Delvis beställd ring

I abstrakt algebra är en partiellt ordnad ring en ring ( A , +, · ), tillsammans med en kompatibel partiell ordning , det vill säga en partiell ordning $\,\leq \,$ på den underliggande mängden A som är kompatibel med ringoperationerna i den meningen att den uppfyller:

$$x\leq y{\text{ antyder }}x+z\leq y+z$$

och

$$0\leq x{\text{ och }}0\leq y{\text{ antyder att }}0\leq x\cdot y$$

för alla $x,y,z\in A$ . Olika förlängningar av denna definition finns som begränsar ringen, den partiella ordningen eller båda. Till exempel är en arkimedisk partiellt ordnad ring en partiellt ordnad ring $(A,\leq )$ där $A$ s partiellt ordnade additivgrupp är Archimedean .

En beställd ring , även kallad en helt beställd ring , är en delvis beställd ring $(A,\leq )$ där $\,\leq \,$ dessutom är en total beställning .

En l-ring , eller gitterordnad ring , är en delvis ordnad ring $(A,\leq )$ där $\,\leq \,$ dessutom är en gitterordning .

Egenskaper

Additivgruppen i en partiellt ordnad ring är alltid en partiellt ordnad grupp .

Uppsättningen av icke-negativa element i en delvis ordnad ring (uppsättningen av element $x$ för vilken $0\leq x,$ även kallad ringens positiva kon) stängs under addition och multiplikation, det vill säga om $P$ är mängden icke-negativa element i en partiellt ordnad ring, då $P+P\subseteq P$ och $P\cdot P\subseteq P.$ Dessutom är $P\cap (-P)=\{0\}.$

Mappningen av den kompatibla partiella ordningen på en ring $A$ till uppsättningen av dess icke-negativa element är en-till-en ; det vill säga den kompatibla partiella ordningen bestämmer unikt uppsättningen av icke-negativa element, och en uppsättning element bestämmer unikt den kompatibla partiella ordningen om en sådan finns.

Om $S\subseteq A$ är en delmängd av en ring $A,$ och:

1. $0\in S$
2. $S\cap (-S)=\{0\}$
3. $S+S\subseteq S$
4. $S\cdot S\subseteq S$

då definierar relationen $\,\leq \,$ där $x\leq y$ om och endast om $yx\in S$ en kompatibel delordning på $A$ (det vill säga $(A,\leq )$ är en delvis ordnad ring).

I alla l-ringar är det absoluta värdet $|x|$ av ett element $x$ kan definieras som $x\vee (-x),$ där $x\vee y$ anger det maximala elementet . För alla $x$ och $y,$

$$|x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|$$

håller.

f-ringar

En f-ring , eller Pierce–Birkhoff-ring , är en gitterordnad ring $(A,\leq )$ där $x\wedge y=0$ och $0\leq z$ innebär att $zx\wedge y=xz\wedge y=0$ för alla $x,y,z\in A.$ De introducerades först av Garrett Birkhoff och Richard S. Pierce 1956, i en tidning med titeln "Lattice-ordered rings", i ett försök att begränsa klassen av l-ringar för att eliminera ett antal patologiska exempel. Till exempel visade Birkhoff och Pierce en l-ring med 1 där 1 inte är positivt, trots att det är en kvadrat. Den ytterligare hypotesen som krävs för f-ringar eliminerar denna möjlighet.

Exempel

Låt $X$ vara ett Hausdorff-mellanslag och ${\mathcal {C}}(X)$ vara rymden för alla kontinuerliga , verkligt värderade funktioner på $X.$${\mathcal {C}}(X)$ är en arkimedisk f-ring med 1 under följande punktvisa operationer:

$$[f+g](x)=f(x)+g(x)$$

$$[fg](x)=f(x)\cdot g(x)$$

$$[f\wedge g](x)=f(x)\wedge g(x).$$

Ur en algebraisk synvinkel är ringarna ${\mathcal {C}}(X)$ ganska stela. Till exempel lokaliseringar , restringar eller gränser för ringar av formen ${\mathcal {C}}(X)$ inte av denna form i allmänhet. En mycket mer flexibel klass av f-ringar som innehåller alla ringar med kontinuerliga funktioner och som liknar många av egenskaperna hos dessa ringar är klassen av riktiga slutna ringar .

Egenskaper

• En direkt produkt av f-ringar är en f-ring, en l-subring av en f-ring är en f-ring och en l-homomorf bild av en f-ring är en f-ring.

• $|xy|=|x||y|$ i en f-ring.

• Kategorien Arf består av de arkimedeiska f-ringarna med 1 och de l-homomorfismer som bevarar identiteten.

• Varje beställd ring är en f-ring, så varje underdirekt förening av beställda ringar är också en f-ring. Om man antar valets axiom visar en sats från Birkhoff det omvända, och att en l-ring är en f-ring om och endast om den är l-isomorf till en subdirekt förening av ordnade ringar. Vissa matematiker anser att detta är definitionen av en f-ring.

Formellt verifierade resultat för kommutativa ordnade ringar

IsarMathLib, ett bibliotek för Isabelles teoremprover , har formella verifikationer av några grundläggande resultat på kommutativa ordnade ringar. Resultaten bevisas i ring1- sammanhang.

Antag att $(A,\leq )$ är en kommutativ ordnad ring, och $x,y,z\in A.$ Sedan:

	förbi
Additivgruppen för $A$ är en ordnad grupp	OrdRing_ZF_1_L4
$x\leq y{\text{ if and only if }}xy\leq 0$	OrdRing_ZF_1_L7
$x\leq y$ och $0\leq z$ innebär $xz\leq yz$ och $zx\leq zy$	OrdRing_ZF_1_L9
$0\leq 1$	orderring_one_is_nonneg
$|xy|=|x||y|$	OrdRing_ZF_2_L5
$|x+y|\leq |x|+|y|$	ord_ring_triangle_ineq
$x$ är antingen i den positiva mängden, lika med 0 eller i minus den positiva mängden.	OrdRing_ZF_3_L2
Mängden positiva element av $(A,\leq )$ stängs under multiplikation om och endast om $A$ inte har några nolldelare .	OrdRing_ZF_3_L3
Om $A$ är icke-trivial ( $0\neq 1$ ), så är den oändlig.	ord_ring_oändlig

Se även

• Linjärt ordnad grupp – Grupp med translationellt invariant total ordning; dvs om a ≤ b, då ca ≤ cb
• Ordnat fält – Algebraiskt objekt med en ordnad struktur
• Ordnad grupp – Grupp med en kompatibel delordning Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Ordnat topologiskt vektorutrymme
• Ordnat vektorutrymme – Vektorutrymme med en delordning
• Delvis ordnat utrymme – Delvis ordnat topologiskt utrymme
• Riesz space – Delvis ordnat vektorrum, ordnat som ett gitter

Vidare läsning

• Birkhoff, G.; R. Pierce (1956). "Gallerbeställda ringar". Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 :41–69.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Ringar av kontinuerliga funktioner. Omtryck av 1960 års upplaga. Graduate Texts in Mathematics, nr 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp

externa länkar

• "Ordered ring" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Delvis beställd Ring hos PlanetMath .