Bianconi–Barabási modell

Bose–Einstein-kondensat: Bianconi–Barabási-modellens fitnesskoncept kan användas för att förklara Bose–Einstein-kondensatet . Här visar topparna att när temperaturen sjunker, kondenserar fler och fler atomer till samma energinivå. Vid lägre temperatur när "konditionen" är högre förutspår denna modell att fler atomer kommer att kopplas till samma energinivå.

Bianconi –Barabási-modellen är en modell inom nätverksvetenskap som förklarar tillväxten av komplexa nätverk under utveckling. Denna modell kan förklara att noder med olika egenskaper får länkar i olika takt. Den förutspår att en nods tillväxt beror på dess kondition och kan beräkna gradfördelningen. Bianconi–Barabási-modellen är uppkallad efter dess uppfinnare Ginestra Bianconi och Albert-László Barabási . Denna modell är en variant av Barabási–Albert-modellen . Modellen kan mappas till en Bose-gas och denna kartläggning kan förutsäga en topologisk fasövergång mellan en "rik-bli-rikare"-fas och en "vinnaren-tar-allt"-fas.

Begrepp

Barabási–Albert (BA)-modellen använder två begrepp: tillväxt och preferentiell anknytning . Här indikerar tillväxt ökningen av antalet noder i nätverket med tiden, och preferentiell anslutning innebär att fler anslutna noder får fler länkar. Bianconi–Barabási-modellen, utöver dessa två koncept, använder ett annat nytt koncept som kallas fitness. Denna modell använder sig av en analogi med evolutionära modeller. Den tilldelar ett inneboende fitnessvärde till varje nod, som förkroppsligar alla andra egenskaper än graden. Ju högre kondition, desto högre är sannolikheten för att locka till sig nya kanter. Fitness kan definieras som förmågan att attrahera nya länkar – "ett kvantitativt mått på en nods förmåga att ligga före konkurrenterna".

Medan Barabási–Albert (BA)-modellen förklarar fenomenet "first mover advantage" förklarar Bianconi–Barabási-modellen hur senkomlingar också kan vinna. I ett nätverk där fitness är ett attribut, kommer en nod med högre kondition att förvärva länkar i en högre takt än noder med mindre passform. Denna modell förklarar att ålder inte är den bästa prediktorn för en nods framgång, snarare har senkomlingar också chansen att attrahera länkar för att bli ett nav.

Bianconi–Barabási-modellen kan reproducera gradkorrelationerna för Internets autonoma system. Denna modell kan också visa kondensationsfasövergångar i utvecklingen av komplexa nätverk. BB-modellen kan förutsäga internets topologiska egenskaper.

Algoritm

Träningsnätverket börjar med ett fast antal sammankopplade noder. De har olika kondition, vilket kan beskrivas med fitnessparameter, $\eta _{j}$ som väljs från en konditionsfördelning $\rho (\eta )$ .

Tillväxt

Antagandet här är att en nods kondition är oberoende av tid och är fixerad. En ny nod j med m länkar och en fitness $\eta _{j}$ läggs till med varje tidssteg.

Företrädesvis bilaga

Sannolikheten $\Pi _{i}$ att en ny nod ansluter till en av de befintliga länkarna till en nod $i$ i nätverket beror på antalet kanter, $k_ {i}$ , och på konditionen $\eta _{i}$ för noden $i$ , så att,

\Pi _{i}={\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}.

Varje nods utveckling med tiden kan förutsägas med hjälp av kontinuumteorin. Om nodens initiala nummer är ${\displaystyle m} ändras$ graden av nod $i$ i takt:

{\frac {\partial k_{i}}{\partial t}}=m{\frac {\eta _{i}k_ {i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}

Om vi antar utvecklingen av $k_{i}$ följer en potenslag med en konditionsexponent $\beta (\eta _{i})$

k(t,t_{i},\eta _{i})=m\left({\frac { t}{t_{i}}}\right)^{\beta (\eta _{i})}

,

där $t_{i}$ är tiden sedan skapandet av noden $i$ .

Här är $\beta (\eta )={\frac {\eta }{C}}{\text{ och }}C=\int \rho (\eta ){\frac {\eta }{1-\beta (\eta )}}\,d\eta .$

Egenskaper

Lika konditioner

Om alla konditioner är lika i ett fitnessnätverk reduceras Bianconi–Barabási-modellen till Barabási–Albert-modellen , när graden inte beaktas reduceras modellen till fitnessmodellen (nätverksteori) .

När fitness är lika är sannolikheten $\Pi _{i}$ att den nya noden är ansluten till nod $i$ när $k_{i}$ är graden av nod $i$ är,

\Pi _{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}.

Examensfördelning

Gradfördelningen av Bianconi–Barabási-modellen beror på konditionsfördelningen $\rho (\eta )$ . Det finns två scenarier som kan hända baserat på sannolikhetsfördelningen. Om konditionsfördelningen har en finit domän, kommer gradfördelningen att ha en maktlag precis som BA-modellen. I det andra fallet, om fitnessfördelningen har en oändlig domän, kommer noden med det högsta fitnessvärdet att attrahera ett stort antal noder och visa ett vinnare-ta-allt scenario.

Mätning av nodtillstånd från empiriska nätverksdata

Det finns olika statistiska metoder för att mäta nodtillstånd $\eta _{i}$ i Bianconi–Barabási-modellen från verkliga nätverksdata. Från mätningen kan man undersöka konditionsfördelningen $\rho (\eta )$ eller jämföra Bianconi–Barabási-modellen med olika konkurrerande nätverksmodeller i just det nätverket.

Variationer av Bianconi–Barabási-modellen

Bianconi–Barabási-modellen har utökats till viktade nätverk som visar linjär och superlinjär skalning av styrkan med graden av noderna som observerats i verklig nätverksdata. Denna viktade modell kan leda till kondensering av nätverkets vikter när få länkar får en ändlig bråkdel av hela nätverkets vikt. Nyligen har det visat sig att Bianconi–Barabási-modellen kan tolkas som ett gränsfall för modellen för emergent hyperbolisk nätverksgeometri som kallas Network Geometry with Flavor. Bianconi–Barabási-modellen kan också modifieras för att studera statiska nätverk där antalet noder är fast.

Bose-Einstein kondens

Bose–Einstein-kondensering i nätverk är en fasövergång som observeras i komplexa nätverk som kan beskrivas med Bianconi–Barabási-modellen. Denna fasövergång förutsäger ett "vinnare-tar-allt"-fenomen i komplexa nätverk och kan matematiskt mappas till den matematiska modellen som förklarar Bose–Einstein-kondensering i fysik.

Bakgrund

Inom fysiken är ett Bose-Einstein-kondensat ett materiatillstånd som uppstår i vissa gaser vid mycket låga temperaturer. Alla elementarpartiklar, atomer eller molekyler kan klassificeras som en av två typer: en boson eller en fermion . Till exempel är en elektron en fermion, medan en foton eller en heliumatom är en boson. Inom kvantmekaniken är energin hos en (bunden) partikel begränsad till en uppsättning diskreta värden, kallade energinivåer. En viktig egenskap hos en fermion är att den följer Pauli-exklusionsprincipen , som säger att inga två fermioner får uppta samma tillstånd. Bosoner, å andra sidan, följer inte uteslutningsprincipen, och vilket antal som helst kan existera i samma tillstånd. Som ett resultat, vid mycket låga energier (eller temperaturer), kan en stor majoritet av bosonerna i en Bose-gas trängas in i det lägsta energitillståndet, vilket skapar ett Bose–Einstein-kondensat.

Bose och Einstein har fastställt att de statistiska egenskaperna hos en Bose-gas styrs av Bose–Einstein-statistiken . I Bose–Einstein-statistiken kan valfritt antal identiska bosoner vara i samma tillstånd. I synnerhet, givet ett energitillstånd $ε$ , ges antalet icke-interagerande bosoner i termisk jämvikt vid temperatur $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} T = 1 / β$ av Bose-ockupationsnumret

n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}

där konstanten $μ$ bestäms av en ekvation som beskriver bevarandet av antalet partiklar

N=\int d\varepsilon \,g(\varepsilon )\,n(\varepsilon )

där $g (ε)$ är tätheten av systemets tillstånd.

Denna sista ekvation kan sakna en lösning vid tillräckligt låga temperaturer när $g (ε) \to 0$ för $ε \to 0$ . I detta fall hittas en kritisk temperatur $T c så att för$ $T < T c$ är systemet i en Bose-Einstein kondenserad fas och en ändlig del av bosonerna är i grundtillståndet.

Tätheten för tillstånden $g (ε)$ beror på rummets dimensionalitet. Speciellt $g(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\frac {d-2}{2}}$ därför $g (ε) \to 0$ endast för $ε \to 0$ i dimensioner $d > 2$ . Därför kan en Bose-Einstein-kondensering av en ideal Bose-gas endast ske för dimensionerna $d > 2$ .

Konceptet

Utvecklingen av många komplexa system, inklusive World Wide Web, affärs- och citeringsnätverk, kodas i den dynamiska webben som beskriver interaktionerna mellan systemets beståndsdelar. Utvecklingen av dessa nätverk fångas av Bianconi-Barabási-modellen, som inkluderar två huvudsakliga egenskaper hos växande nätverk: deras konstanta tillväxt genom tillägg av nya noder och länkar och den heterogena förmågan hos varje nod att förvärva nya länkar som beskrivs av nodkonditionen . Därför är modellen även känd som fitnessmodell . Trots deras irreversibla och icke-jämviktiga natur följer dessa nätverk Bose-statistiken och kan mappas till en Bose-gas. I denna mappning mappas varje nod till ett energitillstånd som bestäms av dess kondition och varje ny länk kopplad till en given nod mappas till en Bose-partikel som upptar motsvarande energitillstånd. Denna kartläggning förutspår att Bianconi-Barabási-modellen kan genomgå en topologisk fasövergång i överensstämmelse med Bose-Einstein-kondenseringen av Bose-gasen. Denna fasövergång kallas därför Bose-Einstein-kondensering i komplexa nätverk. Att följaktligen ta itu med de dynamiska egenskaperna hos dessa icke-jämviktssystem inom ramen för kvantgaser i jämvikt förutspår att fenomenen "först-mover", "fit-get-rich (FGR)" och "vinnaren-tar-allt"-fenomenen som observeras i en konkurrenskraftiga system är termodynamiskt distinkta faser av de underliggande utvecklande nätverken.

Schematisk illustration av kartläggningen mellan nätverksmodellen och Bose-gasen.

Den matematiska kartläggningen av nätverkets utveckling till Bose-gasen

Med utgångspunkt från Bianconi-Barabási-modellen kan kartläggningen av en Bose-gas till ett nätverk göras genom att tilldela en energi $ε i$ till varje nod, bestämt av dess lämplighet genom relationen

\varepsilon _{i}=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\eta _{i}}

där $β = 1/T$ . Speciellt när $β = 0$ har alla noder lika kondition, när istället $β ≫ 1$ noder med olika "energi" har väldigt olika kondition. Vi antar att nätverket utvecklas genom en modifierad mekanism för preferensbifogning . Varje gång en ny nod $i$ med energi $εi hämtad$ från en sannolikhetsfördelning $p (ε)$ kommer in i nätverket och kopplar en ny länk till en nod $j$ vald med sannolikhet:

\Pi _{j}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{j}}k_{j}}{\sum _{r}e^{-\beta \varepsilon _{r }}k_{r}}}.

I kartläggningen till en Bose-gas tilldelar vi till varje ny länk som är länkad genom preferentiell anslutning till nod $j$ en partikel i energitillståndet $ε j$ .

Kontinuumteorin förutspår att hastigheten med vilken länkar ackumuleras på nod $i$ med "energi" $ε i$ ges av

{\frac {\partial k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{\partial t}}=m{\frac {e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i}, t,t_{i})}{Z_{t}}}

där $k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})$ anger antalet länkar kopplade till nod $i$ som lades till i nätverket vid tidpunkten steg $t_{i}$ . $Z_{t}$ är partitionsfunktionen , definierad som:

Z_{t}=\sum _{i}e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i}).

Lösningen av denna differentialekvation är:

k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})=m\left( {\frac {t}{t_{i}}}\right)^{f(\varepsilon _{i})}

där den dynamiska exponenten $f(\varepsilon )$ uppfyller $f(\varepsilon )=e^{-\beta (\varepsilon - \mu )}$ , $μ$ spelar rollen som den kemiska potentialen och uppfyller ekvationen

\int d\varepsilon \,p(\varepsilon ){\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu )}-1}}=1

där $p (ε)$ är sannolikheten att en nod har "energi" $ε$ och "fitness" $η = e -βε$ . I gränsen, $t \to \infty$ , följer yrkesnumret, som ger antalet länkar kopplade till noder med "energi" $ε$ , den välbekanta Bose-statistiken

n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}.

Definitionen av konstanten $μ$ i nätverksmodellerna är förvånansvärt lik definitionen av den kemiska potentialen i en Bose-gas. Speciellt för sannolikheter $p (ε)$ så att $p (ε) \to 0$ för $ε \to 0$ vid tillräckligt högt värde på $β$ har vi en kondensationsfasövergång i nätverksmodellen. När detta inträffar får en nod, den med högre kondition en ändlig bråkdel av alla länkar. Bose–Einstein-kondensationen i komplexa nätverk är därför en topologisk fasövergång efter vilken nätverket har en stjärnliknande dominerande struktur.

Bose–Einstein fasövergång i komplexa nätverk

Numeriska bevis för Bose–Einstein-kondensering i en nätverksmodell.

Kartläggningen av en Bose-gas förutsäger förekomsten av två distinkta faser som en funktion av energifördelningen. I fit-get-rich-fasen, som beskriver fallet med enhetlig kondition, får de monterade noderna kanter i en högre takt än äldre men mindre passformade noder. I slutändan kommer den lämpligaste noden att ha flest kanter, men den rikaste noden är inte den absoluta vinnaren, eftersom dess andel av kanterna (dvs förhållandet mellan dess kanter och det totala antalet kanter i systemet) minskar till noll i gränsen för stora systemstorlekar (Fig.2(b)). Det oväntade resultatet av denna mappning är möjligheten till Bose–Einstein-kondensering för $T < T BE$ , när den bäst anpassade noden förvärvar en ändlig bråkdel av kanterna och bibehåller denna andel av kanter över tiden (Fig.2(c)).

En representativ konditionsfördelning $\rho (\eta )$ som leder till kondens ges av

\rho (\eta )=(\lambda +1)(1-\eta )^{\lambda },

där $\lambda =1$ .

Förekomsten av Bose–Einstein-kondensationen eller fit-get-rich-fasen beror dock inte på systemets temperatur eller $β$ utan beror endast på den funktionella formen av konditionsfördelningen $\rho ( \eta )$ i systemet. I slutändan $β$ ur alla topologiskt viktiga storheter. Faktum är att det kan visas att Bose–Einstein-kondensering finns i fitnessmodellen även utan kartläggning till en Bose-gas. En liknande gelning kan ses i modeller med superlinjär preferensfäste, men det är inte klart om detta är en olycka eller om det finns en djupare koppling mellan denna och fitnessmodellen.

Se även

Barabási–Albert modell

externa länkar