Representationssats

Se även: Universell approximationssats

I matematik är ett representationssats ett sats som säger att varje abstrakt struktur med vissa egenskaper är isomorf till en annan (abstrakt eller konkret) struktur.

Exempel

Algebra

• Cayleys teorem säger att varje grupp är isomorf till en permutationsgrupp .
• Representationsteori studerar egenskaper hos abstrakta grupper via deras representationer som linjära transformationer av vektorrum .
• Stones representationssats för booleska algebror säger att varje boolesk algebra är isomorf till ett fält av mängder .

  En variant, Stone's representation theorem for distributive lattices , säger att varje distributivt gitter är isomorft till ett subgitter av kraftuppsättningsgittret i någon uppsättning.

  En annan variant, Stone's duality , säger att det finns en dualitet (i betydelsen av en pil-reverserande ekvivalens) mellan kategorierna för booleska algebror och den för stenutrymmen .

• Poincaré -Birkhoff-Witt-satsen säger att varje Lie-algebra är inbäddad i kommutatorn Lie-algebra i dess universella enveloping-algebra .
• Ados teorem säger att varje ändlig-dimensionell Lie-algebra över ett fält med karakteristisk noll bäddar in i Lie-algebra av endomorfismer av något ändligt dimensionellt vektorrum.
• Birkhoffs HSP-sats säger att varje modell av en algebra A är den homomorfa bilden av en subalgebra av en direkt produkt av kopior av A .
• I studiet av semigrupper ger Wagner –Preston-satsen en representation av en invers halvgrupp S , som en homomorf bild av uppsättningen av partiella bijektioner på S , och halvgruppsoperationen som ges av sammansättning .

Kategoriteori

• Yoneda -lemmat ger en fullständig och trogen gränsbevarande inbäddning av vilken kategori som helst i en kategori av presheaves .
• Mitchells inbäddningsteorem för abelska kategorier realiserar varje liten abelsk kategori som en fullständig (och exakt inbäddad) underkategori av en kategori av moduler över någon ring .
• Mostowskis kollapssats säger att varje välgrundad extensionsstruktur är isomorf till en transitiv mängd med ∈-relationen.
• En av de grundläggande satserna inom kärveteorin säger att varje kärve över ett topologiskt utrymme kan ses som en bunt av sektioner av något (étalé) knippe över det utrymmet: kategorierna av kärvar på ett topologiskt utrymme och det för etaléutrymmen över det . är ekvivalenta, där ekvivalensen ges av funktionatorn som skickar en bunt till sin bunt av (lokala) sektioner.

Funktionsanalys

• Gelfand –Naimark–Segal-konstruktionen bäddar in vilken C*-algebra som helst i en algebra av avgränsade operatorer på något Hilbert-utrymme .
• Gelfand -representationen (även känd som den kommutativa Gelfand-Naimark-satsen) säger att varje kommutativ C*-algebra är isomorf till en algebra av kontinuerliga funktioner på dess Gelfand-spektrum . Det kan också ses som konstruktionen som en dualitet mellan kategorin kommutativa C*-algebror och den för kompakta Hausdorff-rum .
• ₀ Riesz –Markov–Kakutanis representationssats är faktiskt en lista över flera satser; en av dem identifierar det dubbla utrymmet av C ( X ) med uppsättningen regelbundna mått på X.

Geometri

• Whitneys inbäddningssatser bäddar in alla abstrakta grenrör i något euklidiskt utrymme .
• Nash -inbäddningssatsen bäddar in ett abstrakt Riemannmanifold isometriskt i ett euklidiskt utrymme .

Ekonomi

• Ett preferensrepresentationsteorem anger villkor för existensen av en hjälpfunktion som representerar en preferensrelation . Exempel är Von Neumann–Morgensterns bruksteorem och Debreus representationssatser .

Se även

• Klassificeringssats