Periodiska punkter för komplexa kvadratiska avbildningar

Den här artikeln beskriver periodiska punkter för vissa komplexa kvadratiska kartor . En karta är en formel för att beräkna ett värde för en variabel baserat på dess egna tidigare värden; en kvadratisk karta är en som involverar det tidigare värdet upphöjt till potenserna ett och två; och en komplex karta är en där variabeln och parametrarna är komplexa tal . En periodisk punkt på en karta är ett värde på variabeln som inträffar upprepade gånger efter intervaller av en fast längd.

Dessa periodiska punkter spelar en roll i teorierna om Fatou och Julia set .

Definitioner

Låta

f_{c}(z)=z^{2}+c\,

vara den komplexa kvadriska mappningen , där $z$ och $c$ är komplexa tal .

Beteckningsmässigt är $f_{c}^{(k)}(z)$ $k$ -faldig sammansättning av $f_{c}$ med sig själv (inte att förväxla med ${\displaystyle k}:$ e derivatan av $f_{c}$ ) – det vill säga värdet efter den k -:te iterationen av funktionen $f_{c}.$ Alltså

f_{c}^{(k)}(z)=f_{c}(f_{c}^{(k-1)}(z)).

Periodiska punkter i en komplex kvadratisk mappning av period $p$ är punkter $z$ i det dynamiska planet så att

f_{c}^{(p)}(z)=z,

där $p$ är det minsta positiva heltal för vilket ekvationen gäller vid det z .

Vi kan introducera en ny funktion:

F_{p}(z,f)=f_{c}^{(p)}(z)-z,

så periodiska punkter är nollor för funktionen $F_{p}(z,f)$ : punkter z uppfyller

F_{p}(z,f)=0,

vilket är ett polynom med grad $2^{p}.$

Antal periodiska poäng

Graden av polynomet $F_{p}(z,f)$ som beskriver periodiska punkter är $d=2^{p}$ p det har exakt $d=2^{p}$ komplexa rötter (= periodiska punkter), räknat med multiplicitet .

Stabilitet av periodiska punkter (omloppsbana) - multiplikator

Stabilitetsindex för periodiska punkter längs horisontell axel

gränser för regioner av parameterplan med attraherande omloppsbana av perioderna 1-6

Kritisk omloppsbana för diskret dynamiskt system baserat på komplext kvadratiskt polynom . Det tenderar att svagt attrahera fixpunkt med abs(multiplikator) = 0,99993612384259

Multiplikatorn (eller egenvärde, derivata) $m(f^{p},z_{0})=\lambda$ för en rationell karta $f$ itererad $p$ gånger vid cyklisk punkt $z_{0}$ definieras som:

m(f^{p},z_{0}) =\lambda ={\begin{cases}f^{p\prime }(z_{0}),&{\mbox{if }}z_{0}\neq \infty \\{\frac {1}{f ^{p\prime }(z_{0})}},&{\mbox{if }}z_{0}=\infty \end{cases}}

där $f^{p\prime }(z_{0})$ är förstaderivatan av f $\displaystyle f^{p}}$ med avseende på $z$ vid $z_{0}$ .

Eftersom multiplikatorn är densamma vid alla periodiska punkter på en given omloppsbana, kallas den en multiplikator av den periodiska omloppsbanan .

Multiplikatorn är:

ett komplext tal;
invariant under konjugering av vilken rationell karta som helst vid dess fasta punkt;
används för att kontrollera stabiliteten hos periodiska (även fasta) punkter med stabilitetsindex $abs(\lambda ).\,$

En periodisk punkt är

attraherar när $abs(\lambda )<1;$ $abs(\lambda )<1;$
- superattraherande när $abs(\lambda )=0;$
- attraherande men inte superattraherande när $0<abs(\lambda )<1;$
indifferent när $abs(\lambda )=1;$ $abs(\lambda )=1;$
- rationellt likgiltig eller parabolisk om $\lambda$ är en rot till enhet ;
- irrationellt indifferent om $abs(\lambda )=1$ men multiplikatorn är inte en rot till enhet;
avstötande när $abs(\lambda )>1.$

Periodiska poäng

som lockar finns alltid i Fatou-uppsättningen ;
som är avvisande finns i Julia-uppsättningen;
som är likgiltiga fixpunkter kan vara i den ena eller den andra. En parabolisk periodisk punkt finns i Julia-uppsättningen.

Period-1 poäng (fasta poäng)

Finita fixpunkter

Låt oss börja med att hitta alla ändliga punkter som lämnas oförändrade genom en tillämpning av $f$ . Dessa är de punkter som uppfyller $f_{c}(z)=z$ . Det vill säga vi vill lösa

z^{2}+c=z,\,

som kan skrivas om som

\ z^{2}-z+c=0.

Eftersom detta är en vanlig andragradsekvation i en okänd, kan vi tillämpa standardkvadratisk lösningsformel :

\alpha _{1}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}

och

\alpha _{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}.

Så för $c\in \mathbb {C} \setminus \{1/4\}$ har vi två ändliga fixpunkter $\alpha _{1}$ och $\alpha _{2}$ .

Eftersom

\alpha _{1}={\frac {1}{2}}-m

och

\alpha _{2}={\ frac {1}{2}}+m

där

m={\frac {\sqrt {1-4c}}{2}},

vi har $\alpha _{1}+\alpha _{2}=1$ .

Således är fasta punkter symmetriska om ${\displaystyle z=1/$ 2

Den här bilden visar fasta punkter (båda avvisande)

Komplex dynamik

Fasta punkter för c längs horisontell axel

Fatou satt för F( z ) = z * z med markerad fixpunkt

Här används vanligtvis olika notationer:

\alpha _{c}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}

med multiplikator

\lambda _{\alpha _{c}}=1-{\sqrt {1-4c}}

och

\beta _{c}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}

med multiplikator

\lambda _{\beta _{c}}=1+{\sqrt {1-4c}}.

Det har vi igen

\alpha _{c}+\beta _{c}=1.

Eftersom derivatan med avseende på z är

P_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}P_{c}(z)=2z ,

vi har

P_{c}'(\alpha _{c} )+P_{c}'(\beta _{c})=2\alpha _{c}+2\beta _{c}=2(\alpha _{c}+\beta _{c})=2 .

Detta innebär att $P_{c}$ kan ha högst en attraktiv fixpunkt.

Dessa punkter kännetecknas av de fakta som:

$\beta _{c}$ $\beta _{c}$ är:
- landningspunkten för den yttre strålen för vinkel=0 för $c\in M\setminus \left\{1/4\right\}$
- den mest avvisande fixpunkten i Julia-uppsättningen
- den till höger (när den fasta punkten inte är symmetrisk runt den verkliga axeln ) är det den extrema högra punkten för anslutna Julia-uppsättningar (förutom blomkål).
$\alpha _{c}$ $\alpha _{c}$ är:
- landningspunkten för flera strålar
- attraherar när $c$ är i huvudkardioiden i Mandelbrot-mängden, i vilket fall den är i det inre av en ifylld Julia-mängd, och tillhör därför Fatou-mängden (enbart till bassängen för attraktion av finita fixpunkt)
- parabolisk vid rotpunkten av mandelbrotsetets lem
- avvisande för andra värden på $c$

Speciella fall

Ett viktigt fall av kvadratisk mappning är $c=0$ . I det här fallet får vi $\alpha _{1}=0$ och $\alpha _{2}=1$ . I det här fallet är 0 en superattraktiv fixpunkt och 1 tillhör Julia-mängden .

Endast en fast punkt

Vi har $\alpha _{1}=\alpha _{2}$ exakt när $1-4c=0.$ Denna ekvation har en lösning, $c=1/4,$ $alpha _{2}=1/2$ \ . Faktum är att $c=1/4$ är det största positiva, rent reella värdet för vilket det finns en finit attraktionsfaktor.

Oändlig fast punkt

Vi kan utöka det komplexa planet $\mathbb {C}$ till Riemann-sfären (utvidgat komplext plan) $\mathbb {\hat {C}}$ genom att lägga till oändlighet :

\mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}

och utöka $f_{c}$ så att $f_{c}(\infty )=\infty .$

Då är oändligheten :

superattraherande
en fast punkt av $f_{c}$ : $f_{c}(\infty )=\infty =f_{c}^{-1}(\infty ).$

Period-2 cykler

Bifurkation från period 1 till 2 för komplex kvadratisk karta

Bifurkation av periodiska punkter från period 1 till 2 för fc(z)=z*z +c

Period-2 cykler är två distinkta punkter $\beta _{1}$ och $\beta _{2}$ så att $f_{c }(\beta _{1})=\beta _{2}$ och $f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1}$ , och följaktligen

f_{c}(f_{c}(\beta _{n}))=\beta _{n}

för $n\in \{1,2\}$ :

f_{c}(f_{c}(z))=(z^{2}+c)^{2}+c=z^{4}+2cz^{2}+c^{2} +c.

Genom att likställa detta med z får vi

z^{4}+2cz^{2}-z+c^{2}+c=0.

Denna ekvation är ett polynom av grad 4, och har därför fyra (möjligen icke-särskiljande) lösningar. Vi känner dock redan till två av lösningarna. De är $\alpha _{1}$ och ${\displaystyle \alpha _{2}} ,$ beräknade ovan, eftersom om dessa punkter lämnas oförändrade genom en tillämpning av $f$ , då uppenbarligen kommer de att vara oförändrade av mer än en tillämpning av $f$ .

Vårt 4:e ordningens polynom kan därför faktoriseras på två sätt:

Första metoden för faktorisering

(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2}) (z-\beta _{1})(z-\beta _{2})=0.\,

Detta expanderar direkt som $x^{4}-Ax^{3}+Bx^{2}-Cx+D=0$ (observera att alternerande tecken), var

D=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,

C=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,

B=\alpha _{1 }\alpha _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _ {2}\beta _{2}+\beta _{1}\beta _{2},\,

A=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2}.\,

Vi har redan två lösningar och behöver bara de andra två. Därför är problemet likvärdigt med att lösa ett kvadratiskt polynom. Observera särskilt det

\alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {1 -{\sqrt {1-4c}}}{2}}+{\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}={\frac {1+1}{2}}= 1

och

\alpha _{1}\alpha _{2}={\frac {(1-{\sqrt {1-4c}})(1+{\sqrt {1-4c}})}{4} }={\frac {1^{2}-({\sqrt {1-4c}})^{2}}{4}}={\frac {1-1+4c}{4}}={\ frac {4c}{4}}=c.

Lägger vi dessa till ovanstående får vi $D=c\beta _{1}\beta _{2}$ och $A=1 +\beta _{1}+\beta _{2}$ . Matchar dessa mot koefficienterna från att expandera $f$ , får vi

D=c\beta _{1}\beta _{2}=c^{2}+c

och

A=1+\beta _{1}+\beta _{2}=0.

Från detta får vi lätt

\beta _{1}\beta _{2}=c+1

och

\beta _{1}+\beta _ {2}=-1

.

Härifrån konstruerar vi en andragradsekvation med $A'=1,B=1,C=c+1$ och tillämpar standardlösningsformeln för att få

\beta _{1}={\frac {-1-{\sqrt {-3-4c}}}{2}}

och

\beta _{2}={\frac {-1+{\sqrt {-3-4c}}}{2}}.

En närmare granskning visar att:

f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}

och

f_{c} (\beta _{2})=\beta _{1},

vilket betyder att dessa två punkter är de två punkterna på en enda period-2-cykel.

Andra metoden för faktorisering

Vi kan faktorisera kvarten genom att använda långdivision av polynom för att dela ut faktorerna $(z-\alpha _{1})$ och $(z-\ alpha _{2}),$ som står för de två fixpunkterna $\alpha _{1}$ och $\alpha _{2}$ (vars värden angavs tidigare och som fortfarande finns kvar vid den fasta punkten efter två iterationer):

(z^{2}+c)^{2}+cz=(z^{2}+cz)(z^{2}+z+c+1).\,

Rötterna till den första faktorn är de två fixpunkterna. De avvisar utanför huvudkardioiden.

Den andra faktorn har de två rötterna

{\frac {-1\pm {\sqrt {-3-4c}}}{2}}.\,

Dessa två rötter, som är desamma som de som hittades med den första metoden, bildar period-2-banan.

Speciella fall

Återigen, låt oss titta på $c=0$ . Sedan

\beta _{1}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}

och

\beta _{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},

båda är komplexa tal. Vi har $|\beta _{1}|=|\beta _{2}|=1$ . Således "gömmer sig" båda dessa punkter i Julia-uppsättningen. Ett annat specialfall är $c=-1$ , vilket ger $\beta _{1}=0$ och $\beta _{2}= -1$ . Detta ger den välkända superattraktiva cykeln som finns i den största period-2-loben av den kvadratiska Mandelbrot-uppsättningen.

Cykler för perioder längre än 2

Periodiska punkter för f ( z ) = z * z −0,75 för period =6 som skärningspunkter mellan 2 implicita kurvor

Graden av ekvationen $f^{(n)}(z)=z$ är 2 ⁿ ; För att till exempel hitta punkterna på en 3-cykel skulle vi alltså behöva lösa en ekvation med grad 8. Efter att ha faktoriserat faktorerna som ger de två fixpunkterna, skulle vi ha en sjättegradsekvation.

Det finns ingen generell lösning i radikaler på polynomekvationer av grad fem eller högre, så punkterna på en period med period större än 2 måste i allmänhet beräknas med numeriska metoder . Men i det specifika fallet för period 4 har de cykliska punkterna långa uttryck i radikaler.

I fallet c = –2 finns trigonometriska lösningar för de periodiska punkterna för alla perioder. Fallet $z_{n+1}=z_{n}^{2}-2$ motsvarar det logistiska kartfallet r = 4: $x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}).$ Här ges ekvivalensen av $z=2-4x.$ En av k -cyklerna för den logistiska variabeln x (som alla cykler avvisar) är