat skrivet i delphi/windows utan källkod (För de externa strålarna använder det metoderna från quad.c i julia.tar av Curtis T McMullen)
• RatioField av Gert Buschmann , för fönster med Pascal- källkod för Dev-Pascal 1.9.2 (med gratis Pascal- kompilator)
• Mandelbrot-program av Milan Va, skrivet i Delphi med källkod
• Power MANDELZOOM av Robert Munafo
• ruff av Claude Heiland-Allen

Se även

• yttre strålar av Misiurewicz punkt
• Orbit porträtt
• Periodiska punkter för komplexa kvadratiska avbildningar
• Prouhet-Thue-Morse konstant
• Carathéodorys sats
• Fältlinjer av Julia uppsättningar

• Lennart Carleson och Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics , Springer 1993
• Adrien Douady och John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• John W. Milnor, Periodiska omlopp, yttre strålar och Mandelbrot-uppsättningen: En utläggningsredovisning ; Géométrie complexe et systèmes dynamiques (Orsay, 1995), Astérisque nr 261 (2000), 277–333. (Dök upp först som en Stony Brook IMS Preprint 1999, tillgänglig som arXiV:math.DS/9905169 .)
•   John Milnor , Dynamics in One Complex Variable , tredje upplagan, Princeton University Press, 2006, ISBN 0-691-12488-4
• Wolf Jung: Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. avhandling från 2002

externa länkar

• Hubbard Douady Potential, Field Lines av Inigo Quilez
• Sammanflätade inre strålar i Julia uppsättningar av rationella kartor av Robert L. Devaney
• Extending External Rays Through the Julia Sets of Rational Maps av Robert L. Devaney med Figen Cilingir och Elizabeth D. Russell
• John Hubbards presentation, The Beauty and Complexity of the Mandelbrot Set, del 3.1 Arkiverad 2008-02-26 på Wayback Machine
• videor av ImpoliteFruit
• Milan Va. "Mandelbrot set ritning" . Hämtad 2009-06-15 .