Nilpotent Lie algebra

I matematik är en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ nilpotent om dess nedre centrala serie slutar i nollsubalgebra. Den lägre centrala serien är sekvensen av subalgebra

${\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{ \mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq . ..$

Vi skriver ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}$ och ${\mathfrak {g} }_{n}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{n-1}]$ för alla $n>0$ . Om den lägre centrala serien så småningom kommer fram till nollsubalgebra, så kallas Lie-algebra nilpotent. Den lägre centrala serien för Lie-algebror är analog med den lägre centrala serien i gruppteorin , och nilpotenta Lie-algebror är analoger till nilpotenta grupper .

De nilpotenta Lie-algebrorna är just de som kan erhållas från abelska Lie-algebror, genom på varandra följande centrala förlängningar .

Observera att definitionen betyder att, sett som en icke-associativ icke-unital algebra, en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om den är nilpotent som ett ideal.

Definition

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en Lie-algebra . Man säger att ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om den nedre centrala serien slutar, dvs om ${\mathfrak {g}}_{n}=0$ för några $n\in \mathbb {N} .$

Det betyder uttryckligen det

$[X_{1},[X_{2}, [\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_ {n}}Y=0$

$\forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}, Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)$

så att ad _{X 1} ad _{X 2} ⋅⋅⋅ ad _{X n} = 0 .

Likvärdiga förhållanden

En mycket speciell konsekvens av (1) är att

$[X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_ {n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)$

Således (ad _X ) ⁿ = 0 för alla $X\in {\mathfrak {g}}$ . Det vill säga, ad _X är en nilpotent endomorfism i den vanliga bemärkelsen linjära endomorfismer (snarare än Lie-algebras). Vi kallar ett sådant element för x i ${\mathfrak {g}}$ ad-nilpotent .

Anmärkningsvärt nog, om ${\mathfrak {g}}$ är ändlig dimensionell, är det uppenbarligen mycket svagare tillståndet (2) faktiskt ekvivalent med (1), som anges av

Engels teorem : En ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om och endast om alla element i ${\mathfrak {g}}$ är ad-nilpotenta,

vilket vi inte kommer att bevisa här.

Ett något enklare ekvivalent villkor för nilpotensen för ${\mathfrak {g}}$ : ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om och endast om $\mathrm {ad } \,{\mathfrak {g}}$ är nilpotent (som en Lie-algebra). För att se detta, observera först att (1) innebär att $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ är nilpotent, eftersom expansionen av en ( n − 1) -faldig kapslad parentes kommer att bestå av termer i formen i (1). Omvänt kan man skriva

$[[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n -1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),$

och eftersom ad är en Lie algebra homomorfism,

${\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad } _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}$

Om $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ är nilpotent, är det sista uttrycket noll för tillräckligt stort n , och följaktligen det första. Men detta innebär (1), så ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent.

Dessutom är en änddimensionell Lie-algebra nilpotent om och endast om det finns en nedåtgående kedja av ideal ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g} }_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0} så$ att $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}$ .

Exempel

Strikt övre triangulära matriser

Om ${\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )$ är mängden k × k matriser med poster i $\mathbb {R}$ , då är subalgebra som består av strikt övre triangulära matriser en nilpotent Lie-algebra.

Heisenberg algebror

En Heisenberg algebra är nilpotent. Till exempel, i dimension 3, kommutatorn för två matriser

$\left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin {bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

där ${\displaystyle a''=ac'-a'c$ .

Cartan subalgebra

En Cartan subalgebra ${\mathfrak {c}}$ av en Lie algebra ${\mathfrak {l}}$ är nilpotent och självnormaliserande ^{sida 80} . Det självnormaliserande tillståndet motsvarar att normalisera en Lie-algebra. Detta betyder ${\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset {\mathfrak {c}}{\text{ för }}c\in {\mathfrak {c}} \}$ . Detta inkluderar övre triangulära matriser ${\mathfrak {t}}(n)$ och alla diagonala matriser ${\mathfrak {d}}(n)$ i ${\mathfrak {gl}}(n)$ .

Andra exempel

0 Om en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ har en automorfism av prime period utan några fixpunkter förutom vid , då är ${\mathfrak {g}}$ nilpotent.

Egenskaper

Nilpotenta Lie-algebror är lösbara

Varje nilpotent Lie-algebra är lösbar . Detta är användbart för att bevisa lösbarheten av en Lie-algebra eftersom det i praktiken vanligtvis är lättare att bevisa nilpotens (när det gäller!) snarare än lösbarhet. Men i allmänhet är motsatsen till denna egenskap falsk. Till exempel subalgebra för ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )} ($ k ≥ 2 ) som består av övre triangulära matriser, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R} )} ,$ är lösbar men inte nilpotent.

Subalgebra och bilder

Om en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent, så är alla subalgebra och homomorfa bilder nilpotenta.

Nilpotens av kvoten av mitten

Om kvoten algebra ${\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})$ , där $Z({\mathfrak {g}} )$ är mitten av ${\mathfrak {g}}$ , är nilpotent, så är det ${\mathfrak {g}}$ . Det vill säga att en central förlängning av en nilpotent Lie-algebra med en nilpotent Lie-algebra är nilpotent.

Engels teorem

Engels sats : En ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om och endast om alla element i ${\mathfrak {g}}$ är ad-nilpotenta.

Zero Killing form

0 Den dödande formen av en nilpotent Lie-algebra är .

Har yttre automorfismer

En nilpotent Lie-algebra har en yttre automorfism , det vill säga en automorfism som inte finns i bilden av Ad.

Härledda subalgebror av lösbara Lie-algebror

Den härledda subalgebra av en ändlig dimensionell lösbar Lie-algebra över ett fält med karakteristik 0 är nilpotent.

Se även

• Lösbar Lie-algebra

Anteckningar

•    Fulton, W .; Harris, J. (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6 . MR 1153249 .
•   Humphreys, James E. (1972). Introduktion till lögnalgebror och representationsteori . Examentexter i matematik. Vol. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 .
•   Knapp, AW (2002). Ligggrupper bortom en introduktion . Framsteg i matematik. Vol. 120 (andra upplagan). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5 .
•   Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-enkla komplex [ Complex Semisimple Lie Algebras ], översatt av Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .