Arkimedisk grupp
I abstrakt algebra , en gren av matematiken , är en arkimedisk grupp en linjärt ordnad grupp som den arkimedeska egenskapen gäller: vartannat två positiva gruppelement begränsas av heltalsmultiplar av varandra. Mängden R av reella tal tillsammans med operationen av addition och den vanliga ordningsrelationen mellan talpar är en arkimedesk grupp. Genom ett resultat av Otto Hölder är varje arkimedisk grupp isomorf till en undergrupp av denna grupp. Namnet "Archimedean" kommer från Otto Stolz , som döpte den arkimedeiska egendomen efter dess utseende i Arkimedes verk .
Definition
En additiv grupp består av en uppsättning element, en associativ additionsoperation som kombinerar par av element och returnerar ett enda element, ett identitetselement (eller nollelement) vars summa med något annat element är det andra elementet, och en additiv invers operation som t.ex. att summan av ett element och dess invers är noll. En grupp är en linjärt ordnad grupp när dess element dessutom kan ordnas linjärt på ett sätt som är kompatibelt med gruppoperationen: för alla element x , y och z , om x ≤ y så x + z ≤ y + z och z + x ≤ z + y .
Notationen na (där n är ett naturligt tal ) står för gruppsumman av n kopior av a . En arkimedisk grupp ( G , +, ≤) är en linjärt ordnad grupp som omfattas av följande ytterligare villkor, den arkimedeiska egenskapen: För varje a och b i G som är större än 0, är det möjligt att hitta ett naturligt tal n för vilket olikheten b ≤ na gäller.
En ekvivalent definition är att en arkimedisk grupp är en linjärt ordnad grupp utan några avgränsade cykliska undergrupper : det finns ingen cyklisk undergrupp S och ett element x med x större än alla element i S. Det är enkelt att se att detta är ekvivalent med den andra definitionen: den arkimediska egenskapen för ett par av element a och b är bara påståendet att den cykliska undergruppen som genereras av a inte är begränsad av b .
Exempel på arkimedeska grupper
Uppsättningarna av heltal, de rationella talen och de reella talen, tillsammans med operationen av addition och den vanliga ordningen (≤), är arkimedeska grupper. Varje undergrupp av en arkimedisk grupp är i sig själv arkimedisk, så det följer att varje undergrupp av dessa grupper, såsom den additiva gruppen av de jämna talen eller av de dyadiska rationalerna , också bildar en arkimedisk grupp.
Omvänt , som Otto Hölder visade, är varje arkimedisk grupp isomorf (som en ordnad grupp) till en undergrupp av de reella talen. Det följer av detta att varje arkimedisk grupp nödvändigtvis är en abelsk grupp : dess additionsoperation måste vara kommutativ .
Exempel på icke-arkimediska grupper
Grupper som inte kan ordnas linjärt, såsom de finita grupperna , är inte arkimediska. För ett annat exempel, se p -adiska talen , ett system av tal som generaliserar de rationella talen på ett annat sätt än de reella talen.
Icke-arkimediska ordnade grupper finns också; den ordnade gruppen ( G , +, ≤) definierad enligt följande är inte arkimedisk. Låt elementen i G vara punkterna på det euklidiska planet , givet av deras kartesiska koordinater : par ( x , y ) av reella tal. Låt gruppadditionsoperationen vara punktvis (vektor) addition och ordna dessa punkter i lexikografisk ordning : om a = ( u , v ) och b = ( x , y ), då a + b = ( u + x , v + y ), och a ≤ b exakt när antingen v < y eller v = y och u ≤ x . Då ger detta en ordnad grupp, men en som inte är arkimedisk. För att se detta, överväg elementen (1, 0) och (0, 1), som båda är större än nollelementet i gruppen (ursprunget ) . För varje naturligt tal n , följer det av dessa definitioner att n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), så det finns inget n som uppfyller den arkimedeiska egenskapen. Denna grupp kan ses som den additiva gruppen av par av ett reellt tal och ett infinitesimal , där är en enhet infinitesimal: men för ett positivt reellt tal . Icke-arkimediska fält kan definieras på liknande sätt, och deras additivgrupper är icke-arkimediska ordnade grupper. Dessa används i icke-standardiserade analyser och inkluderar hyperrealistiska och surrealistiska tal .
Medan icke-arkimediska ordnade grupper inte kan bäddas in i de reella talen, kan de bäddas in i en potens av de reella talen, med lexikografisk ordning, genom Hahns inbäddningssats ; exemplet ovan är det 2-dimensionella fallet.
Ytterligare egenskaper
Varje arkimedisk grupp har egenskapen att för varje Dedekind-snitt i gruppen, och varje gruppelement ε > 0, finns det ett annat gruppelement x med x på undersidan av snittet och x + ε på ovansidan av snittet . Det finns dock icke-arkimediska ordnade grupper med samma egenskap. Det faktum att arkimedeska grupper är abelska kan generaliseras: varje ordnad grupp med denna egenskap är abelsk.
Generaliseringar
Arkimedeska grupper kan generaliseras till arkimedeiska monoider , linjärt ordnade monoider som lyder Arkimedes egendom . Exempel inkluderar de naturliga talen, de icke-negativa rationella talen och de icke-negativa reella talen, med den vanliga binära operationen och ordningen . Genom ett liknande bevis som för arkimediska grupper kan arkimediska monoider visas vara kommutativa .
