Space form

Inom matematiken är en rymdform ett komplett Riemann - grenrör M med konstant tvärsnittskurvatur K. De tre mest grundläggande exemplen är euklidiska n -rymden , den n -dimensionella sfären och hyperboliska rymden , även om en rymdform inte bara behöver kopplas samman .

Reduktion till generaliserad kristallografi

Killing -Hopf-satsen för Riemannsk geometri säger att det universella täcket av en n -dimensionell rymdform $M^{n}$ med krökning $K=-1$ är isometrisk med $H^{n}$ , hyperboliskt utrymme , med krökning $K=0$ är isometrisk med $R^{n}$ , euklidiskt n -rymd , och med krökning $K=+1$ är isometrisk till $S^{n}$ , den n-dimensionella sfären av punkter avstånd 1 från origo i $R^{n+1 }$ .

Genom att skala om det riemannska måttet på $H^{n}$ kan vi skapa ett utrymme $M_{K}$ med konstant krökning $K$ för valfri $K <0$ . På liknande sätt, genom att skala om det riemannska måttet på $S^{n}$ , kan vi skapa ett mellanslag $M_{K}$ med konstant krökning $K$ för alla ${\ displaystil K>0}$ . Således är den universella täckningen av ett mellanrumsform $M$ med konstant krökning $K$ isometrisk med $M_{K}$ .

Detta reducerar problemet med att studera rumsformer till att studera diskreta grupper av isometrier $\Gamma$ av $M_{K}$ som fungerar korrekt diskontinuerligt . Observera att den fundamentala gruppen av $M$ , $\pi _{1}(M)$ , kommer att vara isomorf till $\Gamma$ . Grupper som verkar på detta sätt på $R^{n}$ kallas kristallografiska grupper . Grupper som agerar på detta sätt på $H^{2}$ och $H^{3}$ kallas fuchsiska grupper respektive kleinska grupper .

Se även

• Borel gissning

•   Goldberg, Samuel I. (1998), Curvature and Homology , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Riemannian manifolds: an introduction to curvature , Springer