Schwarz lista
I den matematiska teorin om specialfunktioner är Schwarz lista eller Schwartz-tabellen listan på 15 fall som hittats av Hermann Schwarz ( 1873 , s. 323) när hypergeometriska funktioner kan uttryckas algebraiskt. Mer exakt är det en lista över parametrar som bestämmer de fall där den hypergeometriska ekvationen har en ändlig monodromigrupp , eller motsvarande har två oberoende lösningar som är algebraiska funktioner . Den listar 15 fall, uppdelade efter monodromigruppens isomorfismklass (exklusive fallet med en cyklisk grupp ), och härleddes först av Schwarz med metoder för komplex analytisk geometri. På motsvarande sätt är påståendet inte direkt i termer av parametrarna som specificerar den hypergeometriska ekvationen, utan i termer av kvantiteter som används för att beskriva vissa sfäriska trianglar .
Tabellens större betydelse, för allmänna andra ordningens differentialekvationer i det komplexa planet, visades av Felix Klein , som bevisade ett resultat av att fall av finit monodromi för sådana ekvationer och regelbundna singulariteter kunde tillskrivas förändringar av variabeln (komplexa analytiska kartläggningar av Riemanns sfär till sig själv) som reducerar ekvationen till hypergeometrisk form. Faktum är att mer är sant: Schwarz lista ligger till grund för alla andra ordningens ekvationer med regelbundna singulariteter på kompakta Riemann-ytor med ändlig monodromi, genom en tillbakadragning från den hypergeometriska ekvationen på Riemanns sfär genom en komplex analytisk kartläggning, av grad som kan beräknas från ekvationens data.
| siffra | area/ | polyeder | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 1/2 | p / n (≤ 1/2) | p / n | Dihedral |
| 2 | 1/2 | 1/3 | 1/3 | 1/6 | Tetraedrisk |
| 3 | 2/3 | 1/3 | 1/3 | 2/6 | Tetraedrisk |
| 4 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/12 | Kub/oktaeder |
| 5 | 2/3 | 1/4 | 1/4 | 2/12 | Kub/oktaeder |
| 6 | 1/2 | 1/3 | 1/5 | 1/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 7 | 2/5 | 1/3 | 1/3 | 2/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 8 | 2/3 | 1/5 | 1/5 | 2/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 9 | 1/2 | 2/5 | 1/5 | 3/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 10 | 3/5 | 1/3 | 1/5 | 4/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 11 | 2/5 | 2/5 | 2/5 | 6/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 12 | 2/3 | 1/3 | 1/5 | 6/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 13 | 4/5 | 1/5 | 1/5 | 6/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 14 | 1/2 | 2/5 | 1/3 | 7/30 | Icosahedron/Dodecahedron |
| 15 | 3/5 | 2/5 | 1/3 | 30/10 | Icosahedron/Dodecahedron |
Siffrorna är (upp till permutationer, teckenändringar och addition av med jämn) skillnaderna av exponenterna för den hypergeometriska differentialekvationen vid de tre singulära punkterna . De är rationella tal om och bara om och är en punkt som spelar roll i aritmetik snarare än geometriska tillvägagångssätt till teorin.
Ytterligare arbete
En förlängning av Schwarz resultat gavs av T. Kimura, som behandlade fall där identitetskomponenten i differentialgaloisgruppen i den hypergeometriska ekvationen är en lösbar grupp . Ett allmänt resultat som förbinder den differentiella Galois-gruppen G och monodromigruppen Γ säger att G är Zariski-stängningen av Γ — denna sats tillskrivs i boken av Matsuda till Michio Kuga . Genom allmän differential Galois-teori klassificerar den resulterande Kimura-Schwarz-tabellen fall av integrerbarhet av ekvationen genom algebraiska funktioner och kvadraturer .
En annan relevant lista är den av K. Takeuchi , som klassificerade de (hyperboliska) triangelgrupperna som är aritmetiska grupper (85 exempel).
Émile Picard försökte utöka arbetet med Schwarz i komplex geometri, med hjälp av en generaliserad hypergeometrisk funktion, för att konstruera fall av ekvationer där monodromin var en diskret grupp i den projektiva enhetliga gruppen PU (1, n ). Pierre Deligne och George Mostow använde sina idéer för att konstruera galler i den projektiva enhetliga gruppen. Detta arbete återställer i det klassiska fallet ändligheten i Takeuchis lista, och med hjälp av en karakterisering av de gitter de konstruerar som är aritmetiska grupper, gav nya exempel på icke-aritmetiska gitter i PU (1 , n ) .
Baldassari tillämpade Klein-universaliteten för att diskutera algebraiska lösningar av Lamé-ekvationen med hjälp av Schwarz-listan.
Andra hypergeometriska funktioner som kan uttryckas algebraiskt, som de på Schwarz' lista, uppstår i teoretisk fysik i samband med deformationer av tvådimensionella gauge-teorier.
Se även
Anteckningar
- Matsuda, Michihiko (1985). Föreläsningar om algebraiska lösningar av hypergeometriska differentialekvationer (PDF) . Föreläsningar i matematik. Vol. 15. Tokyo: Kinokuniya Company Ltd. MR 1104881 .
- Schwarz, HA (1873). "Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 75 : 292-335. ISSN 0075-4102 .