Leopoldts gissning

I algebraisk talteori , Leopoldts gissning , introducerad av H.-W. Leopoldt ( 1962 , 1975 ) säger att den p-adiska regulatorn för ett talfält inte försvinner. Den p-adiska regulatorn är en analog till den vanliga regulatorn definierad med p-adiska logaritmer istället för de vanliga logaritmerna, introducerad av H.-W. Leopoldt ( 1962 ).

Leopoldt föreslog en definition av en p - adisk regulator Rp kopplad till K och ett primtal p . Definitionen av Rp använder en lämplig determinant med ingångar den p-adiska logaritmen för en genererande uppsättning enheter av K (upp till torsion), på samma sätt som den vanliga regulatorn . Gissningen, som för allmänt K fortfarande är öppen från och med 2009, kommer då ut som påståendet att R p inte är noll.

Formulering

Låt K vara ett talfält och för varje primtal P av K ovanför något fast rationellt primtal p , låt UP beteckna de lokala enheterna vid P och låt U 1 , P beteckna undergruppen av huvudenheter i UP . Uppsättning

Låt sedan E 1 beteckna uppsättningen globala enheter ε som mappar till U 1 via den diagonala inbäddningen av de globala enheterna i E .

Eftersom är en finit -index undergrupp av de globala enheterna, är det en abelsk grupp med rang , där är antalet verkliga inbäddningar av och antalet par av komplexa inbäddningar. Leopoldts gissning säger att -modulrangen för stängningen av inbäddad diagonalt i är också

Leopoldts gissning är känd i specialfallet där är en abelsk förlängning av eller en abelsk förlängning av ett tänkt kvadratiskt talfält : Ax (1965) reducerade det abelska fallet till en p-adisk version av Bakers teorem , som bevisades kort därefter av Brumer (1967) . Mihăilescu ( 2009 , 2011 ) har tillkännagett ett bevis på Leopoldts gissning för alla CM-förlängningar av .

Colmez ( 1988 ) uttryckte resten av den p -adic Dedekind zeta-funktionen av ett totalt reellt fält vid s = 1 i termer av den p -adic regulatorn. Som en konsekvens är Leopoldts gissning för dessa fält ekvivalent med att deras pa -adiska Dedekind zeta-funktioner har en enkel pol vid s = 1.