Leopoldts gissning
I algebraisk talteori , Leopoldts gissning , introducerad av H.-W. Leopoldt ( 1962 , 1975 ) säger att den p-adiska regulatorn för ett talfält inte försvinner. Den p-adiska regulatorn är en analog till den vanliga regulatorn definierad med p-adiska logaritmer istället för de vanliga logaritmerna, introducerad av H.-W. Leopoldt ( 1962 ).
Leopoldt föreslog en definition av en p - adisk regulator Rp kopplad till K och ett primtal p . Definitionen av Rp använder en lämplig determinant med ingångar den p-adiska logaritmen för en genererande uppsättning enheter av K (upp till torsion), på samma sätt som den vanliga regulatorn . Gissningen, som för allmänt K fortfarande är öppen från och med 2009, kommer då ut som påståendet att R p inte är noll.
Formulering
Låt K vara ett talfält och för varje primtal P av K ovanför något fast rationellt primtal p , låt UP beteckna de lokala enheterna vid P och låt U 1 , P beteckna undergruppen av huvudenheter i UP . Uppsättning
Låt sedan E 1 beteckna uppsättningen globala enheter ε som mappar till U 1 via den diagonala inbäddningen av de globala enheterna i E .
Eftersom är en finit -index undergrupp av de globala enheterna, är det en abelsk grupp med rang , där är antalet verkliga inbäddningar av och antalet par av komplexa inbäddningar. Leopoldts gissning säger att -modulrangen för stängningen av inbäddad diagonalt i är också
Leopoldts gissning är känd i specialfallet där är en abelsk förlängning av eller en abelsk förlängning av ett tänkt kvadratiskt talfält : Ax (1965) reducerade det abelska fallet till en p-adisk version av Bakers teorem , som bevisades kort därefter av Brumer (1967) . Mihăilescu ( 2009 , 2011 ) har tillkännagett ett bevis på Leopoldts gissning för alla CM-förlängningar av .
Colmez ( 1988 ) uttryckte resten av den p -adic Dedekind zeta-funktionen av ett totalt reellt fält vid s = 1 i termer av den p -adic regulatorn. Som en konsekvens är Leopoldts gissning för dessa fält ekvivalent med att deras pa -adiska Dedekind zeta-funktioner har en enkel pol vid s = 1.
- Axe, James (1965), "On the units of an algebraic number field" , Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN 0019-2082 , MR 3 0321 , Zbl 8 0328
- Brumer, Armand (1967), "On the units of algebraic number fields", Mathematika , 14 (2): 121–124, doi : 10.1112/S0025579300003703 , ISSN 0025-5793 , MR 4101 , Z0bl .
- Colmez, Pierre (1988), "Résidu en s=1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode : 1988InMat..91..371C , doi : 10.7337, ISSN 10.1037 , ISSN 0020-9910 , MR 0922806 , S2CID 118434651 , Zbl 0651.12010
- Kolster, M. (2001) [1994], "Leopoldts gissning" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1962), " Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1962 ( 209): 54–71, doi : 10.1515 / crll.1962.209.209.509.509.5 0139602 , S2CID 117123955 , Zbl 0204.07101
- Leopoldt, HW (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224–239, doi : 10.1515/crll.1975.274-271 , S022471 , S022471 , S022471 , S022471 , S022471 , S022471, S022471 , S014-275 Zbl 0309.12009 .
- Mihăilescu, Preda (2009), T- och T* -komponenterna i Λ-moduler och Leopoldts gissningar , arXiv : 0905.1274 , Bibcode : 2009arXiv0905.1274M
- Mihăilescu, Preda (2011), Leopoldt's Conjecture for CM fields , arXiv : 1105.4544 , Bibcode : 2011arXiv1105.4544M
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323 (andra upplagan), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4 , MR 2392026 , Zbl 1136.11001
- Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields (andra upplagan), New York: Springer, ISBN 0-387-94762-0 , Zbl 0966.11047 .