Biharmonisk karta

Inom det matematiska fältet av differentialgeometri är en biharmonisk karta en karta mellan Riemannska eller pseudo-Riemannska grenrör som uppfyller en viss partiell differentialekvation av fjärde ordningen . En biharmonisk submanifold hänvisar till en inbäddning eller nedsänkning i en Riemann- eller pseudo-Riemann-manifold som är en biharmonisk karta när domänen är utrustad med sin inducerade metrik. Problemet med att förstå biharmoniska kartor ställdes av James Eells och Luc Lemaire 1983. Studiet av harmoniska kartor , varav studiet av biharmoniska kartor är en utväxt (vilken som helst harmonisk karta är också en biharmonisk karta), hade varit (och finns kvar) ett aktivt studieområde under de senaste tjugo åren. Ett enkelt fall av biharmoniska kartor ges av biharmoniska funktioner .

Definition

Givet riemannska eller pseudo-riemannska grenrör $(M, g)$ och $(N, h) kallas$ en karta $f$ från $M$ till $N$ som är differentierbar minst fyra gånger en biharmonisk karta om

\Delta \Delta f+\sum _{i=1}^{m}R^{h}{\big (}\Delta f,df(e_{i}),df(e_{i}){ \big )}=0;

givet någon punkt $p$ av $M$ , är varje sida av denna ekvation ett element av tangentrymden till $N$ vid $f (p)$ . Med andra ord, ovanstående ekvation är en likhet mellan sektioner av vektorbunten $f * TN \to M$ . I ekvationen, $e 1, ..., är e m$ en godtycklig $g$ -ortonormal bas för tangentrymden till $M$ och $Rh =$ är Riemann-kurvaturtensorn , enligt konventionen $R (u, v, w ) \nabla u \nabla v w - \nabla v \nabla u w - \nabla [u, v] w$ . Kvantiteten $∆ f$ är "spänningsfältet" eller "laplacian" för $f$ , som introducerades av Eells och Sampson i studiet av harmoniska kartor.

När det gäller spårning , inredningsprodukt och tillbakadragningsoperationer kan den biharmoniska kartekvationen skrivas som

\Delta \Delta f+\operatörsnamn {tr} _{g}{\Big (}f^{\ast }{ \big (}\iota _{\Delta f}R^{h}{\big )}{\Big )}=0.

När det gäller lokala koordinater $x i$ för $M$ och lokala koordinater $y α$ för $N$ skrivs den biharmoniska kartekvationen som

g^{ij}\left({\frac {\ partiell }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f ^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma}\right)-\Gamma _{ij} ^{k}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\ partiell x^{k}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma}\right)+{\frac {\partial f^{\delta }}{ \partial x^{i}}}\Gamma _{\delta \epsilon }^{\alpha }\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\epsilon }}{\partial x^{j }}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\epsilon }(\Delta f)^{\gamma }\right)\right)+g^{ij}R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }(\Delta f)^{\beta }{\frac {\partial f^{\gamma }} {\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{j}}}=0,

där Einsteins summeringskonvention används med följande definitioner av Christoffel-symbolerna , Riemann-kurvaturtensor och spänningsfält :

{\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}g^{kl}{\Big (}{\frac {\partial g_{jl }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x ^{l}}}{\Big )}\\\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\gamma \delta}}{\partial y^{\beta }}}+{\frac {\partial h_{\beta \delta}}{\partial y^{\gamma }}}-{\frac {\partial h_{\beta \gamma }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\\R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha } &={\frac {\partial \Gamma _{\gamma \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\beta \delta } ^{\alpha }}{\partial y^{\gamma }}}+\Gamma _{\beta \rho }^{\alpha }\Gamma _{\gamma \delta }^{\rho }-\Gamma _ {\gamma \rho }^{\alpha }\Gamma _{\beta \delta }^{\rho }\\(\Delta f)^{\alpha }&=g^{ij}{\Big (}{ \frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\beta \gamma } ^{\alpha }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}{\Big )}.\end{aligned}}

Det är tydligt från någon av dessa presentationer av ekvationen att varje övertonskarta automatiskt är biharmonisk. Av denna anledning hänvisar en riktig biharmonisk karta till en biharmonisk karta som inte är harmonisk.

I den speciella miljön där $f$ är en (pseudo-)Riemannisk nedsänkning, vilket betyder att det är en nedsänkning och att $g$ är lika med den inducerade metriska $f * h$ , säger man att man har en biharmonisk delgren istället för en biharmonisk karta. Eftersom medelkrökningsvektorn för $f$ är lika med laplacianen för $f : (M, f * h) \to (N, h)$ , vet man att en nedsänkning är minimal om och bara om den är harmonisk. I synnerhet är varje minimal nedsänkning automatiskt en biharmonisk delgren. En riktig biharmonisk submanifold hänvisar till en biharmonisk submanifold som inte är minimal.

Motivationen för den biharmoniska kartekvationen kommer från bienergifunktionen

E_{2}(f)={\frac {1}{2}}\,\int _{M}|\Delta f|_{h}^{2}\, dv_{g},

i miljön där $M$ är stängt och $g$ och $h$ båda är Riemannska; $dv g$ betecknar volymmåttet på $M}$ displaystyle inducerat av $g$ . Eells & Lemaire, 1983, föreslog studiet av kritiska punkter i denna funktion. Guo Ying Jiang, 1986, beräknade sin första variantformel, och hittade därigenom ovanstående biharmoniska kartekvation som motsvarande Euler-Lagrange-ekvation. Harmoniska kartor motsvarar kritiska punkter för vilka bienergifunktionen får sitt minsta möjliga värde noll.

Exempel och klassificering

Ett antal exempel på biharmoniska kartor, såsom inverser av stereografiska projektioner i det speciella fallet med fyra dimensioner, och inversioner av punkterad euklidisk rymd , är kända. Det finns många exempel på biharmoniska delgrenar, såsom (för alla $k$ ) den generaliserade Clifford torus

{\Big \{}x\in \mathbb {R} ^{n+2}:x_{1}^{2}+\cdots +x_{k+1}^{2}=x_{k+2}^{2}+\cdots +x_ {n+2}^{2}={\frac {1}{2}}{\Big \}},

som en undergren av $(n + 1)$ -sfären. Den är minimal om och endast om $n$ är jämnt och lika med $2 k$ .

De biharmoniska kurvorna i tredimensionella rymdformer kan studeras via Frenets ekvationer . Det följer lätt att varje biharmonisk kurva med konstant hastighet i en tredimensionell rymdform av icke-positiv krökning måste vara geodetisk. Alla biharmoniska kurvor med konstant hastighet i den runda tredimensionella sfären $S 3$ kan ses som lösningen av en viss fjärde ordningens linjär ordinarie differentialekvation med konstant koefficient för en $ℝ 4$ -värderad funktion. Som sådan kan situationen analyseras fullständigt, med resultatet att varje sådan kurva är upp till en isometri av sfären:

en konstanthastighetsparametrisering av skärningspunkten mellan $S 3 \subset ℝ 4$ och det tvådimensionella linjära delrummet $ℝ \times ℝ \times {0} \times {0$ }
en konstanthastighetsparametrisering av skärningen av $(d 1, d 2 S$ $3 \subset ℝ 4$ med det tvådimensionella affina delrummet $ℝ \times ℝ \times {d 1} \times {d 2$ }, för valfritt val av ) som är på cirkel med radie $2 -1/2$ runt origo i $ℝ 2$
en omparametrisering med konstant hastighet av

t\mapsto {\Big (}{\frac {\cos at}{\sqrt { 2}}},{\frac {\sin at}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos bt}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin bt}{\sqrt {2}}}{\Big )}

för vilken som helst

(a, b)

på cirkeln med radien

2 1/2

runt origo i

ℝ 2

.

I synnerhet har varje biharmonisk kurva med konstant hastighet i $S 3$ konstant geodetisk krökning .

Som en konsekvens av det rent lokala studiet av Gauss-Codazzis ekvationer och den biharmoniska kartekvationen måste varje sammankopplad biharmonisk yta i $S 3$ ha konstant medelkrökning. Om den inte är noll (så att ytan inte är minimal) måste den andra grundformen ha konstant längd lika med $2 1/2$ , som följer av den biharmoniska kartekvationen. Ytor med så starka geometriska förhållanden kan klassificeras fullständigt, med resultatet att varje ansluten biharmonisk yta i $S 3$ måste vara antingen lokalt (upp till isometri) en del av hypersfären

\left\{{\Big (}(w,x,y,{\frac {1 }{\sqrt {2}}}{\Big )}:w^{2}+x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}}\right\},

eller minimal. På liknande sätt måste varje biharmonisk hyperyta i det euklidiska rummet som har konstant medelkrökning vara minimal.

Guo Ying Jiang visade att om $g$ och $h$ är riemannska, och om $M$ är stängd och $h$ har icke-positiv tvärsnittskrökning , så är en karta från $(M, g)$ till $(N, h)$ biharmonisk om och endast om den är harmonisk. Beviset är för att visa att, på grund av antagandet om sektionskrökning, laplacianen för | $∆ f | 2$ är icke-negativ, då gäller maximiprincipen . Detta resultat och bevis kan jämföras med Eells & Sampsons försvinnande teorem, som säger att om dessutom Ricci-kurvaturen för $g$ är icke-negativ, så är en karta från $(M, g)$ till $(N, h)$ harmonisk om och endast om den är helt geodetisk . Som ett specialfall av Jiangs resultat är en sluten undergren av ett Riemann-grenrör med icke-positiv sektionskrökning biharmonisk om och endast om den är minimal. Delvis baserat på dessa resultat antogs det att varje biharmonisk undergren av ett Riemann-grenrör med icke-positiv sektionskrökning måste vara minimal. Detta är emellertid nu känt för att vara falskt. Det speciella fallet med undergrenar av euklidiska rymden är en äldre gissning av Bang-Yen Chen . Chens gissningar har bevisats i ett antal geometriskt speciella fall.

Fotnoter

Böcker och undersökningar

Chen, Bang-Yen (2011). Pseudo-Riemannsk geometri, δ-invarianter och tillämpningar . Med ett förord av Leopold Verstraelen. Hackensack, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789814329644 . ISBN 978-981-4329-63-7 . MR 2799371 . Zbl 1245.53001 .
Chen, Bang-Yen (2015). Total medelkurvatur och undergrenrör av finit typ . Serien i ren matematik. Vol. 27. Med ett förord av Leopold Verstraelen (andra upplagan av 1984 års originalupplaga). Hackensack, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9237 . ISBN 978-981-4616-69-0 . MR 3362186 . Zbl 1326.53004 .
Eells, James ; Lemaire, Luc (1983). Utvalda ämnen i harmoniska kartor . CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 50. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/cbms/050 . ISBN 0-8218-0700-5 . MR 0703510 . Zbl 0515.58011 .

Artiklar

Caddeo, R.; Montaldo, S.; Oniciuc, C. (2001). "Biharmoniska undergrenar av $S 3$ ". International Journal of Mathematics . 12 (8): 867–876. doi : 10.1142/S0129167X01001027 . MR 1863283 . Zbl 1111.53302 .
Caddeo, R.; Montaldo, S.; Oniciuc, C. (2002). "Biharmoniska delgrenar i sfärer". Israel Journal of Mathematics . 130 : 109–123. doi : 10.1007/BF02764073 . MR 1919374 . Zbl 1038.58011 .
Chen, Bang-Yen (1991). "Några öppna problem och gissningar om submanifolds av finit typ" . Soochow Journal of Mathematics . 17 (2): 169–188. MR 1143504 . Zbl 0749.53037 .
Chen, Bang-Yen (1996). "En rapport om undergrenar av ändlig typ" . Soochow Journal of Mathematics . 22 (2): 117–337. MR 1391469 . Zbl 0867.53001 .
Eells, James Jr .; Sampson, JH (1964). "Harmoniska kartläggningar av Riemannska grenrör". American Journal of Mathematics . 86 (1): 109–160. doi : 10.2307/2373037 . MR 0164306 . Zbl 0122.40102 .
Jiang, Guo Ying (1986). "2-harmoniska kartor och deras första och andra variationsformler". Kinesiska annaler av matematik, serie A (på kinesiska). 7 (4): 389–402. MR 0886529 . Zbl 0628.58008 . — (2009). Översatt av Urakawa, Hajime. "2-harmoniska kartor och deras första och andra variationsformler" . Note di Matematica . 28 (1): 209–232. doi : 10.1285/i15900932v28n1supplp209 . MR 2640582 . Zbl 1200.58015 .
Montaldo, S.; Oniciuc, C. (2006). "En kort undersökning av biharmoniska kartor mellan Riemannska grenrör" (PDF) . Revista de la Unión Matemática Argentina . 47 (2): 1–22. MR 2301373 . Zbl 1140.58004 .