Böttchers ekvation

Böttchers ekvation , uppkallad efter Lucjan Böttcher , är den funktionella ekvationen

$F(h(z))=(F(z))^{n}$

var

• h är en given analytisk funktion med en superattraherande fixpunkt av ordningen n vid a , (det vill säga ${\ displaystil h(z)=a+c(za)^{n}+O((za)^{n+1})~,}$ i närheten av a ), med n ≥ 2
• F är en eftersökt funktion.

Logaritmen för denna funktionella ekvation motsvarar Schröders ekvation .

Lösning

Lösning av funktionella ekvationer är en funktion i implicit form .

Lucian Emil Böttcher skissade 1904 ett bevis på existensen av lösning: en analytisk funktion F i närheten av den fasta punkten a , så att:

$F(a)=0$

Denna lösning kallas ibland:

• Böttcher-koordinaten
• Böttcher-funktionen
• Boettcher-kartan .

Det fullständiga beviset publicerades av Joseph Ritt 1920, som inte var medveten om den ursprungliga formuleringen.

Böttchers koordinat (logaritmen för Schröder-funktionen ) konjugerar h(z) i närheten av den fixerade punkten till funktionen z ⁿ . Ett särskilt viktigt fall är när h(z) är ett polynom av grad n , och a = ∞ .

Explicit

Man kan uttryckligen beräkna Böttcher-koordinater för:

• kraftkartor $z\to z^{d}$
• Chebyshev polynom

Exempel

För funktionen h och n=2

$h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}$

Böttcher-funktionen F är:

$F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$

Ansökningar

Böttchers ekvation spelar en grundläggande roll i den del av holomorf dynamik som studerar iteration av polynom av en komplex variabel .

Globala egenskaper hos Böttcher-koordinaten studerades av Fatou och Douady och Hubbard .

Se även

• Schröders ekvation
• Extern stråle