Gyroradius

Gyroradius (även känd som svängningsradie , Larmorradie eller cyklotronradie ) är radien för den cirkulära rörelsen av en laddad partikel i närvaro av ett enhetligt magnetfält . I SI-enheter ges den icke-relativistiska gyroradius av

$$r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}$$

där $m$ är partikelns massa , $v_{\perp }$ är komponenten av hastigheten vinkelrät mot magnetfältets riktning, $q$ är den elektriska laddningen av partikeln, och $B$ är styrkan hos magnetfältet.

Vinkelfrekvensen för denna cirkulära rörelse är känd som gyrofrekvensen eller cyklotronfrekvensen och kan uttryckas som

$$\omega _{g}={\frac {|q|B}{m}}$$

i enheter av radianer /sekund.

Varianter

Det är ofta användbart att ge gyrofrekvensen ett tecken med definitionen

$$\omega _{g}={\frac {qB}{m}}$$

eller uttryck det i enheter av hertz med

$$f_{g}={\frac {qB}{2\pi m}}.$$

För elektroner kan denna frekvens reduceras till

$$f_{g,e}=(2,8\ gånger 10^{10}\,\mathrm {hertz} /\mathrm {tesla} )\ gånger B.$$

I cgs-enheter är gyroradius

$$r_{g}={\frac {mcv_{\perp }}{|q|B}}$$

och motsvarande gyrofrekvens

$$\omega _{g}={\frac {|q|B}{mc}}$$

inkludera en faktor $c$ , det vill säga ljusets hastighet, eftersom magnetfältet uttrycks i enheter $[B]=\ mathrm {g^{1/2}cm^{-1/2}s^{-1}}$ .

Relativistiskt fall

För relativistiska partiklar måste den klassiska ekvationen tolkas i termer av partikelmomentum $p=\gamma mv$ :

$$r_{g}={\frac {p_{\perp }}{|q|B}}={\frac {\gamma mv_{\perp }}{|q|B}}$$

där $\gamma$ är Lorentz-faktorn . Denna ekvation är korrekt även i det icke-relativistiska fallet.

För beräkningar inom accelerator- och astropartikelfysik kan formeln för gyroradius omarrangeras för att ge

$$\displaystyle r_{g }/\mathrm {meter} =3,3\ gånger {\frac {(\gamma mc^{2}/\mathrm {GeV} )(v_{\perp }/c)}{(|q|/e)(B /\mathrm {Tesla} )}},}$$

där $c$ är ljusets hastighet, $\mathrm {GeV}$ är enheten för Giga - electronVolts , och $e$ är den elementära laddningen .

Härledning

Om den laddade partikeln rör sig, kommer den att uppleva en Lorentz-kraft som ges av

$${\vec {F}}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}}),$$

där ${\vec {v}}}$ displaystyle är hastighetsvektorn och ${\vec {B}}$ är magnetfältsvektorn.

Lägg märke till att kraftens riktning ges av tvärprodukten av hastigheten och magnetfältet. Sålunda kommer Lorentzkraften alltid att verka vinkelrätt mot rörelseriktningen, vilket får partikeln att gyrera eller röra sig i en cirkel. Radien för denna cirkel, $r_{g}$ , kan bestämmas genom att likställa storleken på Lorentzkraften med centripetalkraften som

$${\frac {mv_{\perp }^{2}}{r_{g}}}=|q|v_{\perp }B.$$

Omarrangerande kan gyroradius uttryckas som

$$r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}.$$

Således är gyroradius direkt proportionell mot partikelmassan och vinkelrät hastighet, medan den är omvänt proportionell mot partikelns elektriska laddning och magnetfältets styrka. Den tid det tar för partikeln att fullborda ett varv, kallad perioden , kan beräknas vara

$$T_{g}={\frac {2\pi r_{g}}{v_{\perp }}}.$$

Eftersom perioden är den reciproka av frekvensen vi har hittat

$$f_{g}={\frac {1}{T_{g}}}={\frac {|q|B}{2\pi m}}$$

och därför

$$\omega _{g}={\frac {|q|B}{m}}.$$

Se även

• Strålstyvhet
• Cyklotron
• Magnetosfärens partikelrörelse
• Gyrokinetik